लैंडवेबर सटीक फ़ंक्टर प्रमेय

गणित में, पीटर लैंडवेबर के नाम पर रखा गया लैंडवेबर सटीक फ़ैक्टर प्रमेय, बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक प्रमेय है। यह ज्ञात है कि समरूपता सिद्धांत का एक जटिल अभिविन्यास एक औपचारिक समूह कानून की ओर ले जाता है। लैंडवेबर सटीक फ़ंक्टर प्रमेय (या शॉर्ट के लिए LEFT) को इस प्रक्रिया को उलटने के लिए एक विधि के रूप में देखा जा सकता है: यह एक औपचारिक समूह कानून से एक होमोलॉजी सिद्धांत का निर्माण करता है।

कथन

जटिल सह-बोर्डवाद का गुणांक वलय है $MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]$, जहां की डिग्री $x_{i}$ है $2i$. यह ग्रेडेड लाजर की अंगूठी के लिए आइसोमोर्फिक है ${\mathcal {}}L_{*}$. इसका मतलब यह है कि औपचारिक समूह कानून एफ (डिग्री का $-2$) एक ग्रेडेड रिंग के ऊपर $R_{*}$ ग्रेडेड रिंग आकारिकी देने के बराबर है $L_{*}\to R_{*}$. एक पूर्णांक द्वारा गुणा $n>0$ द्वारा एक शक्ति श्रृंखला के रूप में आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है

$[n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)$ और $[1]^{F}x=x.$

आइए अब एफ रिंग पर एक औपचारिक समूह कानून बनें ${\mathcal {}}R_{*}$. एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए परिभाषित करें

$E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}$

यहाँ $R_{*}$ इसे प्राप्त करता है $MU_{*}$एफ के माध्यम से बीजगणित संरचना। सवाल यह है: क्या ई एक होमोलॉजी सिद्धांत है? यह स्पष्ट रूप से एक होमोटॉपी इनवेरिएंट फ़ैक्टर है, जो छांटना पूरा करता है। समस्या यह है कि सामान्य रूप से टेंसरिंग सटीक अनुक्रमों को संरक्षित नहीं करता है। कोई इसकी मांग कर सकता है $R_{*}$ फ्लैट मॉड्यूल खत्म हो $MU_{*}$, लेकिन व्यवहार में यह बहुत मजबूत होगा। पीटर लैंडवेबर ने एक और मानदंड पाया:

प्रमेय (लैंडवेबर सटीक फ़ैक्टर प्रमेय)

प्रत्येक अभाज्य p के लिए, अवयव होते हैं $v_{1},v_{2},\dots \in MU_{*}$ जैसे कि हमारे पास निम्नलिखित हैं: मान लीजिए कि $M_{*}$ एक श्रेणीबद्ध है $MU_{*}$-मॉड्यूल और अनुक्रम $(p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ के लिए नियमित अनुक्रम (बीजगणित) है $M$, हर पी और एन के लिए। तब

$E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}$

स.ग.-जटिल पर एक समरूपता सिद्धांत है।

विशेष रूप से, हर औपचारिक समूह कानून एक अंगूठी पर एफ $R$ एक मॉड्यूल देता है ${\mathcal {}}MU_{*}$ चूँकि हम F के माध्यम से एक रिंग आकारिकी प्राप्त करते हैं $MU_{*}\to R$.

टिप्पणी

• ब्राउन-पीटरसन कोहोलॉजी बीपी के लिए एक संस्करण भी है। स्पेक्ट्रम (समरूपता सिद्धांत) बीपी का प्रत्यक्ष योग है $MU_{(p)}$ गुणांक के साथ $\mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\dots ]$. LEFT का कथन सही रहता है यदि कोई अभाज्य p को ठीक करता है और MU के लिए BP को प्रतिस्थापित करता है।
• वामपंथ का शास्त्रीय प्रमाण लैंडवेबर-मोरावा अपरिवर्तनीय आदर्श प्रमेय का उपयोग करता है: का एकमात्र प्रमुख आदर्श $BP_{*}$ जो के सहयोग के तहत अपरिवर्तनीय हैं $BP_{*}BP$ हैं $I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})$. यह केवल के खिलाफ सपाटता की जांच करने की अनुमति देता है $BP_{*}/I_{n}$ (लैंडवेबर, 1976 देखें)।
• वामपंथ को इस प्रकार मजबूत किया जा सकता है: आइए ${\mathcal {E}}_{*}$ लैंडवेबर की सटीक (होमोटॉपी) श्रेणी हो $MU_{*}$-मॉड्यूल और ${\mathcal {E}}$ एमयू-मॉड्यूल स्पेक्ट्रा एम की श्रेणी ऐसी है कि $\pi _{*}M$ लैंडवेबर सटीक है। फिर काम करनेवाला $\pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}$ श्रेणियों की समानता है। उलटा फ़ैक्टर (बाएं द्वारा दिया गया) लेता है ${\mathcal {}}MU_{*}$-एलजेब्रा टू (होमोटॉपी) एमयू-बीजगणित स्पेक्ट्रा (देखें होवे, स्ट्रिकलैंड, 1999, थ्म 2.7)।

उदाहरण

पुरातनपंथी और पहला ज्ञात (गैर-तुच्छ) उदाहरण टोपोलॉजिकल के-थ्योरी|कॉम्प्लेक्स के-थ्योरी के है। कॉम्प्लेक्स के-थ्योरी जटिल अभिविन्यास है और औपचारिक समूह कानून के रूप में है $x+y+xy$. संगत रूपवाद $MU_{*}\to K_{*}$ टोड जाति के रूप में भी जाना जाता है। हमारे पास तब एक समरूपता है

$K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*},$

कोनर-फ्लोयड समरूपता कहा जाता है।

जबकि जटिल के-सिद्धांत का निर्माण पहले ज्यामितीय माध्यमों से किया गया था, कई होमोलॉजी सिद्धांतों का निर्माण सबसे पहले लैंडवेबर के सटीक फ़ैक्टर प्रमेय के माध्यम से किया गया था। इसमें अण्डाकार कोहोलॉजी, जॉनसन-विल्सन सिद्धांत | जॉनसन-विल्सन सिद्धांत शामिल हैं $E(n)$ और ल्यूबिन-टेट स्पेक्ट्रा $E_{n}$.

जबकि तर्कसंगत गुणांक के साथ समरूपता $H\mathbb {Q}$ लैंडवेबर सटीक है, पूर्णांक गुणांक के साथ समरूपता $H\mathbb {Z}$ लैंडवेबर सटीक नहीं है। इसके अलावा, मोरावा के-सिद्धांत के (एन) लैंडवेबर सटीक नहीं है।

आधुनिक सुधार

एक मॉड्यूल एम ओवर ${\mathcal {}}MU_{*}$ सुसंगत शीफ|अर्ध-संगत पूला के समान है ${\mathcal {F}}$ ऊपर ${\text{Spec }}L$, जहां L लाजार्ड रिंग है। अगर $M={\mathcal {}}MU_{*}(X)$, तो M के पास a का अतिरिक्त डेटा है ${\mathcal {}}MU_{*}MU$ सहयोग। रिंग लेवल पर एक सहक्रिया उसी से मेल खाती है ${\mathcal {F}}$ एफाइन ग्रुप स्कीम G की कार्रवाई के संबंध में एक इक्विवैरिएंट शीफ है। यह डेनियल क्विलेन का एक प्रमेय है कि $G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]$ और प्रत्येक वलय R को शक्ति श्रृंखला का समूह प्रदान करता है

$g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}+\cdots \in R[[t]]$.

यह औपचारिक समूह कानूनों के सेट पर कार्य करता है ${\text{Spec }}L(R)$ के जरिए

$F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)$.

ये केवल औपचारिक समूह कानूनों के समन्वित परिवर्तन हैं। इसलिए, स्टैक (गणित) भागफल की पहचान की जा सकती है ${\text{Spec }}L//G$ (1-आयामी) औपचारिक समूहों के ढेर के साथ ${\mathcal {M}}_{fg}$ और $M=MU_{*}(X)$ इस ढेर पर अर्ध-सुसंगत शीफ को परिभाषित करता है। अब यह देखना काफी आसान है कि यह पर्याप्त है कि एम अर्ध-सुसंगत शीफ को परिभाषित करता है ${\mathcal {F}}$ जो समतल है ${\mathcal {M}}_{fg}$ उस आदेश के क्रम में $MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M$ एक समरूपता सिद्धांत है। लैंडवेबर सटीकता प्रमेय को तब समतलता मानदंड के रूप में व्याख्या किया जा सकता है ${\mathcal {M}}_{fg}$ (लूरी 2010 देखें)।

के लिए शोधन $E_{\infty }$-रिंग स्पेक्ट्रा

जबकि LEFT को (होमोटॉपी) रिंग स्पेक्ट्रा के उत्पादन के लिए जाना जाता है ${\mathcal {}}MU_{*}$, यह समझने के लिए एक और अधिक नाजुक प्रश्न है कि ये स्पेक्ट्रा वास्तव में अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम हैं$E_{\infty }$-रिंग स्पेक्ट्रा। 2010 तक, जैकब लुरी ने सबसे अच्छी प्रगति की थी। यदि X एक बीजगणितीय ढेर है और $X\to {\mathcal {M}}_{fg}$ ढेर का एक सपाट नक्शा, ऊपर की गई चर्चा से पता चलता है कि हमें एक्स पर रिंग स्पेक्ट्रा (होमोटोपी) का प्रीशेफ मिलता है। यदि यह नक्शा कारक है $M_{p}(n)$ (ऊंचाई n के 1-आयामी पी-विभाज्य समूहों का ढेर) और नक्शा $X\to M_{p}(n)$ एटेल टोपोलॉजी है, तो इस प्रीशेफ को एक शीफ में परिष्कृत किया जा सकता है $E_{\infty }$-रिंग स्पेक्ट्रा (गोएर्स देखें)। यह प्रमेय टोपोलॉजिकल मॉड्यूलर फॉर्म के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

• रंगीन समरूपता सिद्धांत

संदर्भ

• Goerss, Paul. "Realizing families of Landweber exact homology theories" (PDF).
• Hovey, Mark; Strickland, Neil P. (1999), "Morava K-theories and localisation", Memoirs of the American Mathematical Society, 139 (666), doi:10.1090/memo/0666, MR 1601906, archived from the original on 2004-12-07
• Landweber, Peter S. (1976). "Homological properties of comodules over $MU_{*}(MU)$ and $BP_{*}(BP)$". American Journal of Mathematics. 98 (3): 591–610. doi:10.2307/2373808. JSTOR 2373808..
• Lurie, Jacob (2010). "Chromatic Homotopy Theory. Lecture Notes".