चेबीशेव फलन

चेबीशेव फलन ψ (x), साथ x < 50

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कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 10⁴

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कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 10⁷

गणित में, चेबीशेव फलन या तो स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) या दो संबंधित फलनों में से है। प्रथम चेबिशेव फलन ϑ  (x) या θ (x) द्वारा दिया गया है:

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

जहाँ $\log$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी अभाज्य संख्याओं p पर विस्तारित होता है जो x से कम या उसके समान हैं।

दूसरा चेबीशेव फलन ψ (x) को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग x से अधिक नहीं है

$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,$

जहाँ Λ मैंगोल्ड्ट फलन है। चेबीशेव फलन, विशेष रूप से दूसरा ψ (x), प्रायः अभाज्य संख्याओं से संबंधित गणितीय प्रमाणों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि सामान्यतः अभाज्य-गणना फलन, π (x) की तुलना में उनके साथ कार्य करना सरल होता है, (नीचे त्रुटिहीन सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव फलन x के लिए स्पर्शोन्मुख हैं, जो अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य कथन है।

त्चेबीशेफ़ फलन, चेबीशेव यूटिलिटी फलन, या भारित त्चेबीशेफ़ स्केलराइज़िंग फलन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फलन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फलन में स्केलराइज़ करना चाहता है:

$f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).$

विभिन्न मानों के लिए इस फलन को न्यूनतम करके $w$, गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर सभी बिंदु प्राप्त करता है।प्रायः $f_{i}$ फलन को न्यूनतम नहीं किया जाना चाहिए, किन्तु $|f_{i}-z_{i}^{*}|$ कुछ अदिशों के लिए $z_{i}^{*}$ तब $f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.$

तीनों फलनो का नाम पफन्युटी चेबीशेव के सम्मान में रखा गया है।

सम्बन्ध

दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है:

$\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p$

जहाँ k अद्वितीय पूर्णांक है जैसे कि p^k ≤ x और x < p^k + 1, k के मान OEIS: A206722 द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है:

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.$

ध्यान दें कि इस अंतिम योग में केवल अलुप्त होने वाली पदों की केवल एक सीमित संख्या है:

$\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.$

दूसरा चेबीशेव फलन 1 से n तक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक है:

$\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

पूर्णांक चर n के लिए lcm(1, 2, ..., n) का मान OEIS: A003418 पर दिया गया है:

$\psi (x)/x$ और $\vartheta (x)/x$ के मध्य संबंध

निम्नलिखित प्रमेय दो भागफलों से संबंधित है, ${\frac {\psi (x)}{x}}$ और ${\frac {\vartheta (x)}{x}}$

प्रमेय: $x>0$, के लिए

${\displaystyle }$