सार्वभौम समुच्चय

For other uses, see सार्वभौम समुच्चय (disambiguation).

समुच्चय सिद्धांत में, एक सार्वभौम समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसमें स्वयं सहित सभी वस्तुएँ सम्मिलित होती हैं। सामान्यतः तैयार किए गए समुच्चय सिद्धांत में, यह कई विधि से सिद्ध किया जा सकता है कि एक सार्वभौमिक समुच्चय उपस्थित नहीं है। चूँकि समुच्चय सिद्धांत के कुछ गैर-मानक रूपों में एक सार्वभौमिक समुच्चय सम्मिलित है।

गैर-अस्तित्व के कारण

कई समुच्चय सिद्धांत सार्वत्रिक समुच्चय के अस्तित्व की अनुमति नहीं देते हैं। समुच्चय सिद्धान्त के स्वयंसिद्धों के विभिन्न विकल्पों के आधार पर, इसकी गैर-अस्तित्व के लिए कई अलग-अलग तर्क हैं।

नियमितता

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में, नियमितता का स्वयंसिद्ध और युग्मन का स्वयंसिद्ध किसी भी समुच्चय को स्वयं को समाहित करने से रोकता है। किसी भी समुच्चय $A$ के लिए, समुच्चय $\{A\}$ (युग्मन का उपयोग करके निर्मित) में आवश्यक रूप से नियमितता द्वारा $\{A\}$ से अलग होने वाला तत्व सम्मिलित है। क्योंकि इसका एकमात्र अवयव $A$ है, यह स्थिति होना चाहिए कि $A$, $\{A\}$ से अलग है, और इसलिए कि$A$ में स्वयं समाविष्ट नहीं है। क्योंकि एक सार्वभौम समुच्चय आवश्यक रूप से स्वयं को समाहित करेगा, यह इन स्वयंसिद्धों के अंतर्गत उपस्थित नहीं हो सकता है।

रसेल का विरोधाभास

Main article: रसेल का विरोधाभास

रसेल का विरोधाभास समुच्चय सिद्धांतों में एक सार्वभौमिक समुच्चय के अस्तित्व को रोकता है जिसमें ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध सम्मिलित है।

यह स्वयंसिद्ध बताता है कि, किसी भी सूत्र के लिए $\varphi (x)$ और कोई समुच्चय $A$, एक समुच्चय उपस्थित है

$$\{x\in A\mid \varphi (x)\}$$

जिसमें $A$ के ठीक वे तत्व $x$ सम्मिलित हैं जो $\varphi$ को संतुष्ट करते हैं।

इस अभिगृहीत के परिणामस्वरूप, प्रत्येक समुच्चय $A$ के लिए एक और समुच्चय $B=\{x\in A\mid x\not \in x\}$ होता है, जिसमें $A$ के वे तत्व सम्मिलित होते हैं जिनमें स्वयं सम्मिलित नहीं होते हैं। $B$ स्वयं को समाहित नहीं कर सकता, क्योंकि इसमें केवल ऐसे समुच्चय होते हैं जो स्वयं को समाहित नहीं करते हैं। यह $A$ का सदस्य नहीं हो सकता है, क्योंकि यदि यह होता तो इसकी परिभाषा के अनुसार, इस तथ्य का खंडन करते हुए कि यह स्वयं को सम्मिलित नहीं कर सकता, इसे स्वयं के सदस्य के रूप में सम्मिलित किया जाएगा। इसलिए, प्रत्येक समुच्चय ए गैर-सार्वभौमिक है: एक समुच्चय बी उपस्थित है जिसमें यह सम्मिलित नहीं है। यह वास्तव में विधेयात्मक समझ और अंतर्ज्ञानवादी तर्क पर भी प्रयुक्त होता है।

कैंटर प्रमेय

Main article: कैंटर की प्रमेय

एक सार्वभौमिक समुच्चय के विचार के साथ एक और कठिनाई सभी सेटों के समुच्चय के सत्ता स्थापित से संबंधित है। चूंकि यह पावर समुच्चय समुच्चय का एक समुच्चय है, यह आवश्यक रूप से सभी सेटों के समुच्चय का एक सबसेट होगा, परंतु कि दोनों उपस्थित हों। चूँकि यह कैंटर के प्रमेय के साथ संघर्ष करता है कि किसी भी समुच्चय (चाहे अनंत हो या नहीं) के पावर समुच्चय में सदैव समुच्चय की तुलना में सख्ती से उच्च प्रमुखता होती है।

सार्वभौमिकता के सिद्धांत

एक सार्वभौमिक समुच्चय से जुड़ी कठिनाइयों को या तो समुच्चय सिद्धांत के एक प्रकार का उपयोग करके टाला जा सकता है जिसमें समझ का स्वयंसिद्ध किसी तरह से प्रतिबंधित है, या एक सार्वभौमिक वस्तु का उपयोग करके जिसे समुच्चय नहीं माना जाता है।

प्रतिबंधित समझ

ऐसे समुच्चय सिद्धांत हैं जो सुसंगत होने के लिए जाने जाते हैं (यदि सामान्य समुच्चय सिद्धांत सुसंगत है) जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय होता है V उपस्थित है (और $V\in V$ क्या सच है)। इन सिद्धांतों में, ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आता है, और सहज समुच्चय सिद्धांत की समझ का स्वयंसिद्ध एक अलग विधि से प्रतिबंधित है। एक सार्वभौम समुच्चय वाला एक समुच्चय सिद्धांत आवश्यक रूप से एक गैर-सुस्थापित समुच्चय सिद्धांत है। एक सार्वभौमिक समुच्चय के साथ सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया समुच्चय सिद्धांत विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन की नई नींव है। अलोंजो चर्च और अर्नोल्ड ओबर्सचेल्प ने भी ऐसे समुच्चय सिद्धांतों पर काम प्रकाशित किया। चर्च ने अनुमान लगाया कि उनके सिद्धांत को क्विन के अनुरूप विस्तारित किया जा सकता है, किंतु ओबर्सचेल्प के लिए यह संभव नहीं है, क्योंकि इसमें सिंगलटन कार्य एक समुच्चय सिद्ध होता है, जो न्यू फ़ाउंडेशन में तुरंत विरोधाभास की ओर ले जाता है।

एक और उदाहरण सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत है, जहां समझ का स्वयंसिद्ध केवल सकारात्मक सूत्र तक ही सीमित है (सूत्र जिनमें नकारात्मकता नहीं है) इस तरह के समुच्चय सिद्धांत टोपोलॉजी में बंद होने की धारणा से प्रेरित होते हैं।

यूनिवर्सल ऑब्जेक्ट्स जो समुच्चय नहीं हैं

Main article: ब्रह्मांड (गणित)

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में एक सार्वभौमिक समुच्चय का विचार सहज रूप से वांछनीय लगता है, विशेष रूप से क्योंकि इस सिद्धांत के अधिकांश संस्करण सभी सेटों यूनिवर्सल क्वांटिफायर के उपयोग की अनुमति देते हैं (सार्वभौमिक क्वांटिफायर देखें) किसी वस्तु को अनुमति देने का एक विधि जो विरोधाभास उत्पन्न किए बिना एक सार्वभौमिक समुच्चय के समान व्यवहार करता है, वर्णन करना है V और इसी तरह के बड़े संग्रह समुच्चय के अतिरिक्त क्लास (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में। एक सार्वभौमिक समुच्चय और एक सार्वभौमिक वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) के बीच एक अंतर यह है कि सार्वभौमिक वर्ग स्वयं को सम्मिलित नहीं करता है, क्योंकि उचित वर्ग अन्य वर्गों के तत्व नहीं हो सकते। रसेल का विरोधाभास इन सिद्धांतों में प्रयुक्त नहीं होता है क्योंकि समझ का स्वयंसिद्ध वर्ग पर नहीं सेट पर संचालित होता है।

समुच्चय की श्रेणी को भी एक सार्वभौमिक वस्तु माना जा सकता है, जो फिर से अपने आप में एक समुच्चय नहीं है। इसमें तत्वों के रूप में सभी समुच्चय हैं, और एक समुच्चय से दूसरे में सभी कार्यों के लिए तीर भी सम्मिलित हैं।

फिर से यह स्वयं को समाहित नहीं करता है, क्योंकि यह स्वयं एक समुच्चय नहीं है।

यह भी देखें

• ब्रह्मांड (गणित)
• ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड
• प्रवचन का क्षेत्र
• वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत - जेडएफसी का एक विस्तार जो सभी सेटों के वर्ग को स्वीकार करता है

संदर्भ

• Cenzer, Douglas; Larson, Jean; Porter, Christopher; Zapletal, Jindrich (2020). Set Theory and Foundations of Mathematics: An Introduction to Mathematical Logic. World Scientific. p. 2. doi:10.1142/11324. ISBN 978-981-12-0192-9. S2CID 208131473.
• Church, Alonzo (1974). "Set theory with a universal set". Proceedings of the Tarski Symposium: An international symposium held at the University of California, Berkeley, June 23–30, 1971, to honor Alfred Tarski on the occasion of his seventieth birthday. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 25. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 297–308. MR 0369069.
• Forster, T. E. (1995). Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe. Oxford Logic Guides. Vol. 31. Oxford University Press. ISBN 0-19-851477-8.
• Forster, Thomas (2001). "Church's set theory with a universal set". In Anderson, C. Anthony; Zelëny, Michael (eds.). Logic, Meaning and Computation: Essays in Memory of Alonzo Church. Synthese Library. Vol. 305. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 109–138. MR 2067968.
• Oberschelp, Arnold (1973). Set theory over classes. Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne). Vol. 106. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. MR 0319758.
• Willard Van Orman Quine (1937) "New Foundations for Mathematical Logic," American Mathematical Monthly 44, pp. 70–80.
• Sheridan, Flash (2016). "A variant of Church's set theory with a universal set in which the singleton function is a set" (PDF). Logique et Analyse. 59 (233): 81–131. JSTOR 26767819. MR 3524800.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Universal Set". MathWorld.
• Bibliography: Set Theory with a Universal Set, originated by T. E. Forster and maintained by Randall Holmes.