वलयी समष्टि

गणित में, एक रिंग्ड स्पेस (क्रमविनिमेय वलय ) रिंग (गणित) का एक परिवार है जो टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले उपसमुच्चय द्वारा वलय समरूपता के साथ पैरामीट्रिज्ड होता है जो प्रतिबंध (गणित) की भूमिका निभाते हैं। संक्षेप में, यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो रिंगों के एक शीफ (गणित) से सुसज्जित है जिसे स्ट्रक्चर शीफ कहा जाता है। यह खुले उपसमुच्चय पर निरंतर_फ़ंक्शन#कंटीन्युअस_फ़ंक्शन_बिटवीन_टोपोलॉजिकल_स्पेस (स्केलर-वैल्यू) फ़ंक्शंस के छल्ले की अवधारणा का एक अमूर्त है।

चक्राकार स्थानों के बीच, विशेष रूप से महत्वपूर्ण और प्रमुख स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है: एक चक्राकार स्थान जिसमें एक बिंदु पर डंठल और एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के रोगाणु की अंगूठी के बीच सादृश्य मान्य है।

चक्राकार रिक्त स्थान गणितीय विश्लेषण के साथ-साथ [[जटिल बीजगणितीय ज्यामिति]] और बीजगणितीय ज्यामिति के योजना सिद्धांत में भी दिखाई देते हैं।

ध्यान दें: रिंग वाले स्थान की परिभाषा में, अधिकांश व्याख्याएं रिंगों को क्रमविनिमेय रिंगों तक ही सीमित रखती हैं, जिनमें हार्टशोर्न और विकिपीडिया भी शामिल हैं। दूसरी ओर, एलिमेंट्स डी जियोमेट्री अल्जेब्रिक, क्रमविनिमेयता धारणा को लागू नहीं करता है, हालांकि पुस्तक ज्यादातर क्रमविनिमेय मामले पर विचार करती है।

परिभाषाएँ

एक चक्राकार स्थान $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है$X$रिंग (गणित) के एक शीफ़ (गणित) के साथ ${\mathcal {O}}_{X}$ पर $X$. पूला ${\mathcal {O}}_{X}$ का संरचना शीफ़ कहा जाता है $X$.

स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान एक चक्राकार स्थान है $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ऐसा कि एक पूले का पूरा डंठल ${\mathcal {O}}_{X}$ स्थानीय वलय हैं (अर्थात् उनके अद्वितीय अधिकतम आदर्श हैं)। ध्यान दें कि यह आवश्यक नहीं है ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ प्रत्येक खुले सेट के लिए एक स्थानीय रिंग बनें $U$; वास्तव में, ऐसा लगभग कभी नहीं होता है।

उदाहरण

एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस$X$को लेकर स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान माना जा सकता है${\mathcal {O}}_{X}$वास्तविक संख्या|वास्तविक-मूल्यवान (या जटिल संख्या|जटिल-मूल्यवान) के खुले उपसमुच्चय पर निरंतर कार्यों का समूह होना$X$. एक बिंदु पर डंठल (शेफ)। $x$ इसे निरंतर कार्यों के सभी रोगाणुओं (गणित) के सेट के रूप में सोचा जा सकता है$x$; यह अद्वितीय अधिकतम आदर्श वाला एक स्थानीय वलय है जिसमें वे रोगाणु शामिल हैं जिनका मूल्य पर है$x$है $0$.

अगर$X$कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ एक कई गुना है, हम विभेदक कार्य, या होलोमोर्फिक फ़ंक्शन | जटिल-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का शीफ ​​भी ले सकते हैं। ये दोनों स्थानीय रूप से चक्रित स्थानों को जन्म देते हैं।

अगर$X$ज़ारिस्की टोपोलॉजी को ले जाने वाली एक बीजगणितीय विविधता है, हम इसे लेकर स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थान को परिभाषित कर सकते हैं ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ ज़ारिस्की-ओपन सेट पर परिभाषित तर्कसंगत मैपिंग की अंगूठी होना$U$जो भीतर फूटते (अनन्त नहीं) होते $U$. इस उदाहरण का महत्वपूर्ण सामान्यीकरण किसी भी क्रमविनिमेय वलय के वलय के स्पेक्ट्रम का है; ये स्पेक्ट्रा स्थानीय रूप से चक्रित स्थान भी हैं। स्कीम (गणित) स्थानीय रूप से रिंग वाले स्थान हैं जो क्रमविनिमेय रिंगों के स्पेक्ट्रा को एक साथ जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं।

आकारिकी

से एक रूपवाद $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ को $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ एक जोड़ी है $(f,\varphi )$, कहाँ $f:X\to Y$ अंतर्निहित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक सतत मानचित्र है, और $\varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ एक शीफ (गणित)#Morphisms की संरचना शीफ ​​से है $Y$ की संरचना शीफ ​​की प्रत्यक्ष छवि फ़ैक्टर के लिए X. दूसरे शब्दों में, से एक रूपवाद $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ को $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ निम्नलिखित डेटा द्वारा दिया गया है:

• एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) $f:X\to Y$
• वलय समरूपताओं का एक परिवार $\varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))$ प्रत्येक खुले सेट के लिए $V$ का $Y$ जो प्रतिबंध मानचित्रों के साथ आवागमन करते हैं। अर्थात यदि $V_{1}\subseteq V_{2}$ के दो खुले उपसमुच्चय हैं $Y$, तो निम्नलिखित आरेख को क्रमविनिमेय आरेख होना चाहिए (ऊर्ध्वाधर मानचित्र प्रतिबंध समरूपताएं हैं):

स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थानों के बीच आकारिकी के लिए एक अतिरिक्त आवश्यकता है:

• वलय समरूपता से प्रेरित $\varphi$ के डंठलों के बीच$Y$और के डंठल$X$स्थानीय रिंग होनी चाहिए#कुछ तथ्य और परिभाषाएँ, यानी प्रत्येक के लिए$x\in X$स्थानीय वलय (डंठल) का अधिकतम आदर्श $f(x)\in Y$ स्थानीय रिंग के अधिकतम आदर्श में मैप किया गया है$x\in X$.

एक नया रूपवाद बनाने के लिए दो रूपवादों की रचना की जा सकती है, और हम चक्राकार स्थानों की श्रेणी (गणित) और स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। इन श्रेणियों में समरूपता को हमेशा की तरह परिभाषित किया गया है।

स्पर्शरेखा रिक्त स्थान

See also: Zariski tangent space

स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थानों में स्पर्शरेखा स्थानों की सार्थक परिभाषा की अनुमति देने के लिए पर्याप्त संरचना होती है। होने देना$X$संरचना शीफ ​​के साथ स्थानीय रूप से रिंगित स्थान बनें${\mathcal {O}}_{X}$; हम स्पर्शरेखा स्थान को परिभाषित करना चाहते हैं $T_{x}(X)$ बिंदु पर$x\in X$. स्थानीय रिंग (डंठल) लें $R_{x}$ बिंदु पर $x$, अधिकतम आदर्श के साथ ${\mathfrak {m}}_{x}$. तब $k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ एक क्षेत्र (गणित) है और ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ उस क्षेत्र (कोटैंजेंट स्थान) पर एक सदिश स्थल है। स्पर्शरेखा स्थान $T_{x}(X)$ इस सदिश समष्टि के दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है।

विचार निम्नलिखित है: एक स्पर्शरेखा वेक्टर$x$आपको यह बताना चाहिए कि कार्यों में अंतर कैसे करें$x$, यानी के तत्व$R_{x}$. अब यह जानना पर्याप्त है कि उन कार्यों को कैसे अलग किया जाए जिनका मूल्य है$x$शून्य है, क्योंकि अन्य सभी फलन इनसे केवल एक स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं, और हम जानते हैं कि स्थिरांकों में अंतर कैसे किया जाता है। इसलिए हमें सिर्फ विचार करने की जरूरत है${\mathfrak {m}}_{x}$. इसके अलावा, यदि दो फ़ंक्शन शून्य मान के साथ दिए गए हैं$x$, तो उनके उत्पाद का व्युत्पन्न 0 है$x$, उत्पाद नियम द्वारा। इसलिए हमें केवल यह जानने की आवश्यकता है कि तत्वों को संख्याएँ कैसे निर्दिष्ट करें ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$, और दोहरा स्थान यही करता है।

${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल

Main article: Sheaf of modules

स्थानीय रूप से रिंगित स्थान दिया गया $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, मॉड्यूल के कुछ शीफ (गणित)।$X$अनुप्रयोगों में होते हैं,${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल. उन्हें परिभाषित करने के लिए, एबेलियन समूहों के एक समूह एफ पर विचार करें$X$. यदि F(U) रिंग के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित) है${\mathcal {O}}_{X}(U)$प्रत्येक खुले सेट के लिए$U$में$X$, और प्रतिबंध मानचित्र मॉड्यूल संरचना के साथ संगत हैं, तो हम कॉल करते हैं $F$ एक${\mathcal {O}}_{X}$-मापांक। इस मामले में, का डंठल$F$पर$x$स्थानीय रिंग (डंठल) पर एक मॉड्यूल होगा$R_{x}$, हरएक के लिए$x\in X$.

ऐसे दो के बीच एक रूपवाद${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल शीव्स#मॉर्फिज्म का एक मॉर्फिज्म है जो दिए गए मॉड्यूल संरचनाओं के साथ संगत है। की श्रेणी${\mathcal {O}}_{X}$-एक निश्चित स्थानीय रिंग वाले स्थान पर मॉड्यूल $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ एक एबेलियन श्रेणी है।

की श्रेणी का एक महत्वपूर्ण उपश्रेणी${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी है$X$. का एक पूला${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल को अर्ध-सुसंगत कहा जाता है यदि यह, स्थानीय रूप से, मुक्त के बीच के मानचित्र के कोकर्नेल के लिए आइसोमोर्फिक है${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल. एक सुसंगत पूला$F$एक अर्ध-सुसंगत शीफ़ है जो स्थानीय रूप से, परिमित प्रकार का और प्रत्येक खुले उपसमुच्चय के लिए है$U$का$X$मुक्त से किसी भी रूपवाद का मूल${\mathcal {O}}_{U}$-परिमित रैंक के मॉड्यूल$F_{U}$यह भी परिमित प्रकार का है।

संदर्भ

• Section 0.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

बाहरी संबंध

• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Ringed space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press