एमवी-बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, एक एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें बाइनरी ऑपरेशन होता है $\oplus$, एक एकात्मक ऑपरेशन $\neg$, और स्थिरांक $0$, कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना। एमवी-अल्जेब्रा लुकासिविज़ लॉजिक के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) हैं; अक्षर MV अनेक-मूल्यवान लॉजिक|Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz के बहु-मूल्यवान लॉजिक को संदर्भित करता है। एमवी-अलजेब्रा, बाउंडेड BCK_एलजेब्रा#BCK_एलजेब्रा BCK अलजेब्रा के वर्ग से मेल खाता है।

परिभाषाएँ

एक एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है $\langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,$ को मिलाकर

• एक खाली सेट | गैर-खाली सेट (गणित) $A,$
• एक बाइनरी ऑपरेशन $\oplus$ पर $A,$
• एक यूनरी ऑपरेशन $\lnot$ पर $A,$ और
• निरंतर $0$ के एक निश्चित तत्व (गणित) को नकारना $A,$

जो निम्नलिखित पहचान (गणित) को संतुष्ट करता है:

• $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),$
• $x\oplus 0=x,$
• $x\oplus y=y\oplus x,$
• $\lnot \lnot x=x,$
• $x\oplus \lnot 0=\lnot 0,$ और
• $\lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.$

पहले तीन स्वयंसिद्धों के आधार पर, $\langle A,\oplus ,0\rangle$ क्रमविनिमेय मोनोइड है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी-अलजेब्रा बीजगणित की एक किस्म (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-अलजेब्रा की विविधता बीएल (तर्क) -एलजेब्रा की विविधता की एक उप-किस्म है और इसमें सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) शामिल हैं।

एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक|हाजेक 1998) एक प्रीलीनियर कम्यूटेटिव बाउंड इंटीग्रल अवशिष्ट जाली के रूप में $\langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle$ अतिरिक्त पहचान को संतुष्ट करना $x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.$

== एमवी-बीजगणित == के उदाहरण एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण है $A=[0,1],$ संचालन के साथ $x\oplus y=\min(x+y,1)$ और $\lnot x=1-x.$ गणितीय फजी लॉजिक में, इस MV-बीजगणित को मानक MV-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह Łukasiewicz तर्क के मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ बनाता है।

तुच्छ एमवी-बीजगणित में केवल तत्व 0 है और संचालन को एकमात्र संभव तरीके से परिभाषित किया गया है, $0\oplus 0=0$ और $\lnot 0=0.$ दो-तत्व एमवी-बीजगणित वास्तव में दो-तत्व बूलियन बीजगणित है $\{0,1\},$ साथ $\oplus$ बूलियन संयोजन के साथ मेल खाता है और $\lnot$ बूलियन निषेध के साथ। वास्तव में स्वयंसिद्ध जोड़ना $x\oplus x=x$ एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का स्वयंसिद्धीकरण होता है।

यदि इसके बजाय स्वयंसिद्ध जोड़ा गया है $x\oplus x\oplus x=x\oplus x$, तब स्वयंसिद्ध MV को परिभाषित करते हैं₃ बीजगणित तीन-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क Ł के संगत है₃. अन्य परिमित रैखिक रूप से आदेशित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के ब्रह्मांड और संचालन को सेट करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है $n$ 0 और 1 (दोनों शामिल) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ, अर्थात् समुच्चय $\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},$ जो संचालन के तहत बंद है $\oplus$ और $\lnot$ मानक एमवी-बीजगणित; इन बीजगणितों को आमतौर पर एमवी के रूप में दर्शाया जाता है_n.

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण सी.सी. चांग का एमवी-बीजगणित है, जिसमें केवल बहुत छोता (आदेश प्रकार ω के साथ) और उनके सह-इन्फिनिटिमल्स शामिल हैं।

चांग ने एक धनात्मक तत्व u को फिक्स करके और खंड [0, u] को { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, जो x ⊕ y = min(u, x + y) और ¬x = u − x के साथ एक MV-बीजगणित बन जाता है। इसके अलावा, चांग ने दिखाया कि इस तरह से एक समूह से निर्मित एमवी-बीजगणित के लिए प्रत्येक रैखिक रूप से आदेश दिया गया एमवी-बीजगणित आइसोमोर्फिक है।

डेनियल मुंडिसी ने उपरोक्त निर्माण को एबेलियन जाली-आदेशित समूहों तक बढ़ाया। यदि G मजबूत (क्रम) इकाई u वाला एक ऐसा समूह है, तो इकाई अंतराल {x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u} को ¬x = u - x, x ⊕ y = u ∧ से सुसज्जित किया जा सकता है_G (x + y), और x ⊗ y = 0 ∨_G (एक्स + वाई - यू)। यह निर्माण मजबूत इकाई और एमवी-बीजगणित के साथ जाली-आदेशित एबेलियन समूहों के बीच एक स्पष्ट समानता स्थापित करता है।

एक प्रभाव बीजगणित जो जाली-आदेशित है और लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित एक MV-बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी एमवी-बीजगणित एक जाली-आदेशित प्रभाव बीजगणित है जिसमें रीज़ अपघटन गुण होता है।

लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध

सी.सी. चांग ने 1920 में जैन लुकासिविक्ज़ द्वारा पेश किए गए कई-मूल्यवान लॉजिक्स का अध्ययन करने के लिए एमवी-एलजेब्रा तैयार किया। विशेष रूप से, एमवी-एलजेब्रा लुकासिविक्ज़ लॉजिक के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का निर्माण करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

एक एमवी-बीजगणित ए दिया गया है, एक ए-मूल्यांकन (तर्क) प्रस्तावपरक सूत्रों के बीजगणित से एक समरूपता है (भाषा में $\oplus ,\lnot ,$ और 0) ए में। सूत्र 1 के लिए मैप किए गए (यानी, टू $\lnot$0) सभी ए-मूल्यों के लिए ए-टॉटोलॉजी (तर्क) कहा जाता है। यदि [0,1] से अधिक मानक एमवी-बीजगणित कार्यरत है, तो सभी [0,1]-टॉटोलॉजी का सेट तथाकथित अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क को निर्धारित करता है।

चांग (1958, 1959) पूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी एमवी-बीजगणित समीकरण मानक एमवी-बीजगणित में अंतराल [0,1] पर धारण करना प्रत्येक एमवी-बीजगणित में होगा। बीजगणितीय रूप से, इसका मतलब है कि मानक एमवी-बीजगणित सभी एमवी-बीजगणित की विविधता उत्पन्न करता है। समान रूप से, चांग की पूर्णता प्रमेय कहती है कि एमवी-अल्जेब्रा अनंत-मूल्यवान लुकासिविक्ज़ तर्क की विशेषता है, जिसे [0,1]-टॉटोलॉजी के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है।

जिस तरह से [0,1] एमवी-बीजगणित सभी संभव एमवी-बीजगणित की विशेषता बताता है, वह इस प्रसिद्ध तथ्य के समानांतर है कि दो-तत्व बूलियन बीजगणित में मौजूद पहचान सभी संभव बूलियन बीजगणित में होती है। इसके अलावा, MV-अल्जेब्रा अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz लॉजिक को इस तरह से चित्रित करते हैं जैसे कि बूलियन अल्जेब्रा शास्त्रीय दो-तत्व बूलियन बीजगणित की विशेषता रखते हैं (लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें)।

1984 में, फॉन्ट, रोड्रिग्ज और टॉरेंस ने वाज्सबर्ग बीजगणित को अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए एक वैकल्पिक मॉडल के रूप में पेश किया। वाज्सबर्ग बीजगणित और एमवी-बीजगणित शब्द-समतुल्य हैं।

एमवी_n-अलजेब्रा

1940 के दशक में ग्रिगोर मोसिल ने अपना Łukasiewicz–Moisil बीजगणित (LM) पेश किया_n-algebras) n-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) देने की आशा में। हालांकि, 1956 में एलन रोज़ ने पाया कि n ≥ 5 के लिए, Łukasiewicz-Moisil बीजगणित Łukasiewicz n-मूल्यवान लॉजिक को मॉडल (गणितीय तर्क) नहीं करता है। हालांकि सीसी चांग ने अपना एमवी-बीजगणित 1958 में प्रकाशित किया, यह केवल ℵ के लिए एक विश्वसनीय मॉडल है₀-वैल्यूड (इनफिनिटली-मैनी-वैल्यूड) लुकासिविक्ज़-टार्स्की लॉजिक। स्वयंसिद्ध रूप से अधिक जटिल (अंतिम रूप से) एन-मूल्यवान लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स के लिए, उपयुक्त बीजगणित 1977 में रेवाज़ ग्रिगोलिया द्वारा प्रकाशित किए गए थे और एमवी कहलाते थे।_n-बीजगणित। एमवी_n-अलजेब्रा LM का एक उपवर्ग है_n-अलजेब्रा; समावेशन n ≥ 5 के लिए सख्त है। एमवी_n-एलजेब्रा एमवी-एलजेब्रा होते हैं जो कुछ अतिरिक्त सूक्तियों को संतुष्ट करते हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि n-मान वाले Łukasiewicz लॉजिक्स में अतिरिक्त अभिगृहीतों को ℵ में जोड़ा जाता है₀-मूल्यवान तर्क।

1982 में रॉबर्टो सिग्नोली ने एलएम में जोड़े गए कुछ अतिरिक्त अवरोधों को प्रकाशित किया_n-एलजेब्रा एन-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए उचित मॉडल प्रदान करते हैं; सिग्नोली ने अपनी खोज को उचित n-मूल्यवान Łukasiewicz algebras कहा। एलएम_n-अलजेब्रा जो एमवी भी हैं_n-अलजेब्रा सटीक रूप से सिग्नोली के उचित एन-वैल्यू लुकासिविक्ज़ एल्जेब्रा हैं।

कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध

एमवी-अल्जेब्रस डेनियल मुंडिसी द्वारा लगभग परिमित-आयामी C*-एलजेब्रा से संबंधित थे, जो लगभग परिमित-आयामी C*-अलजेब्रा के सभी आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के बीच जाली-आदेशित आयाम समूह और गणनीय एमवी बीजगणित के सभी आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करके संबंधित थे। इस पत्राचार के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

Countable MV algebra	approximately finite-dimensional C*-algebra
{0, 1}	ℂ
{0, 1/n, ..., 1 }	Mn(ℂ), i.e. n×n complex matrices
finite	finite-dimensional
boolean	commutative

सॉफ्टवेयर में

Further information: Multi-adjoint logic programming

फ़ज़ी लॉजिक (प्रकार II) को लागू करने वाले कई ढाँचे हैं, और उनमें से अधिकांश को बहु-संलग्न तर्क कहा जाता है। यह एमवी-बीजगणित के कार्यान्वयन से ज्यादा कुछ नहीं है।

संदर्भ

• Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476–490.
• ------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74–80.
• Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 463–474 doi:10.1006/jabr.1999.7900.
• Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.
• Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in Łukasiewicz sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) doi:10.1016/0022-1236(86)90015-7

अग्रिम पठन

• Daniele Mundici, MV-ALGEBRAS. A short tutorial
• D. Mundici (2011). Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
• Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium ’88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989). doi:10.1016/s0049-237x(08)70262-3
• Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for MV-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014). doi:10.1093/logcom/exu023
• Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between MV-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit

बाहरी संबंध

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Many-valued logic"—by Siegfried Gottwald.