निरंतर स्थिति

क्रम सिद्धांत में, एक सतत पोसेट एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का निर्देशित सेट सर्वोच्च होता है।

परिभाषाएँ

होने देना $a,b\in P$ पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों $(P,\lesssim )$. तो फिर हम कहते हैं $a$ अनुमानित $b$, या वो $a$ बहुत नीचे है $b$, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।

• किसी भी निर्देशित सेट के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\lesssim \sup D$, वहां एक है $d\in D$ ऐसा है कि $a\lesssim d$.
• किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) $I\subseteq P$ ऐसा है कि $b\lesssim \sup I$, $a\in I$.

अगर $a$ अनुमानित $b$, हम लिखते हैं $a\ll b$. सन्निकटन संबंध $\ll$ एक सकर्मक संबंध है जो मूल क्रम से कमजोर है, एंटीसिमेट्रिक संबंध भी है यदि $P$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह पूर्व आदेश हो। यह एक प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि $(P,\lesssim )$ आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।

किसी के लिए $a\in P$, होने देना

$\mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\mid a\ll b\}$

$\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}$

तब $\mathop {\Uparrow } a$ एक ऊपरी सेट है, और $\mathop {\Downarrow } a$ एक निचला सेट. अगर $P$ एक ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, $\mathop {\Downarrow } a$ एक निर्देशित सेट है (अर्थात्, $b,c\ll a$ तात्पर्य $b\vee c\ll a$), और इसलिए एक आदर्श (आदेश सिद्धांत)।

एक पूर्व-आदेशित सेट $(P,\lesssim )$ यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है $a\in P$, उपसमुच्चय $\mathop {\Downarrow } a$ निर्देशित सेट है और $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$.

गुण

प्रक्षेप गुण

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ एक सतत पूर्व-आदेशित सेट का $(P,\lesssim )$, $a\ll b$ यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\lesssim \sup D$, वहां एक है $d\in D$ ऐसा है कि $a\ll d$. इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है $(P,\lesssim )$: किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ वहां एक है $c\in P$ ऐसा है कि $a\ll c\ll b$.

सतत dcpos

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ एक सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का $(P,\leq )$, निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं।

• $a\ll b$ और $a\neq b$.
• किसी भी निर्देशित सेट के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\leq \sup D$, वहां एक है $d\in D$ ऐसा है कि $a\ll d$ और $a\neq d$.

इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ और $a\neq b$, वहां एक है $c\in P$ ऐसा है कि $a\ll c\ll b$ और $a\neq c$.

निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए $(P,\leq )$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।

• $P$ सतत है.
• सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से $P$ को $P$ एक बायां जोड़ है.

इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है

${\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$

${\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup$

सतत पूर्ण जालक

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in L$ एक पूर्ण जाली का $L$, $a\ll b$ यदि और केवल यदि किसी उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq L$ ऐसा है कि $b\leq \sup A$, एक परिमित उपसमुच्चय है $F\subseteq A$ ऐसा है कि $a\leq \sup F$.

होने देना $L$ एक पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं।

• $L$ सतत है.
• सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से $L$ को $L$ मनमानी सबसे कम को सुरक्षित रखता है।
• किसी भी परिवार के लिए ${\mathcal {D}}$ के निर्देशित सेट के $L$, $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$.
• $L$ स्कॉट-निरंतर निष्क्रिय मानचित्र की छवि (गणित) के लिए समरूपी है $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ मनमाने ढंग से कई दो-बिंदु जाली के प्रत्यक्ष उत्पाद पर $\{0,1\}$.

एक सतत पूर्ण जालक को अक्सर सतत जालक कहा जाता है।

उदाहरण

खुले सेट की जाली

टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।

• संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित $\operatorname {Open} (X)$ के खुले सेट के $X$ एक सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
• का शोक $X$ एक स्थानीय रूप से सघन स्थान है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक कॉम्पैक्ट सेट स्थानीय आधार है)
• $X$ श्रेणी में एक घातांकीय वस्तु है $\operatorname {Top}$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का. अर्थात फनकार $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$ एक दायां जोड़ है.

बाहरी संबंध

• "Continuous lattice", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Core-compact space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Continuous poset at the nLab
• Continuous category at the nLab
• Exponential law for spaces at the nLab
• Continuous poset at PlanetMath.