संभाव्यता वितरण के संकल्पों की सूची

संभाव्यता सिद्धांत में, दो या दो से अधिक स्वतंत्र (संभाव्यता) यादृच्छिक चर के योग का संभाव्यता वितरण उनके अलग-अलग वितरणों का संकल्प है। यह शब्द इस तथ्य से प्रेरित है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रायिकता द्रव्यमान फलन या प्रायिकता घनत्व फलन क्रमशः उनके संगत संभाव्यता द्रव्यमान फलन या प्रायिकता घनत्व फलन का कनवल्शन है। कई प्रसिद्ध वितरणों में सरल संकल्‍प होते हैं। निम्नलिखित इन संकल्पों की एक सूची है। प्रत्येक कथन रूप का है

$\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim Y$

कहाँ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, और $Y$ वह वितरण है जो के कनवल्शन से उत्पन्न होता है $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$. की जगह $X_{i}$ और $Y$ संबंधित वितरणों के नाम और उनके पैरामीटर दर्शाए गए हैं।

असतत वितरण

• $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Bernoulli} (p)\sim \mathrm {Binomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots$
• $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Binomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {Binomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots$
• $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {NegativeBinomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots$
• $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Geometric} (p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots$
• $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad \lambda _{i}>0$

निरंतर वितरण

• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Stable} \left(\alpha ,\beta _{i},c_{i},\mu _{i}\right)=\operatorname {Stable} \left(\alpha ,{\frac {\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}c_{i}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }}},\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }\right)^{1/\alpha },\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)$

$\qquad 0<\alpha _{i}\leq 2\quad -1\leq \beta _{i}\leq 1\quad c_{i}>0\quad \infty <\mu _{i}<\infty$ निम्नलिखित तीन कथन उपरोक्त कथन के विशेष मामले हैं:

• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Normal} (\mu _{i},\sigma _{i}^{2})\sim \operatorname {Normal} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \sigma _{i}^{2}>0\quad (\alpha =2,\beta _{i}=0)$
• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cauchy} (a_{i},\gamma _{i})\sim \operatorname {Cauchy} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\right)\qquad -\infty <a_{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad (\alpha =1,\beta _{i}=0)$
• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Levy} (\mu _{i},c_{i})\sim \operatorname {Levy} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\left(\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {c_{i}}}\right)^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad c_{i}>0\quad (\alpha =1/2,\beta _{i}=1)$
• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Gamma} (\alpha _{i},\beta )\sim \operatorname {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\beta \right)\qquad \alpha _{i}>0\quad \beta >0$
• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Voigt} (\mu _{i},\gamma _{i},\sigma _{i})\sim \operatorname {Voigt} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i},{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad \sigma _{i}>0$
• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {VarianceGamma} (\mu _{i},\alpha ,\beta ,\lambda _{i})\sim \operatorname {VarianceGamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\alpha ,\beta ,\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \lambda _{i}>0\quad {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0$
• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\theta )\sim \operatorname {Erlang} (n,\theta )\qquad \theta >0\quad n=1,2,\dots$
• $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\lambda _{i})\sim \operatorname {Hypoexponential} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\qquad \lambda _{i}>0$
• $\sum _{i=1}^{n}\chi ^{2}(r_{i})\sim \chi ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\right)\qquad r_{i}=1,2,\dots$
• $\sum _{i=1}^{r}N^{2}(0,1)\sim \chi _{r}^{2}\qquad r=1,2,\dots$
• $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2},\quad$ कहाँ $X_{1},\dots ,X_{n}$ का एक यादृच्छिक नमूना है $N(\mu ,\sigma ^{2})$ और ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$

मिश्रित वितरण:

• $\operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})+\operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )\sim \operatorname {Voigt} (\mu +x_{0},\sigma ,\gamma )\qquad -\infty <\mu <\infty \quad -\infty <x_{0}<\infty \quad \gamma >0\quad \sigma >0$

यह भी देखें

• यादृच्छिक चर का बीजगणित
• संभाव्यता वितरण के बीच संबंध
• अनंत विभाज्यता (संभावना)
• बर्नौली वितरण
• द्विपद वितरण
• कॉची वितरण
• एरलांग वितरण
• घातांकी रूप से वितरण
• गामा वितरण
• ज्यामितीय वितरण
• हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण
• लेवी वितरण
• पॉसों वितरण
• स्थिर वितरण
• मिश्रण वितरण
• सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग

स्रोत

• Hogg, Robert V.; McKean, Joseph W.; Craig, Allen T. (2004). गणितीय आँकड़ों का परिचय (6th ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. p. 692. ISBN 978-0-13-008507-8. MR 0467974.

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