ज़ारिस्की टोपोलॉजी

एफ़िन विमान पर ज़ारिस्कीसांस्थिति में, बहुपद का यह ग्राफ़ बंद है।

बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित में, ज़ारिस्की सांस्थिति एक सांस्थिति (संरचना) है जिसे मुख्य रूप से इसके बंद समूहों द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह उन सांस्थिति से बहुत अलग है जो सामान्यतौर पर वास्तविक विश्लेषण या जटिल विश्लेषण में उपयोग की जाती हैं; विशेष रूप से, यह हॉसडॉर्फ़ स्थान नहीं है। इस सांस्थिति को मुख्य रूप से ऑस्कर ज़ारिस्की द्वारा प्रस्तुत किया गया था और बाद में इसे सांस्थिति स्पेस (जिसे छल्ले का वर्णक्रम कहा जाता है) के प्रमुख आदर्शों के समूह बनाने के लिए सामान्यीकृत किया गया था।

ज़ारिस्की सांस्थिति बीजगणितीय विविधता का अध्ययन करने के लिए सांस्थिति के उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति देती है, तब भी जब अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) सांस्थिति क्षेत्र नहीं है। यह योजना सिद्धांत के मूल विचारों में से एक है, जो किसी को कई गुना सिद्धांत के समान सम्बंधित प्रकार को एक साथ जोड़कर सामान्य बीजगणितीय प्रकार का निर्माण करने की अनुमति देता है, जहां चार्ट (सांस्थिति) को एक साथ जोड़कर अनेक निर्माण किया जाता है, वास्तविक सम्बंधित रिक्त स्थान का खुले उपसमुच्चय हैं।

बीजीय प्रकार की ज़ारिस्की सांस्थिति वह सांस्थिति है जिसके बंद समूह के प्रकार के बीजगणितीय समूह होते हैं। जटिल संख्याओं पर बीजगणितीय विविधता के कथन में, ज़ारिस्की सांस्थिति सामान्य सांस्थिति की तुलना में अधिक मोटे होती है, क्योंकि प्रत्येक बीजगणितीय समूह सामान्य सांस्थिति के लिए बंद होता है।

एक क्रमविनिमेय वलय के प्रमुख आदर्शों के समूह के लिए ज़ारिस्की सांस्थिति का सामान्यीकरण हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसत्ज़ से होता है, जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर परिभाषित सम्बंधित विविधता के बिंदुओं और इसके नियमित कार्य के वलय के अधिकतम आदर्शों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करता है। यह क्रमविनिमेय छल्लों के अधिकतम आदर्शों के समूह पर ज़ारिस्की सांस्थिति को सांस्थिति के रूप में परिभाषित करने का सुझाव देता है, जैसे कि अधिकतम आदर्शों का समूह बंद हो जाता है यदि और केवल तभी जब यह सभी अधिकतम आदर्शों का समूह होता है जिसमें दिया गया आदर्श होता है। ग्रोथेंडिक के योजना सिद्धांत का अन्य मूल विचार बिंदुओं के रूप में न केवल अधिकतम आदर्शों के अनुरूप सामान्य बिंदुओं पर विचार करना है, अपितु सभी (अघुलनशील) बीजगणितीय प्रकारों पर भी विचार करना है, जो प्रमुख आदर्शों के अनुरूप हैं। इस प्रकार क्रमविनिमेय छल्ले के प्रमुख आदर्शों (वर्णक्रम) के समूह पर 'ज़ारिस्की सांस्थिति' ऐसी सांस्थिति है कि प्रमुख आदर्शों का समूह बंद हो जाता है केवल तभी जब यह सभी प्रमुख आदर्शों का समूह हो जिसमें एक निश्चित आदर्श होता है।

किस्मों की ज़ारिस्कीसांस्थिति

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में (अर्थात, बीजगणितीय ज्यामिति का वह भाग जिसमें कोई योजना (गणित) का उपयोग नहीं करता है, जिसे 1960 के आसपास ग्रोथेंडिक द्वारा पेश किया गया था), ज़ारिस्कीसांस्थिति को बीजगणितीय किस्मों पर परिभाषित किया गया है। ज़रिस्कीसांस्थिति, विविधता के बिंदुओं पर परिभाषित,सांस्थिति ऐसी है कि बंद सेट विविधता का बीजगणितीय सेट है। चूंकि सबसे प्राथमिक बीजगणितीय किस्में एफ़िन किस्म और प्रक्षेप्य किस्में हैं, इसलिए दोनों मामलों में इस परिभाषा को अधिक स्पष्ट बनाना उपयोगी है। हम मानते हैं कि हम एक निश्चित, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर काम कर रहे हैं (शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में, k आमतौर पर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है)।

एफ़िन किस्में

सबसे पहले, हम एफ़िन स्पेस परसांस्थिति को परिभाषित करते हैं $\mathbb {A} ^{n},$ Ntuple| द्वारा गठितn-के तत्वों के टुपल्स k.सांस्थिति को इसके खुले सेटों के बजाय इसके बंद सेटों को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया गया है, और इन्हें बस सभी बीजगणितीय सेटों के रूप में लिया जाता है $\mathbb {A} ^{n}.$ अर्थात् बंद सेट फॉर्म के होते हैं

$$V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}$$

जहाँ S, k के ऊपर n चरों में बहुपदों का कोई समुच्चय है। यह दिखाने के लिए एक सीधा सत्यापन है कि:

• वी(एस) = वी((एस)), जहां (एस) एस के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) है;
• बहुपद I, J के किन्हीं दो आदर्शों के लिए हमारे पास है
  1. $V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);$
  2. $V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).$

यह इस प्रकार है कि सेट वी (एस) के परिमित संघ और मनमाने ढंग से चौराहे भी इस रूप के होते हैं, ताकि ये सेटसांस्थिति के बंद सेट बनाते हैं (समकक्ष, उनके पूरक, डी (एस) को चिह्नित करते हैं और प्रमुख खुले सेट कहलाते हैं, फॉर्मसांस्थिति ही)। यह ज़ारिस्कीसांस्थिति पर है $\mathbb {A} ^{n}.$ यदि $\mathbb {A} ^{n}.$ समान रूप से, यह जांचा जा सकता है कि:

• एफ़िन समन्वय वलय के तत्व
  $$A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$$
  के तत्वों की तरह ही एक्स पर भी कार्य करता है $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ पर कार्यों के रूप में कार्य करें $\mathbb {A} ^{n}$; यहाँ, I(X) X पर लुप्त होने वाले सभी बहुपदों का आदर्श है।
• बहुपद S के किसी भी सेट के लिए, T को A(X) में उनकी छवियों का सेट होने दें। फिर X का उपसमुच्चय
  $$V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}$$
  (ये नोटेशन मानक नहीं हैं) वी(एस) के एक्स के साथ प्रतिच्छेदन के बराबर है।

यह स्थापित करता है कि उपरोक्त समीकरण, स्पष्ट रूप से बंद की परिभाषा का एक सामान्यीकरण स्थापित करता है $\mathbb {A} ^{n}$ उपरोक्त, किसी भी एफ़िन किस्म पर ज़ारिस्कीसांस्थिति को परिभाषित करता है।

प्रक्षेपी किस्में

उस एन-आयामी प्रक्षेप्य स्थान को याद करें $\mathbb {P} ^{n}$ में गैर-शून्य बिंदुओं के तुल्यता वर्गों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $\mathbb {A} ^{n+1}$ दो बिंदुओं की पहचान करके जो k में एक अदिश गुणज से भिन्न होते हैं। बहुपद वलय के तत्व $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ कार्य चालू नहीं हैं $\mathbb {P} ^{n}$ क्योंकि किसी भी बिंदु के कई प्रतिनिधि होते हैं जो एक बहुपद में अलग-अलग मान उत्पन्न करते हैं; हालाँकि, सजातीय बहुपदों के लिए किसी दिए गए प्रक्षेप्य बिंदु पर शून्य या गैर-शून्य मान होने की स्थिति अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि अदिश गुणक बहुपद से बाहर हैं। इसलिए, यदि S सजातीय बहुपदों का कोई समुच्चय है तो हम उचित रूप से इसके बारे में बात कर सकते हैं

$V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.$

उपरोक्त समान तथ्य इन सेटों के लिए स्थापित किए जा सकते हैं, सिवाय इसके कि आदर्श शब्द को सजातीय आदर्श वाक्यांश द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, ताकि वी (एस), सजातीय बहुपदों के सेट एस के लिए, एकसांस्थिति को परिभाषित करें $\mathbb {P} ^{n}.$ जैसा कि ऊपर बताया गया है, इन सेटों के पूरकों को D(S) दर्शाया गया है, या, यदि भ्रम उत्पन्न होने की संभावना है, तो D′(S) दर्शाया गया है।

प्रोजेक्टिव ज़ारिस्कीसांस्थिति को प्रोजेक्टिव बीजगणितीय सेटों के लिए परिभाषित किया गया है, जैसे कि एफ़िन को सबस्पेससांस्थिति लेकर, एफ़िन बीजगणितीय सेटों के लिए परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है कि इससांस्थिति को उपरोक्त सूत्र के अनुसार, प्रक्षेप्य समन्वय रिंग के तत्वों के सेट द्वारा आंतरिक रूप से परिभाषित किया गया है।

गुण

ज़ारिस्कीसांस्थिति की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि उनके पास एक आधार (टोपोलॉजी) है जिसमें सरल तत्व शामिल हैं, अर्थात् D(f) व्यक्तिगत बहुपदों के लिए (या प्रक्षेप्य किस्मों, सजातीय बहुपदों के लिए) f. ये एक आधार बनाते हैं जो ऊपर दिए गए दो ज़ारिस्की-बंद सेटों के प्रतिच्छेदन के सूत्र से अनुसरण करता है (इसे जनरेटर द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्शों पर बार-बार लागू करें) (S)). इस आधार में खुले समुच्चय को विशिष्ट या मूल खुला समुच्चय कहा जाता है। इस संपत्ति का महत्व विशेष रूप से एक एफ़िन योजना की परिभाषा में इसके उपयोग से उत्पन्न होता है।

हिल्बर्ट के आधार प्रमेय और नोथेरियन अंगूठी के कुछ प्राथमिक गुणों के अनुसार, प्रत्येक एफ़िन या प्रक्षेप्य समन्वय रिंग नोथेरियन है। परिणामस्वरूप, ज़ारिस्कीसांस्थिति के साथ एफ़िन या प्रोजेक्टिव स्पेस नोथेरियन टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, जिसका अर्थ है कि इन स्पेस का कोई भी बंद उपसमुच्चय सघन स्थान है।

हालाँकि, परिमित बीजगणितीय सेटों को छोड़कर, कोई भी बीजगणितीय सेट कभी भी हॉसडॉर्फ स्पेस नहीं होता है। पुराने टोपोलॉजिकल साहित्य में हॉसडॉर्फ संपत्ति को शामिल करने के लिए कॉम्पैक्ट लिया गया था, और यह सम्मेलन अभी भी बीजगणितीय ज्यामिति में सम्मानित है; इसलिए आधुनिक अर्थों में सघनता को बीजगणितीय ज्यामिति में अर्ध सघनता कहा जाता है। हालाँकि, चूंकि हर बिंदु (ए₁, ..., ए_n) बहुपद x का शून्य समुच्चय है₁- ए₁, ..., एक्स_n- ए_n, अंक बंद हैं और इसलिए प्रत्येक किस्म T1 स्थान|T को संतुष्ट करती है₁स्वयंसिद्ध.

किस्मों का प्रत्येक नियमित मानचित्र (बीजगणितीय ज्यामिति) ज़ारिस्कीसांस्थिति में निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है। वास्तव में, ज़ारिस्कीसांस्थिति सबसे कमजोरसांस्थिति है (सबसे कम खुले सेट के साथ) जिसमें यह सत्य है और जिसमें बिंदु बंद हैं। इसे यह देखकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि ज़ारिस्की-बंद सेट बहुपद कार्यों द्वारा 0 की व्युत्क्रम छवियों के प्रतिच्छेदन हैं, जिन्हें नियमित मानचित्र माना जाता है $\mathbb {A} ^{1}.$

अंगूठी का वर्णक्रम

आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में, एक बीजगणितीय विविधता को अक्सर इसकी संबद्ध योजना (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है, जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस (अतिरिक्त संरचनाओं से सुसज्जित) है जो स्थानीय रूप से एक अंगूठी के वर्णक्रम के लिए होमोमोर्फिक है। क्रमविनिमेय वलय A का वर्णक्रम दर्शाया गया है Spec A, ए के प्रमुख आदर्शों का सेट है, जो 'ज़ारिस्कीसांस्थिति' से सुसज्जित है, जिसके लिए बंद सेट सेट हैं

$V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} A\mid P\supset I\}$

जहां मैं एक आदर्श हूं.

शास्त्रीय चित्र के साथ संबंध देखने के लिए, ध्यान दें कि बहुपदों के किसी भी सेट S (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर) के लिए, यह हिल्बर्ट के Nullstellensatz से निम्नानुसार है कि V(S) के बिंदु (पुराने अर्थ में) बिल्कुल टुपल्स हैं (ए)₁, ..., ए_n) इस प्रकार कि बहुपद x द्वारा उत्पन्न आदर्श₁ − ए₁, ..., एक्स_n− ए_nएस शामिल है; इसके अलावा, ये अधिकतम आदर्श हैं और कमज़ोर Nullstellensatz द्वारा, किसी भी एफ़िन समन्वय रिंग का आदर्श अधिकतम होता है यदि और केवल यदि यह इस रूप का हो। इस प्रकार, वी(एस) एस युक्त अधिकतम आदर्शों के समान है। स्पेक को परिभाषित करने में ग्रोथेंडिक का नवाचार अधिकतम आदर्शों को सभी प्रमुख आदर्शों के साथ प्रतिस्थापित करना था; इस सूत्रीकरण में इस अवलोकन को रिंग के वर्णक्रम में एक बंद सेट की परिभाषा के लिए सामान्यीकृत करना स्वाभाविक है।

एक और तरीका, शायद मूल के समान, आधुनिक परिभाषा की व्याख्या करने के लिए यह महसूस करना है कि ए के तत्वों को वास्तव में ए के प्रमुख आदर्शों पर कार्य के रूप में सोचा जा सकता है; अर्थात्, Spec A पर कार्य करता है। बस, किसी भी अभाज्य आदर्श P में एक संगत अवशेष क्षेत्र होता है, जो भागफल A/P के अंशों का क्षेत्र होता है, और A के किसी भी तत्व का इस अवशेष क्षेत्र में प्रतिबिंब होता है। इसके अलावा, जो तत्व वास्तव में P में हैं, वे बिल्कुल वही हैं जिनका प्रतिबिंब P पर गायब हो जाता है। इसलिए यदि हम A के किसी तत्व a से जुड़े मानचित्र के बारे में सोचते हैं:

$e_{a}\colon {\bigl (}P\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {a\;{\bmod {P}}}{1}}\in \operatorname {Frac} (A/P)\right)$

(ए का मूल्यांकन), जो प्रत्येक बिंदु को वहां के अवशेष क्षेत्र में अपना प्रतिबिंब निर्दिष्ट करता है, स्पेक ए पर एक फ़ंक्शन के रूप में (जिसके मान, स्वीकार्य रूप से, अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग क्षेत्रों में स्थित हैं), तो हमारे पास है

$e_{a}(P)=0\Leftrightarrow P\in V(a)$

अधिक सामान्यतः, किसी भी आदर्श I के लिए V(I) वह सामान्य सेट है जिस पर I के सभी कार्य लुप्त हो जाते हैं, जो औपचारिक रूप से शास्त्रीय परिभाषा के समान है। वास्तव में, वे इस अर्थ में सहमत हैं कि जब A कुछ बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर बहुपदों की अंगूठी है, तो A के अधिकतम आदर्शों को (जैसा कि पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई है) k के तत्वों के n-टुपल्स, उनके अवशेष फ़ील्ड के साथ पहचाना जाता है। केवल k हैं, और मूल्यांकन मानचित्र वास्तव में संबंधित n-टुपल्स पर बहुपदों का मूल्यांकन हैं। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, शास्त्रीय परिभाषा अनिवार्य रूप से आधुनिक परिभाषा है जिसमें केवल अधिकतम आदर्शों पर विचार किया जाता है, इससे पता चलता है कि कार्यों के शून्य सेट के रूप में आधुनिक परिभाषा की व्याख्या शास्त्रीय परिभाषा से सहमत है जहां वे दोनों समझ में आते हैं।

जिस तरह स्पेक एफ़िन किस्मों की जगह लेता है, उसी तरह प्रोज निर्माण आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेपी किस्मों की जगह लेता है। शास्त्रीय मामले की तरह, एफ़िन से प्रोजेक्टिव परिभाषा में जाने के लिए हमें केवल आदर्श को सजातीय आदर्श से बदलने की आवश्यकता है, हालांकि अप्रासंगिक अधिकतम आदर्श से जुड़ी एक जटिलता है, जिसकी चर्चा उद्धृत लेख में की गई है।

उदाहरण

दाएं का वर्णक्रम

* स्पेक k, क्षेत्र का वर्णक्रम (गणित) k तत्व वाला संस्थितिक स्पेस है।

• विशिष्टता ℤ, पूर्णांकों के वर्णक्रम में प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए अधिकतम आदर्श (p) ⊂ ℤ के अनुरूप बंद बिंदु होता है, और शून्य के अनुरूप सिमित सामान्य बिंदु आदर्श (0) (अर्थात, जिसका समापन संपूर्ण स्थान होता है) होता है | तो वर्णक्रम ℤ के बंद उपसमुच्चय वास्तव में संपूर्ण स्थान और बंद बिंदुओं के परिमित समूह हैं।
• विशिष्ट k[t], क्षेत्र (गणित) k पर बहुपद वलय का वर्णक्रम: ऐसी बहुपद वलय को प्रमुख आदर्श डोमेन के रूप में जाना जाता है और अपरिवर्तनीय बहुपद k[t] के प्रमुख तत्व हैं। यदि k बीजगणितीय रूप से बंद है, उदाहरण के लिए जटिल संख्याओं का क्षेत्र, तो अस्थिर बहुपद अपरिवर्तनीय है और यदि यह रैखिक है, तो k के कुछ तत्व a के लिए t - a के रूप में होता है। तो, वर्णक्रम में k के प्रत्येक तत्व के लिए बंद बिंदु और एक सामान्य बिंदु होता है, जो शून्य आदर्श के अनुरूप होता है, और बंद बिंदुओं का समूह ज़ारिस्की सांस्थिति से सुसज्जित सम्बंधित रेखा k के साथ होम्योमॉर्फिक होता है। इस समरूपता के कारण, कुछ लेखक सम्बंधित रेखा को k[t] का वर्णक्रम कहते हैं। यदि k को बीजगणितीय रूप से बंद नहीं किया गया है, उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र, तो अरैखिक अपरिवर्तनीय बहुपदों के अस्तित्व के कारण चित्र अधिक जटिल हो जाता है। इस कथन में, वर्णक्रम में प्रत्येक मोनिक बहुपद अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए बंद बिंदु होता है, और शून्य आदर्श के अनुरूप एक सामान्य बिंदु होता है। उदाहरण के लिए, ℝ[t] के वर्णक्रम में बंद बिंदु (x - a) सम्मिलित हैं, ℝ में a के लिए, बंद बिंदु (x)² + px + q) जहां p, q ℝ में हैं और ऋणात्मक विभेदक p² − 4q < 0 के साथ हैं, और अंत में सामान्य बिंदु (0) होता है। किसी भी क्षेत्र के लिए, वर्णक्रम k[t] के बंद उपसमुच्चय बंद बिंदुओं और संपूर्ण स्थान के परिमित समूह हैं। (यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि k[t] प्रमुख आदर्श डोमेन है, और, प्रमुख आदर्श डोमेन में, जिन प्रमुख आदर्शों में एक आदर्श होता है, वे आदर्श के जनक के अभाज्य गुणनखंडन के प्रमुख कारक होते हैं)।

अतिरिक्त गुण

शास्त्रीय चित्र से नए तकसांस्थिति में सबसे नाटकीय परिवर्तन यह है कि बिंदु अब आवश्यक रूप से बंद नहीं हैं; परिभाषा का विस्तार करके, ग्रोथेंडिक ने सामान्य बिंदु पेश किए, जो अधिकतम समापन वाले बिंदु हैं, यानी न्यूनतम प्रमुख आदर्श हैं। बंद बिंदु ए के अधिकतम आदर्शों के अनुरूप हैं। हालाँकि, वर्णक्रम और प्रक्षेप्य वर्णक्रम अभी भी टी हैं₀रिक्त स्थान: दो बिंदु P, Q दिए गए हैं, जो A के अभाज्य आदर्श हैं, उनमें से कम से कम एक, मान लीजिए P, में दूसरा शामिल नहीं है। तब D(Q) में P शामिल है, लेकिन निश्चित रूप से, Q नहीं है।

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति की तरह, कोई भी वर्णक्रम या प्रोजेक्टिव वर्णक्रम (अर्ध) कॉम्पैक्ट होता है, और यदि प्रश्न में रिंग नोथेरियन है तो स्थान नोथेरियन स्थान है। हालाँकि, ये तथ्य विरोधाभासी हैं: हम आम तौर पर जुड़ा हुआ स्थान के अलावा खुले सेटों के कॉम्पैक्ट होने की उम्मीद नहीं करते हैं, और एफ़िन किस्मों (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस) के लिए हम स्पेस के कॉम्पैक्ट होने की उम्मीद भी नहीं करते हैं। यह ज़ारिस्कीसांस्थिति की ज्यामितीय अनुपयुक्तता का एक उदाहरण है। ग्रोथेंडिक ने एक योजना (गणित) (वास्तव में, योजनाओं के एक रूपवाद) के उचित रूपवाद की धारणा को परिभाषित करके इस समस्या को हल किया, जो कॉम्पैक्टनेस के सहज विचार को पुनः प्राप्त करता है: प्रोज उचित है, लेकिन स्पेक उचित नहीं है।

यह भी देखें

• वर्णक्रमीय स्थान

संदर्भ

• Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3 ed.). Wiley. pp. 71–72. ISBN 9780471433347.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Hulek, Klaus (2003). Elementary Algebraic Geometry. AMS. ISBN 978-0-8218-2952-3.
• Mumford, David (1999) [1967]. The Red Book of Varieties and Schemes. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1358 (expanded, Includes Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. MR 1748380.
• Todd Rowland. "Zariski Topology". MathWorld.