स्पर्शरेखा अर्धकोण प्रतिस्थापन

समाकलन गणित में, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन समाकलन के मूल्यांकन के लिए उपयोग किए जाने वाले चर का एक परिवर्तन है, जो ${\textstyle x}$ के त्रिकोणमितीय कार्यों के एक तर्कसंगत फलन को ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$ सेट करके ${\textstyle t}$ के एक सामान्य तर्कसंगत फलन में परिवर्तित करता है। यह वास्तविक रेखा पर कोण माप द्वारा पैरामीट्रिज्ड इकाई चक्र का एक आयामी त्रिविम प्रक्षेपण है। सामान्य परिवर्तन सूत्र है:

$$\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int f{\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)}{\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}.$$

गोलाकार त्रिकोणमिति में आधे कोण की स्पर्शरेखा महत्वपूर्ण होती है और इसे कभी-कभी 17वीं शताब्दी में अर्ध स्पर्शरेखा या अर्ध-स्पर्शरेखा के रूप में जाना जाता था। लियोनहार्ड यूलर ने अपनी 1768 समाकलन कैलकुलस पाठ्यपुस्तक में समाकलन ${\textstyle \int dx/(a+b\cos x)}$ का मूल्यांकन करने के लिए इसका उपयोग किया और एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1817 में सामान्य विधि का वर्णन किया।

प्रतिस्थापन का वर्णन 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से अधिकांश अभिन्न कलन पाठ्यपुस्तकों में आमतौर पर बिना किसी विशेष नाम के किया गया है। इसे रूस में सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के रूप में जाना जाता है और अर्ध-स्पर्शरेखा प्रतिस्थापन या अर्ध-कोण प्रतिस्थापन जैसे भिन्न नामों से भी जाना जाता है। इसे कभी-कभी वेयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन के रूप में ग़लत बताया जाता है। माइकल स्पिवक ने इसे "विश्व का सबसे गुप्त प्रतिस्थापन" कहा है।

प्रतिस्थापन

एक नए वेरिएबल का परिचय ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}},}$ साइन और कोसाइन को तर्कसंगत फलनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $t,$ और $dx$ के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $dt$ और का एक तर्कसंगत फलन $t,$ निम्नलिखित नुसार:

$$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.$$

व्युत्पत्ति

दोहरे-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए एक के बराबर हर का परिचय देना, और फिर अंश और हर को विभाजित करना ${\textstyle \cos ^{2}{\tfrac {x}{2}},}$ एक मिलता है

$${\begin{aligned}\sin x&={\frac {2\sin {\tfrac {x}{2}}\,\cos {\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2\tan {\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[18mu]\cos x&={\frac {\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}$$

अंततः, तब से ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$, विभेदन नियम लागू होते हैं

$$dt={\tfrac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}\right)dx={\frac {1+t^{2}}{2}}dx,$$

और इस तरह

$$dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt.$$

उदाहरण

सहसंयोजक का प्रतिअवकलन

$${\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\tfrac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}$$

हम अंश और हर को गुणा करके सहसंयोजक समाकलन का मूल्यांकन करने की एक मानक विधि का उपयोग करके उपरोक्त परिणाम की पुष्टि कर सकते हैं ${\textstyle \csc x-\cot x}$ और प्रतिस्थापन कर रहा है ${\textstyle u=\csc x-\cot x,}$ ${\textstyle du=\left(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x\right)\,dx}$.

$${\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {\left(\csc ^{2}x-\csc x\cot x\right)\,dx}{\csc x-\cot x}}\qquad u=\csc x-\cot x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln |u|+C\\[6pt]&=\ln |\csc x-\cot x|+C.\end{aligned}}$$

ये दोनों उत्तर एक ही हैं क्योंकि ${\textstyle \csc x-\cot x=\tan {\tfrac {x}{2}}\colon }$

$${\begin{aligned}\csc x-\cot x&={\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\\[6pt]&={\frac {1+t^{2}}{2t}}-{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\frac {1+t^{2}}{2t}}\qquad \qquad t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&={\frac {2t^{2}}{2t}}=t\\[6pt]&=\tan {\tfrac {x}{2}}\end{aligned}}$$

सेकेंड समाकलन का मूल्यांकन इसी तरह से किया जा सकता है।

एक निश्चित अभिन्न

$${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}$$

पहली पंक्ति में, कोई भी एकीकरण की दोनों सीमाओं के लिए बस ${\textstyle t=0}$ को प्रतिस्थापित नहीं कर सकता है। (इस मामले में, एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी) को ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$ पर${\textstyle x=\pi }$ पर ध्यान में रखा जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, पहले अनिश्चितकालीन अभिन्न का मूल्यांकन करें, फिर सीमा मान लागू करें।

$${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int {\frac {1}{2+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}&&t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{2(t^{2}+1)+(1-t^{2})}}=\int {\frac {2\,dt}{t^{2}+3}}\\[6pt]&={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{{\bigl (}t{\big /}{\sqrt {3}}{\bigr )}^{2}+1}}&&u=t{\big /}{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int {\frac {du}{u^{2}+1}}&&\tan \theta =u\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int \cos ^{2}\theta \sec ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\theta +C={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan {\tfrac {x}{2}}}{\sqrt {3}}}\right)+C.\end{aligned}}$$

समरूपता से,

$${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}=\lim _{b\rightarrow \pi }{\frac {4}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan {\tfrac {x}{2}}}{\sqrt {3}}}\right){\Biggl |}_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\Biggl [}\lim _{b\rightarrow \pi }\arctan \left({\frac {\tan {\tfrac {b}{2}}}{\sqrt {3}}}\right)-\arctan(0){\Biggl ]}={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi }{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}},\end{aligned}}$$

जो पिछले उत्तर के समान ही है।

तीसरा उदाहरण: ज्या और कोज्या दोनों

$${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2dt}{a(1-t^{2})+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2dt}{(c-a)t^{2}+2bt+a+c}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan \left({\frac {(c-a)\tan {\tfrac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\right)+C\end{aligned}}$$

अगर ${\textstyle c^{2}-(a^{2}+b^{2})>0.}$

ज्यामिति

जैसे ही x बदलता है, बिंदु (cos x, syn x) बार-बार (0, 0) पर केन्द्रित इकाई वृत्त के चारों ओर घूमता है।

$$\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$$

जब t −∞ से +∞ तक जाता है तो वृत्त के चारों ओर केवल एक बार जाता है, और बिंदु (−1, 0) तक कभी नहीं पहुंचता है, जिसे t के ±∞ के करीब पहुंचने पर एक सीमा के रूप में देखा जाता है। जैसे ही t −∞ से −1 तक जाता है, t द्वारा निर्धारित बिंदु तीसरे चतुर्थांश में वृत्त के भाग से होकर (−1, 0) से (0, −1) तक जाता है। जैसे ही t -1 से 0 तक जाता है, बिंदु चौथे चतुर्थांश में (0, -1) से (1, 0) तक वृत्त के भाग का अनुसरण करता है। जैसे ही t 0 से 1 तक जाता है, बिंदु पहले चतुर्थांश में वृत्त के भाग (1, 0) से (0, 1) का अनुसरण करता है। अंत में, जैसे ही t 1 से +∞ तक जाता है, बिंदु दूसरे चतुर्थांश में वृत्त के भाग (0, 1) से (−1, 0) का अनुसरण करता है।

यहाँ एक और ज्यामितीय दृष्टिकोण है। इकाई वृत्त बनाएं और मान लें कि बिंदु P (−1, 0) है। P से होकर जाने वाली एक रेखा (ऊर्ध्वाधर रेखा को छोड़कर) उसके ढलान से निर्धारित होती है। इसके अलावा, प्रत्येक रेखा (ऊर्ध्वाधर रेखा को छोड़कर) यूनिट सर्कल को ठीक दो बिंदुओं पर काटती है, जिनमें से एक पी है। यह यूनिट सर्कल पर बिंदुओं से ढलानों तक एक फलन निर्धारित करता है। त्रिकोणमितीय फलन इकाई वृत्त पर कोणों से बिंदुओं तक एक फलन निर्धारित करते हैं, और इन दो फलनों के संयोजन से हमारे पास कोणों से ढलानों तक एक फलन होता है।

गैलरी

• 

  स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन एक कोण को एक रेखा के ढलान से संबंधित करता है।

• 

  (2/2) स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन को वृत्त के त्रिविम प्रक्षेपण के रूप में दर्शाया गया है।

अतिपरवलिक फलन

त्रिकोणमितीय फलनों और अतिपरवलिक फलनों के बीच साझा किए गए अन्य गुणों की तरह, प्रतिस्थापन के समान रूप का निर्माण करने के लिए अतिपरवलिक फलन ${\textstyle t=\tanh {\tfrac {x}{2}}}$ का उपयोग करना संभव है:

$${\begin{aligned}&\sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\qquad \cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\qquad \tanh x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[6pt]&\coth x={\frac {1+t^{2}}{2t}},\qquad \operatorname {sech} x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad \operatorname {csch} x={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[6pt]&{\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt.\end{aligned}}$$

ज्यामितीय रूप से, चरों का यह परिवर्तन पोंकारे डिस्क प्रक्षेपण का एक-आयामी एनालॉग है।

यह भी देखें

• तर्कसंगत वक्र
• स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण
• स्पर्शरेखा अर्धकोण सूत्र
• त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन
• यूलर प्रतिस्थापन

अग्रिम पठन

• Courant, Richard (1937) [1934]. "1.4.6. Integration of Some Other Classes of Functions §1–3". Differential and Integral Calculus. Vol. 1. Blackie & Son. pp. 234–237.
• Edwards, Joseph (1921). "§1.6.193". A Treatise on the Integral Calculus. Vol. 1. Macmillan. pp. 187–188.
• Hardy, Godfrey Harold (1905). "VI. Transcendental functions". The integration of functions of a single variable. Cambridge. pp. 42–51. Second edition 1916, pp. 52–62
• Hermite, Charles (1873). "Intégration des fonctions transcendentes" [Integration of transcendental functions]. Cours d'analyse de l'école polytechnique (in français). Vol. 1. Gauthier-Villars. pp. 320–380.

बाहरी संबंध

• Weierstrass substitution formulas at PlanetMath