टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म

Not to be confused with सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड और परिभाषा or सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस.

गणित में, टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म एक विशेष 1-फॉर्म है जो मैनिफोल्ड $Q.$ के कोटैंजेंट बंडल $T^{*}Q$ पर परिभाषित होता है। भौतिकी में, इसका उपयोग एक बिंदु के वेग के बीच एक पत्राचार बनाने के लिए किया जाता है। एक यांत्रिक प्रणाली और उसकी गति में, इस प्रकार लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच एक पुल प्रदान करता है (कई गुना $Q$ पर)।

इस फॉर्म का बाहरी व्युत्पन्न एक सरलीकृत रूप देने को परिभाषित करता है जो $T^{*}Q$ एक सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड की संरचना देता है। टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म हैमिल्टनियन यांत्रिकी और लैग्रेंजियन यांत्रिकी की औपचारिकता से संबंधित होने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म को कभी-कभी लिउविले वन-फॉर्म, पोंकारे वन-फॉर्म, वन-फॉर्म या सिंपलेक्टिक पोटेंशियल भी कहा जाता है। एक समान वस्तु स्पर्शरेखा बंडल पर विहित सदिश क्षेत्र है।

टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म को परिभाषित करने के लिए, एक समन्वय चार्ट का चयन करें $U$ पर $T^{*}Q$ और एक विहित समन्वय प्रणाली $U.$ पर एक इच्छानुसार बिंदु चुनें जो $m\in T^{*}Q.$ कोटैंजेंट बंडल की परिभाषा के अनुसार, $m=(q,p),$ कहाँ $q\in Q$ और $p\in T_{q}^{*}Q.$ तनातनी एक-रूप $\theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R}$ द्वारा दिया गया है

$$\theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i},$$

$n=\mathop {\text{dim}} Q$ और $(p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ के साथ $p.$ का समन्वय प्रतिनिधित्व है।

$T^{*}Q$ पर कोई भी निर्देशांक जो इस परिभाषा को कुल अंतर (स्पष्ट रूप) तक संरक्षित करता है, उसे विहित निर्देशांक कहा जा सकता है; विभिन्न विहित समन्वय प्रणालियों के बीच परिवर्तनों को विहित परिवर्तनों के रूप में जाना जाता है।

कैनोनिकल सिंपलेक्टिक फॉर्म, जिसे पोंकारे टू-फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा दिया गया है

$$\omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}$$

सामान्य फाइबर बंडल तक इस अवधारणा के विस्तार को सोल्डर फॉर्म के रूप में जाना जाता है। परंपरा के अनुसार, जब भी फॉर्म की एक अद्वितीय, विहित परिभाषा होती है, तो कोई व्यक्ति कैनोनिकल फॉर्म वाक्यांश का उपयोग करता है, और जब भी कोई इच्छानुसार विकल्प बनाना होता है, तो कोई सोल्डर फॉर्म शब्द का उपयोग करता है। बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल ज्यामिति में विहित वर्ग के साथ अस्पष्ट के कारण विहित शब्द को हतोत्साहित किया जाता है, और टॉटोलॉजिकल बंडल की तरह टॉटोलॉजिकल शब्द को प्राथमिकता दी जाती है।

समन्वय-मुक्त परिभाषा

टॉटोलॉजिकल 1-फॉर्म को चरण स्थान पर एक रूप के रूप में अमूर्त रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए $Q$ एक मैनिफोल्ड है और $M=T^{*}Q$ कोटैंजेंट बंडल या चरण स्थान है। होने देना

$$\pi :M\to Q$$

विहित फाइबर बंडल प्रक्षेपण हो, और चलो

$$\mathrm {d} \pi :TM\to TQ$$

प्रेरित स्पर्शरेखा मानचित्र बनें। मान लीजिए कि $m$ $M.$ पर एक बिंदु है, चूँकि $M$ कोटैंजेंट बंडल है, हम $m$ को $q=\pi (m)$ पर स्पर्शरेखा स्थान का मानचित्र समझ सकते हैं।

$$m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .$$

अर्थात्, हमारे पास यह है कि m, q के तंतु में है। फिर बिंदु m पर टॉटोलॉजिकल वन-फ़ॉर्म $\theta _{m}$ को परिभाषित किया गया है

$$\theta _{m}=m\circ \mathrm {d} \pi _{m}.$$

यह एक रेखीय मानचित्र है

$$\theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R}$$

इसलिए

$$\theta :M\to T^{*}M.$$

सिम्पेक्टिक क्षमता

सहानुभूति क्षमता को सामान्यतः थोड़ा अधिक स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया जाता है, और केवल स्थानीय रूप से भी परिभाषित किया जाता है: यह कोई एक-रूप है जिसमे $\phi$ ऐसा है कि $\omega =-d\phi$; वास्तव में सिम्प्लेक्टिक क्षमताएं विहित 1-रूप से एक बंद अंतर रूप से भिन्न होती हैं।

गुण

टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म अद्वितीय वन-फॉर्म है जो पुलबैक_(डिफरेंशियल ज्योमेट्री) को समाप्त करता है। अथार्त चलो $\beta$ 1-फॉर्म पर हो $Q.$ $\beta$ एक अनुभाग है (फाइबर_बंडल) $\beta :Q\to T^{*}Q.$ एक इच्छानुसार 1-रूप के लिए $\sigma$ पर $T^{*}Q,$ का पुलबैक $\sigma$ द्वारा $\beta$ परिभाषा के अनुसार, $\beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.$ यहाँ, $\beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q$ का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है $\beta .$ पसंद $\beta ,$ $\beta ^{*}\sigma$ 1-फॉर्म पर है $Q.$ तनातनी एक-रूप $\theta$ संपत्ति के साथ एकमात्र रूप है कि $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ प्रत्येक 1-फ़ॉर्म $\beta$ के लिए $Q.$ पर है

Proof.

For a chart $(\{q^{i}\}_{i=1}^{n},U)$ on $Q$ (where $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}),$ let $\{p_{i},q^{i}\}_{i=1}^{n}$ be the coordinates on $T^{*}Q,$ where the fiber coordinates $\{p_{i}\}_{i=1}^{n}$ are associated with the linear basis $\{dq^{i}\}_{i=1}^{n}.$ By assumption, for every ${\mathbf {q} }=(q^{1},\ldots ,q^{n})\in U,$

$$\beta ({\mathbf {q} })=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(\mathbf {q} )\,dq^{i},$$

or

$$\mathbf {q} =(q^{1},\ldots ,q^{n})\ {\stackrel {\beta }{\to }}\ (\underbrace {q^{1},\ldots ,q^{n}} _{\mathbf {q} },\underbrace {\beta _{1}(\mathbf {q} ),\ldots ,\beta _{n}(\mathbf {q} } _{\mathbf {p} })).$$

It follows that

$$\beta _{*}\left({\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\right)={\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \beta _{j}}{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\cdot {\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}$$

which implies that

$$(\beta ^{*}\,dq^{i})\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }=dq^{i}\left[\beta _{*}\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }\right]=\delta _{ij}.$$

Step 1. We have

$${\begin{aligned}(\beta ^{*}\theta )\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }&=\theta \left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)=\left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}dq^{j}\right)\left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)\\&=\beta _{i}(\mathbf {q} )=\beta \left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }.\end{aligned}}$$

Step 1'. For completeness, we now give a coordinate-free proof that $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ for any 1-form $\beta .$

Observe that, intuitively speaking, for every $q\in Q$ and $p\in T_{q}^{*}Q,$ the linear map $d\pi _{(q,p)}$ in the definition of $\theta$ projects the tangent space $T_{(q,p)}T^{*}Q$ onto its subspace $T_{q}Q.$ As a consequence, for every $q\in Q$ and $v\in T_{q}Q,$

$$d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=v,$$

where $\beta _{*q}$ is the instance of $\beta _{*}$ at the point $q\in Q,$ that is,

$$\beta _{*q}:T_{q}Q\to T_{\beta (q)}T^{*}Q.$$

Applying the coordinate-free definition of $\theta$ to $\theta _{\beta (q)},$ obtain

$$(\beta ^{*}\theta )_{q}v=\theta _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=\beta (q)(d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v))=\beta (q)v.$$

Step 2. It is enough to show that $\alpha =0$ if $\beta ^{*}\alpha =0,$ for every one-form $\beta .$ Let

$$\alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dq^{i}+\sum _{i=1}^{n}\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dp_{i},$$

where $\alpha _{p^{i}},\alpha _{q^{i}}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times U,\mathbb {R} ).$

Substituting $v=\left(\partial /\partial q_{i}\right)_{\mathbf {q} }$ into the identity $\alpha (\beta _{*}v)=0$ obtain

$$\alpha (\partial /\partial q^{i})_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}(\partial \beta _{j}/\partial q^{i})_{\mathbf {q} }\cdot \alpha (\partial /\partial p_{j})_{\beta (\mathbf {q} )}=0,$$

or equivalently, for any choice of $n$ functions $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ),$

$$\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )+\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0.$$

Let $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}dq^{j},$ where $c_{j}={\text{const}}.$ In this case, $\beta _{j}=c_{j}.$ For every $\mathbf {q} \in U$ and $c_{j}\in \mathbb {R} ,$

$$\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}}=0.$$

This shows that $\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ on $\mathbb {R} ^{n}\times U,$ and the identity

$$\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$$

must hold for an arbitrary choice of functions $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ).$ If $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}q^{j}dq^{j}$ (with ${}^{j}$ indicating superscript) then $\beta _{j}=c_{j}q^{j},$ and the identity becomes

$$\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}q^{j}}=0,$$

for every $\mathbf {q} \in U$ and $c_{j}\in \mathbb {R} .$ Since $c_{j}=p^{j}/q^{j},$ we see that $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0,$ as long as $q^{j}\neq 0$ for all $j.$ On the other hand, the function $\alpha _{p_{i}}$ is continuous, and hence $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ on $\mathbb {R} ^{n}\times U.$

तो, पुल-बैक और बाहरी व्युत्पन्न के बीच कम्यूटेशन द्वारा,

$$\beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .$$

कार्रवाई

यदि $H$ कोटैंजेंट बंडल पर एक हैमिल्टनियन यांत्रिकी है और $X_{H}$ इसका हैमिल्टनियन सदिश फ़ील्ड है, तो संबंधित क्रिया (भौतिकी) $S$ द्वारा दिया गया है

$$S=\theta (X_{H}).$$

अधिक व्यावहारिक शब्दों में, हैमिल्टनियन प्रवाह गति के हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का पालन करने वाले एक यांत्रिक प्रणाली के मौलिक प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व करता है। हैमिल्टनियन प्रवाह हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र का अभिन्न अंग है, और इसलिए कोई क्रिया-कोण चर के लिए पारंपरिक नोटेशन का उपयोग करते हुए लिखता है:

$$S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}$$

ऊर्जा $E$ स्थिरांक को धारण करके परिभाषित कई गुना पर अभिन्न अंग को समझा जाता है: $H=E={\text{const}}.$।

रीमैनियन और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर

यदि अनेक गुना $Q$ एक रीमानियन या छद्म-रिमानियन मेट्रिक (गणित) $g,$ है तब सामान्यीकृत निर्देशांक के संदर्भ में संबंधित परिभाषाएँ बनाई जा सकती हैं। विशेष रूप से, यदि हम मीट्रिक को मानचित्र के रूप में लेते हैं

$$g:TQ\to T^{*}Q,$$

फिर परिभाषित करें

$$\Theta =g^{*}\theta$$

और

$$\Omega =-d\Theta =g^{*}\omega$$

सामान्यीकृत निर्देशांक में $(q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ पर $TQ,$ किसी के पास

$$\Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}$$

और

$$\Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}$$

मीट्रिक किसी को $T^{*}Q.$ में एक इकाई-त्रिज्या क्षेत्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है। इस क्षेत्र तक सीमित विहित एक-रूप एक संपर्क संरचना बनाता है; इस मीट्रिक के लिए जियोडेसिक प्रवाह उत्पन्न करने के लिए संपर्क संरचना का उपयोग किया जा सकता है।

संदर्भ

• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.