K-फ़ंक्शन

For k-फलन, see बेटमैन फलन.

गणित में,K-फलन, जिसे सामान्यतः K(z) कहा जाता है, हाइपरफैक्टोरियल से जटिल संख्याओं का सामान्यीकरण है, जो गामा फलन के लिए फ़ैक्टोरियल के सामान्यीकरण के समान है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, K-फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].$

इसे संवृत रूप में भी दिया जा सकता है

$K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]}$

जहाँ ζ′(z) रीमैन ज़ेटा फलन के व्युत्पन्न को दर्शाता है, ζ(a,z) हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन को दर्शाता है और

$\zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.$

पॉलीगामा फलन का उपयोग करने वाली और अभिव्यक्ति है

$K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right]$

या पॉलीगामा फलन के संतुलित सामान्यीकरण का उपयोग करता है :

$K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right]$

जहाँ A ग्लैशर स्थिरांक है।

गामा फलन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान, लॉग के-फलन अद्वितीय (एक योगात्मक स्थिरांक तक) अंततः समीकरण $\Delta f(x)=x\ln(x)$ का 2-उत्तल समाधान है जहाँ $\Delta$ फॉरवर्ड डिफरेंस संचालक है।

गुण

इसके α > 0 लिए यह दिखाया जा सकता है :

$\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)$

इसे किसी फलन f को परिभाषित करके दिखाया जा सकता है ऐसा है कि:

$f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx$

α प्रस्तुतीकरण के संबंध में अब इस पहचान को अलग करता है:

$f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )$

लघुगणक नियम प्रयुक्त करने पर हमें प्राप्त होता है

$f'(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}$

K-फलन की परिभाषा के अनुसार हम लिखते हैं

$f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha$

इसलिए

$f(\alpha )={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)+C$

समायोजन α = 0 करने पर

$\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\rightarrow 0}\left[{\tfrac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]+C\ =C$

K}-फलन गामा फलन और हमारे पास उपस्थित प्राकृतिक संख्या के लिए बार्न्स G-फलन से निकटता से संबंधित है

$K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.$

अधिक व्यावहारिक रूप से, कोई लिख सकता है

$K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.$

प्रथम मान हैं

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (sequence A002109 in the OEIS).

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "K-Function". MathWorld.