Notation
NM ( x 0 , p ) {\displaystyle {\textrm {NM}}(x_{0},\,\mathbf {p} )} Parameters
x 0 > 0 {\displaystyle x_{0}>0} — the number of failures before the experiment is stopped, p {\displaystyle \mathbf {p} } ∈ R m — m -vector of "success" probabilities,p 0 = 1 − (p 1 +…+p m ) — the probability of a "failure". Support
x i ∈ { 0 , 1 , 2 , … } , 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m} PMF
Γ ( ∑ i = 0 m x i ) p 0 x 0 Γ ( x 0 ) ∏ i = 1 m p i x i x i ! , {\displaystyle \Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {p_{0}^{x_{0}}}{\Gamma (x_{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}},} where Γ(x ) is the Gamma function . Mean
x 0 p 0 p {\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\mathbf {p} } Variance
x 0 p 0 2 p p ′ + x 0 p 0 diag ( p ) {\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {pp} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} )} MGF
( p 0 1 − ∑ j = 1 m p j e t j ) x 0 {\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{t_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}} CF
( p 0 1 − ∑ j = 1 m p j e i t j ) x 0 {\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{it_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}}
संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, नकारात्मक बहुपद वितरण नकारात्मक द्विपद वितरण (एनबी(x ) का एक सामान्यीकरण है0 , p)) दो से अधिक परिणामों के लिए।[1]
अविभाज्य नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर x 0 {\displaystyle x_{0}} एक सकारात्मक पूर्णांक है, नकारात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो m+1≥2 संभावित परिणाम उत्पन्न करता है, {X0 ,...,एक्सm }, प्रत्येक गैर-नकारात्मक संभावनाओं के साथ घटित होता है {पी0 ,...,पीm } क्रमश। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहा, तो {X0 ,...,एक्सm } बहुपद वितरण होता। हालाँकि, यदि एक्स एक बार प्रयोग बंद कर दिया जाता है0 पूर्व निर्धारित मान x तक पहुँच जाता है0 (मानते हुए x0 एक धनात्मक पूर्णांक है), तो m-tuple {X का वितरण1 ,...,एक्सm } ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग X है1 +...+एक्सm ऋणात्मक द्विपद वितरण से उत्पन्न होने के कारण स्थिर नहीं है।
गुण
सीमांत वितरण
यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है
X = [ X ( 1 ) X ( 2 ) ] with sizes [ n × 1 ( m − n ) × 1 ] {\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{(1)}\\\mathbf {X} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}}
और तदनुसार
p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}}
p = [ p ( 1 ) p ( 2 ) ] with sizes [ n × 1 ( m − n ) × 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}^{(1)}\\{\boldsymbol {p}}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}}
और जाने
q = 1 − ∑ i p i ( 2 ) = p 0 + ∑ i p i ( 1 ) {\displaystyle q=1-\sum _{i}p_{i}^{(2)}=p_{0}+\sum _{i}p_{i}^{(1)}}
का सीमांत वितरण
X ( 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {X}}^{(1)}} है
N M ( x 0 , p 0 / q , p ( 1 ) / q ) {\displaystyle \mathrm {NM} (x_{0},p_{0}/q,{\boldsymbol {p}}^{(1)}/q)} . अर्थात् सीमांत वितरण के साथ ऋणात्मक बहुपद भी है
p ( 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{(2)}} हटा दिया गया है और शेष पी को ठीक से स्केल किया गया है ताकि एक में जोड़ा जा सके।
अविभाज्य सीमांत m = 1 {\displaystyle m=1} ऐसा कहा जाता है कि इसका द्विपद वितरण ऋणात्मक है।
सशर्त वितरण
का सशर्त_संभावना_वितरण X ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {X} ^{(1)}} दिया गया X ( 2 ) = x ( 2 ) {\displaystyle \mathbf {X} ^{(2)}=\mathbf {x} ^{(2)}} है N M ( x 0 + ∑ x i ( 2 ) , p ( 1 ) ) {\textstyle \mathrm {NM} (x_{0}+\sum {x_{i}^{(2)}},\mathbf {p} ^{(1)})} . वह है,
Pr ( x ( 1 ) ∣ x ( 2 ) , x 0 , p ) = Γ ( ∑ i = 0 m x i ) ( 1 − ∑ i = 1 n p i ( 1 ) ) x 0 + ∑ i = 1 m − n x i ( 2 ) Γ ( x 0 + ∑ i = 1 m − n x i ( 2 ) ) ∏ i = 1 n ( p i ( 1 ) ) x i ( x i ( 1 ) ) ! . {\displaystyle \Pr(\mathbf {x} ^{(1)}\mid \mathbf {x} ^{(2)},x_{0},\mathbf {p} )=\Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {(1-\sum _{i=1}^{n}{p_{i}^{(1)}})^{x_{0}+\sum _{i=1}^{m-n}x_{i}^{(2)}}}{\Gamma (x_{0}+\sum _{i=1}^{m-n}x_{i}^{(2)})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(p_{i}^{(1)})^{x_{i}}}{(x_{i}^{(1)})!}}.}
स्वतंत्र योग
अगर X 1 ∼ N M ( r 1 , p ) {\displaystyle \mathbf {X} _{1}\sim \mathrm {NM} (r_{1},\mathbf {p} )} और अगर X 2 ∼ N M ( r 2 , p ) {\displaystyle \mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{2},\mathbf {p} )} तो स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं
X 1 + X 2 ∼ N M ( r 1 + r 2 , p ) {\displaystyle \mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{1}+r_{2},\mathbf {p} )} . इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फ़ंक्शन से यह देखना आसान है कि नकारात्मक बहुपद अनंत विभाज्यता (संभावना) है।
एकत्रीकरण
अगर
X = ( X 1 , … , X m ) ∼ NM ( x 0 , ( p 1 , … , p m ) ) {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{m}))}
फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है,
X ′ = ( X 1 , … , X i + X j , … , X m ) ∼ NM ( x 0 , ( p 1 , … , p i + p j , … , p m ) ) . {\displaystyle \mathbf {X} '=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{i}+p_{j},\ldots ,p_{m})).}
इस एकत्रीकरण संपत्ति का उपयोग सीमांत वितरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है
X i {\displaystyle X_{i}} उपर्युक्त।
सहसंबंध मैट्रिक्स
सहसंबंध मैट्रिक्स#सहसंबंध मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ हैं
ρ ( X i , X i ) = 1. {\displaystyle \rho (X_{i},X_{i})=1.}
ρ ( X i , X j ) = cov ( X i , X j ) var ( X i ) var ( X j ) = p i p j ( p 0 + p i ) ( p 0 + p j ) . {\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(p_{0}+p_{i})(p_{0}+p_{j})}}}.}
पैरामीटर अनुमान
क्षणों की विधि
यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें
μ = x 0 p 0 p {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {x_{0}}{p_{0}}}\mathbf {p} }
और सहप्रसरण मैट्रिक्स
Σ = x 0 p 0 2 p p ′ + x 0 p 0 diag ( p ) , {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {p} \mathbf {p} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} ),}
फिर
निर्धारकों के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है
| Σ | = 1 p 0 ∏ i = 1 m μ i {\textstyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|={\frac {1}{p_{0}}}\prod _{i=1}^{m}{\mu _{i}}} . इससे तो यही पता चलता है
x 0 = ∑ μ i ∏ μ i | Σ | − ∏ μ i {\displaystyle x_{0}={\frac {\sum {\mu _{i}}\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}}}
और
p = | Σ | − ∏ μ i | Σ | ∑ μ i μ . {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|\sum {\mu _{i}}}}{\boldsymbol {\mu }}.}
नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है
x ^ 0 = ( ∑ i = 1 m x i ¯ ) ∏ i = 1 m x i ¯ | S | − ∏ i = 1 m x i ¯ {\displaystyle {\hat {x}}_{0}={\frac {(\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x_{i}}})}\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}{|\mathbf {S} |-\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}}}
और
p ^ = ( | S | − ∏ i = 1 m x ¯ i | S | ∑ i = 1 m x ¯ i ) x ¯ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\left({\frac {|{\boldsymbol {S}}|-\prod _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}{|{\boldsymbol {S}}|\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}}\right){\boldsymbol {\bar {x}}}}
संबंधित वितरण
संदर्भ
↑ Le Gall, F. The modes of a negative multinomial distribution, Statistics & Probability Letters, Volume 76, Issue 6, 15 March 2006, Pages 619-624, ISSN 0167-7152, 10.1016/j.spl.2005.09.009 .
Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi-
nomial distribution. Biometrics 53: 971–82.
अग्रिम पठन
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997). "Chapter 36: Negative Multinomial and Other Multinomial-Related Distributions". Discrete Multivariate Distributions . Wiley. ISBN 978-0-471-12844-1 .
Discrete univariate
with finite support with infinite support
Continuous univariate
supported on a bounded interval supported on a semi-infinite interval supported on the whole real line with support whose type varies
Mixed univariate
Multivariate (joint) Directional Degenerate and singular Families