प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण

गणित में, तुलना परीक्षण को कभी-कभी प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण भी कहा जाता है जिससे इसे समान संबंधित परीक्षणों (विशेष रूप से सीमा तुलना परीक्षण) से अलग किया जा सके, जो अनंत श्रृंखला (गणित) या अनुचित अभिन्न अंग के अभिसरण या विचलन को निकालने की एक प्रणाली प्रदान करता है। दोनों स्थितियों में, परीक्षण दी गई श्रृंखला या अभिन्न अंग की तुलना उस श्रृंखला से करके काम करता है जिसके अभिसरण गुण ज्ञात हैं।

श्रृंखला के लिए

गणना में, श्रृंखला के लिए तुलना परीक्षण में आम तौर पर गैर-नकारात्मक (वास्तविक संख्या | वास्तविक-मूल्यवान) शब्दों के साथ अनंत श्रृंखला के बारे में कथनों की जोड़ी होती है:

• यदि अनंत शृंखला $\sum b_{n}$ अभिसरण और $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए (अर्थात, सभी के लिए $n>N$ कुछ निश्चित मान N के लिए), फिर अनंत श्रृंखला $\sum a_{n}$ अभिसरण भी करता है.
• यदि अनंत शृंखला $\sum b_{n}$ विचलन और $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, फिर अनंत श्रृंखला $\sum a_{n}$ भी अलग हो जाता है.

ध्यान दें कि बड़े पदों वाली श्रृंखला कभी-कभी छोटे पदों वाली श्रृंखला पर हावी हो जाती है (या अंततः हावी हो जाती है)। वैकल्पिक रूप से, परीक्षण को पूर्ण अभिसरण के संदर्भ में कहा जा सकता है, इस मामले में यह जटिल संख्या शर्तों वाली श्रृंखला पर भी लागू होता है:

• यदि अनंत शृंखला $\sum b_{n}$ बिल्कुल अभिसरण है और $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, फिर अनंत श्रृंखला $\sum a_{n}$ भी बिल्कुल अभिसारी है.
• यदि अनंत शृंखला $\sum b_{n}$ बिल्कुल अभिसरण नहीं है और $|b_{n}|\leq |a_{n}|$ सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, फिर अनंत श्रृंखला $\sum a_{n}$ भी पूर्णतः अभिसरण नहीं है।

ध्यान दें कि इस अंतिम कथन में, श्रृंखला $\sum a_{n}$ अभी भी सशर्त अभिसरण हो सकता है; वास्तविक-मूल्यवान श्रृंखला के लिए, ऐसा हो सकता है यदि a_nसभी गैर-नकारात्मक नहीं हैं.

वास्तविक-मूल्यवान श्रृंखला के मामले में कथनों की दूसरी जोड़ी पहले के बराबर है क्योंकि $\sum c_{n}$ पूर्णतः यदि और केवल यदि अभिसरण होता है $\sum |c_{n}|$, गैर-नकारात्मक शब्दों वाली श्रृंखला, अभिसरण करती है।

प्रमाण

ऊपर दिए गए सभी कथनों के प्रमाण समान हैं। यहाँ तीसरे कथन का प्रमाण है।

होने देना $\sum a_{n}$ और $\sum b_{n}$ ऐसी अनंत श्रृंखला हो $\sum b_{n}$ बिल्कुल अभिसरण करता है (इस प्रकार)। $\sum |b_{n}|$ अभिसरण), और व्यापकता की हानि के बिना यह मान लें $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए n. आंशिक रकम पर विचार करें

$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.$

तब से $\sum b_{n}$ बिल्कुल एकाग्र होता है, $\lim _{n\to \infty }T_{n}=T$ किसी वास्तविक संख्या T के लिए। सभी n के लिए,

$0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.$

$S_{n}$ गैर-घटता क्रम है और $S_{n}+(T-T_{n})$ नहीं बढ़ रहा है. दिया गया $m,n>N$ फिर दोनों $S_{n},S_{m}$ अंतराल के हैं $[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]$, जिसकी लम्बाई $T-T_{N}$ के रूप में शून्य हो जाता है $N$ अनंत तक जाता है. इससे पता चलता है कि $(S_{n})_{n=1,2,\ldots }$ कॉची अनुक्रम है, और इसलिए इसे सीमा तक परिवर्तित होना चाहिए। इसलिए, $\sum a_{n}$ बिल्कुल अभिसरण है.

अभिन्न के लिए

इंटीग्रल के लिए तुलनात्मक परीक्षण इस प्रकार कहा जा सकता है, सतत कार्य को वास्तविक-मूल्यवान फलन f और g मानते हुए $[a,b)$ बी के साथ या तो $+\infty$ या वास्तविक संख्या जिस पर f और g प्रत्येक के पास लंबवत अनंतस्पर्शी है:

• यदि अनुचित अभिन्न $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ अभिसरण और $0\leq f(x)\leq g(x)$ के लिए $a\leq x<b$, फिर अनुचित अभिन्न अंग $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ के साथ अभिसरण भी करता है $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
• यदि अनुचित अभिन्न $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ विचलन और $0\leq g(x)\leq f(x)$ के लिए $a\leq x<b$, फिर अनुचित अभिन्न अंग $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ भी अलग हो जाता है.

अनुपात तुलना परीक्षण

वास्तविक-मूल्यवान श्रृंखला के अभिसरण के लिए और परीक्षण, उपरोक्त प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण और अनुपात परीक्षण दोनों के समान, अनुपात तुलना परीक्षण कहा जाता है:

• यदि अनंत शृंखला $\sum b_{n}$ अभिसरण और $a_{n}>0$, $b_{n}>0$, और ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, फिर अनंत श्रृंखला $\sum a_{n}$ अभिसरण भी करता है.
• यदि अनंत शृंखला $\sum b_{n}$ विचलन और $a_{n}>0$, $b_{n}>0$, और ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, फिर अनंत श्रृंखला $\sum a_{n}$ भी अलग हो जाता है.

यह भी देखें

• अभिसरण परीक्षण
• अभिसरण (गणित)
• प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय
• अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण
• सीमा तुलना परीक्षण
• मोनोटोन अभिसरण प्रमेय

संदर्भ

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (4th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
• Buck, R. Creighton (1965). Advanced Calculus (2nd ed.). New York: McGraw-Hill.
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
• Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
• Silverman, Herb (1975). Complex Variables. Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.