आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण

"Einstein equation" redirects here. For the equation $E=mc^{2}$, see Mass–energy equivalence.

आपेक्षिकता के सामान्य सिद्धांत में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) समष्टि काल की ज्यामिति को उसके भीतर द्रव्य के वितरण से संबंधित करते हैं।

समीकरणों को अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा 1915 में एक टेंसर समीकरण के रूप में प्रकाशित किया गया था जो स्थानीय समष्टि काल वक्रता (आइंस्टीन टेंसर द्वारा व्यक्त) को उस समष्टि काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल (प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर द्वारा व्यक्त) से संबंधित करता था।

जिस प्रकार से मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र आवेशों और धाराओं के वितरण से संबंधित होते हैं, उसी प्रकार EFE समष्टि काल ज्यामिति को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और प्रतिबल के वितरण से संबंधित करता है, अर्थात्, वे समष्टि काल में प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए समष्टि काल का मीट्रिक टेंसर निर्धारित करते हैं | मात्रिक टेंसर और आइंस्टीन टेंसर के बीच का संबंध इस प्रकार से उपयोग किए जाने पर EFE को अरैखिक आंशिक अवकल समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। EFE के समाधान मात्रिक टेंसर के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कणों और विकिरण (जियोडेसिक्स) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करके की जाती है।

स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, EFE एक दुर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो प्रकाश की गति से बहुत कम है।

EFE के लिए सटीक समाधान केवल सममिति जैसी सरलीकृत धारणाओं के तहत ही पाया जा सकता है। सटीक समाधानों के विशेष वर्गों का अधिकतर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण परिघटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूमते हुए ब्लैक होल और विस्तारित ब्रह्मांड। फ्लैट समष्टि काल से केवल छोटे विचलन के रूप में समष्टि काल का अनुमान लगाने में और सरलीकरण प्राप्त किया जाता है, जिससे रैखिक EFE होता है। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी परिघटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

गणितीय रूप

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (ईएफई) को इस रूप में लिखा जा सकता है:

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

लीडेन, नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE

जहाँ $G_{\mu \nu }$ आइंस्टीन टेंसर है, $g_{\mu \nu }$ मात्रिक टेंसर है, $T_{\mu \nu }$ प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर है, $\Lambda$ ब्रह्मांडीकीय नियतांक है और $\kappa$ आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक है |

आइंस्टीन टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },$

जहाँ R_μν रिक्की वक्रता टेंसर है, और R स्केलर वक्रता है | यह एक सममित द्वितीय-कोटि टेंसर है जो केवल मात्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।

आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.076647442844\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},$

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण न्यूटोनियन नियतांक है और c निर्वात में प्रकाश की गति है।

इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.$

मानक इकाइयों में, बाईं ओर प्रत्येक पद की इकाइयाँ 1/length² होती हैं।

बाईं ओर के व्यंजक मात्रिक द्वारा निर्धारित समष्टि काल की वक्रता को दर्शाते है; दाईं ओर के व्यंजक समष्टि काल की प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग सामग्री का प्रतिनिधित्व करते है। फिर EFE की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह बताता है कि प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग समष्टि काल की वक्रता को कैसे निर्धारित करता है।

ये समीकरण, जियोडेसिक समीकरण के साथ, जो यह निर्धारित करते है कि स्वतंत्र रूप से गिरने वाला द्रव समष्टि काल के माध्यम से कैसे चलता है, सामान्य आपेक्षिकता के गणितीय सूत्रीकरण का मूल बनाते हैं।

EFE सममित 4 × 4 टेंसरों के एक सेट से संबंधित एक टेंसर समीकरण है। प्रत्येक टेंसर में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची सर्वसमिकाये स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिक में स्वतंत्रता की चार गेज-फिक्सिंग कोटि रह जाती हैं, जो एक समन्वय प्रणाली चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती हैं।

हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने n आयामों में उनके परिणामों की खोज की है। सामान्य आपेक्षिकता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (तब प्राप्त होते हैं जब T_μν हर जगह शून्य होता है) आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करते हैं।

समीकरण जितने सरल दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर के रूप में द्रव और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, EFE को मात्रिक टेंसर $g_{\mu \nu }$ के लिए समीकरण समझा जाता है, क्योंकि रिक्की टेंसर और स्केलर वक्रता दोनों जटिल अरैखिक तरीके से मात्रिक पर निर्भर करते हैं। जब पूर्ण प्रकार से लिखा जाता है, तो EFE दस युग्मित, अरैखिक, अतिपरवलिक-अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली है।

चिह्न परिपाटी

EFE का उपरोक्त रूप मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है। लेखकों ने उपस्थित कन्वेंशन का विश्लेषण किया और इन्हें तीन संकेतों ([एस1] [एस2] [एस3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:

$${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}$$

उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की टेंसर के लिए कन्वेंशन की चॉइस से संबंधित है:

$$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }$$

इन परिभाषाओं के साथ मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर स्वयं को (+ + +) के रूप में वर्गीकृत करते हैं, जबकि वेनबर्ग (1972) (+ − −), पीबल्स (1980) और एफ़स्टैथिउ एट अल. (1990) (− + +), रिंडलर (1977), एटवाटर (1974), कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989) और पीकॉक (1999) (− + −) हैं |

आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की टेंसर के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग चिन्ह का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर नियतांक का चिन्ह नकारात्मक होता है:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.$$

यदि यहां अपनाए गए MTW (- + + +) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन की बजाय (+ − − −) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन का उपयोग किया जाता है, तो ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाएगा।

समतुल्य सूत्रीकरण

EFE के दोनों पक्षों के मात्रिक के संबंध में ट्रेस लेने पर एक संबंध मिलता है

$$R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,$$

जहाँ D समष्टि काल आयाम है। R को हल करने और इसे मूल EFE में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समतुल्य "ट्रेस-रिवर्स" रूप प्राप्त होता है:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).$$

D = 4 आयामों में यह कम हो जाता है

$$R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).$$

ट्रेस को फिर से उत्क्रमी करने से मूल EFE रिस्टोर हो जाएगा। कुछ स्थितियों में ट्रेस-उत्क्रमी रूप अधिक आसान हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई दुर्बल-क्षेत्र सीमा में रुचि रखता है और यथार्थता की महत्वपूर्ण क्षति के बिना मिन्कोव्स्की मीट्रिक के साथ दाईं ओर व्यंजक में $g_{\mu \nu }$ को बदल सकता है)।

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक

Main article: Cosmological constant

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,$$

ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकवाला शब्द Λ उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने स्थिर ब्रह्मांड की अनुमति देने के लिए इस शब्द को ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकके साथ शामिल किया। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:

• इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित स्थिर अवस्था समाधान अस्थिर है, और
• एडविन हबल के अवलोकनों से पता चला कि हमारा ब्रह्माण्ड एक विस्तारित ब्रह्माण्ड है।

फिर आइंस्टीन ने त्याग दिया Λ, जॉर्ज गामो से टिप्पणी करते हुए कहा कि ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी। इस शब्द के शामिल होने से विसंगतियाँ पैदा नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकको लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के खगोल विज्ञान अवलोकनों से पता चला है कि ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार हो रहा है, और इसे समझाने के लिए इसका एक सकारात्मक मूल्य है Λ ज़रूरी है। किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकनगण्य है।

आइंस्टीन ने ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकको एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके शब्द को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और तनाव-ऊर्जा टेंसर के हिस्से के रूप में शामिल किया जा सकता है:

$$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.$$

यह टेंसर निर्वात ऊर्जा के साथ निर्वात अवस्था का वर्णन करता है ρ_vac और आइसोट्रोपिक दबाव p_vac जो निश्चित नियतांकहैं और द्वारा दिए गए हैं

$$\rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},$$

जहाँ ऐसा माना जाता है Λ में SI इकाई m है⁻² और κ को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकका अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के बराबर है। इसके कारण सामान्य आपेक्षिकतामें ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकऔर निर्वात ऊर्जा शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।

सुविधाएँ

ऊर्जा और संवेग का संरक्षण

सामान्य आपेक्षिकताऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.$$

Derivation of local energy–momentum conservation

Contracting the differential Bianchi identity

$$R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0$$

with g^αβ gives, using the fact that the metric tensor is covariantly constant, i.e. g^αβ_;γ = 0,

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten:

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

which is equivalent to

$$R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

using the definition of the Ricci tensor.

Next, contract again with the metric

$$g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0$$

to get

$${R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that

$$R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0$$

which can be rewritten as

$$\left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0$$

A final contraction with g^εδ gives

$$\left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0$$

which by the symmetry of the bracketed term and the definition of the Einstein tensor, gives, after relabelling the indices,

$${G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$$

Using the EFE, this immediately gives,

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$$

जो तनाव-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण कानून एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि सामान्य आपेक्षिकताइस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।

अरैखिकता

EFEकी गैर-रैखिकता सामान्य आपेक्षिकताको कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र और चार्ज और वर्तमान वितरण में रैखिक हैं (यानी दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण है, जो तरंग तरंग क्रिया में रैखिक है।

पत्राचार सिद्धांत

EFEकमजोर-क्षेत्र सन्निकटन और धीमी गति सन्निकटन दोनों का उपयोग करके न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम करता है। वास्तव में, नियतांकG EFEमें प्रदर्शित होना इन दो अनुमानों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।

Derivation of Newton's law of gravity

Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, Φ, which is the gravitational potential in joules per kilogram of the gravitational field g = −∇Φ, see Gauss's law for gravity

$$\nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)$$

where ρ is the mass density. The orbit of a free-falling particle satisfies

$${\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.$$

In tensor notation, these become

$${\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}$$

In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form

$$R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)$$

for some constant, K, and the geodesic equation

$${\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.$$

To see how the latter reduces to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero

$${\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)$$

and thus

$${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0$$

and that the metric and its derivatives are approximately static and that the squares of deviations from the Minkowski metric are negligible. Applying these simplifying assumptions to the spatial components of the geodesic equation gives

$${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}$$

where two factors of dt/dτ have been divided out. This will reduce to its Newtonian counterpart, provided

$$\Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.$$

Our assumptions force α = i and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to

$$2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,$$

which is satisfied by letting

$$g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.$$

Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component

$$R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)$$

the low speed and static field assumptions imply that

$$T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.$$

So

$$T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,$$

and thus

$$K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.$$

From the definition of the Ricci tensor

$$R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.$$

Our simplifying assumptions make the squares of Γ disappear together with the time derivatives

$$R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.$$

Combining the above equations together

$$\Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}$$

which reduces to the Newtonian field equation provided

$${\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,$$

which will occur if

$$K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.$$

निर्वात क्षेत्र समीकरण

1979 का एक स्विस स्मारक सिक्का, शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक(शीर्ष) के साथ निर्वात क्षेत्र समीकरण दर्शाता है।

यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर {{mvar|T_μν}विचाराधीन क्षेत्र में } शून्य है, तो फ़ील्ड समीकरणों को फ़ील्ड समीकरण#वैक्यूम फ़ील्ड समीकरण भी कहा जाता है। व्यवस्थित करके T_μν = 0 #समतुल्य योगों|ट्रेस-उलट क्षेत्र समीकरणों में, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिन्हें 'आइंस्टीन वैक्यूम समीकरण' (ईवीई) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$R_{\mu \nu }=0\,.$$

शून्येतर ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांकके मामले में, समीकरण हैं

$$R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.$$

निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधान को निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता) कहा जाता है। फ़्लैट मिन्कोव्स्की स्थान निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। गैर-तुच्छ उदाहरणों में श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान और केर समाधान शामिल हैं।

लुप्त हो रहे रिक्की टेंसर के साथ विविध ्स, R_μν = 0, रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड्स के रूप में संदर्भित होते हैं और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मात्रिकके आनुपातिक रिक्की टेंसर के साथ मैनिफोल्ड्स होते हैं।

आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण

See also: Maxwell's equations in curved spacetime

यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर T_μν मुक्त स्थान में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर

$$T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)$$

प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण (ब्रह्मांड संबंधी नियतांकके साथ) कहा जाता है Λ, पारंपरिक आपेक्षिकतासिद्धांत में शून्य माना जाता है):

$$G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).$$

इसके अतिरिक्त, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक टेंसर#फ़ील्ड टेंसर और आपेक्षिकताभी मुक्त स्थान में लागू होते हैं:

$${\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}$$

जहां अर्धविराम एक सहसंयोजक व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है, और कोष्ठक बाहरी बीजगणित को दर्शाता है#वैकल्पिक टेंसर बीजगणित|एंटी-सममितिकरण। पहला समीकरण यह दावा करता है कि 2-रूप का 4-विचलन F शून्य है, और दूसरी बात यह कि इसका बाह्य अवकलज शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक समन्वय चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता पेश करना संभव है A_α ऐसा है कि

$$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }$$

जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अक्सर सहसंयोजक मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है। हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।

समाधान

Main article: Solutions of the Einstein field equations

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान समष्टि काल के मात्रिकटेंसर (सामान्य सापेक्षता) हैं। ये मेट्रिक्स समष्टि काल में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित समष्टि काल की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि फ़ील्ड समीकरण गैर-रैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें हमेशा पूरी तरह से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात अनुमान लगाए बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले समष्टि काल के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार सिस्टम का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन मामलों में अनुमान लगाए जाते हैं। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसे कई मामले हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं, और उन्हें सामान्य आपेक्षिकतामें सटीक समाधान कहा जाता है।

आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह ब्लैक होल की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।

एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं। इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, गैर-रेखीय, साधारण अंतर समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि सू और वेनराइट ने चर्चा की, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी गतिशील प्रणाली के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं और कोहली और हसलाम.

रखीयकृत EFE

Main article: रैखिक गुरुत्वाकर्षण

EFE अरैखिकता का सटीक समाधान खोजना कठिन बना देता है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका सन्निकटन है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण द्रव्य के स्रोत (स्रोतों) से दूर, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बहुत कमजोर है और समष्टि काल मिन्कोव्स्की समष्टि के पास है। फिर मात्रिक को मिन्कोव्स्की मात्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-शक्ति शब्दों को अनदेखा करते हुए, मिन्कोव्स्की मात्रिक से वास्तविक मात्रिक के विचलन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक शब्द होता है। इस रैखिककरण प्रक्रिया का उपयोग गुरुत्वाकर्षण विकिरण की घटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।

बहुपद रूप

EFE के लिखित रूप में मात्रिक टेंसर के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिकटेंसर बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के निर्धारक को लिखा जा सकता है

$$\det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }$$

लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.$$

मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में व्युत्क्रमानुपाती करने के बाद इसे हर से हटाने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त शक्ति से गुणा करने पर मात्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे व्युत्पन्न में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।

यह भी देखें

• कंफर्मैस्टैटिक समष्टि काल
• आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया
• तुल्यता सिद्धांत
• सामान्य आपेक्षिकता में सटीक समाधान
• सामान्य आपेक्षिकता संसाधन
• सामान्य आपेक्षिकता का इतिहास
• हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
• सामान्य आपेक्षिकता का गणित
• संख्यात्मक आपेक्षिकता
• रिक्की कैल्कुलस

संदर्भ

See General relativity resources.

• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
• Peacock, John A. (1999). Cosmological Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.

बाहरी संबंध

• "Einstein equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
• The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
• Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
• Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

बाहरी छवियाँ

• डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन
• सुज़ैन इम्बर, अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य आपेक्षिकताका प्रभाव, बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।

श्रेणी:अल्बर्ट आइंस्टीन श्रेणी:भौतिकी के समीकरण श्रेणी:सामान्य सापेक्षता श्रेणी:आंशिक अंतर समीकरण