सेसक्विलिनियर फॉर्म

गणित में, एक सेसक्विलिनियर फॉर्म एक बिलिनियर फॉर्म का एक सामान्यीकरण है, जो बदले में, यूक्लिडियन स्थान के डॉट उत्पाद की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक द्विरेखीय रूप अपने प्रत्येक तर्क में रैखिक मानचित्र होता है, लेकिन एक सेसक्विलिनियर रूप एक तर्क को सेमीलिनियर मानचित्र तरीके से मोड़ने की अनुमति देता है, इस प्रकार नाम; जो लैटिन संख्यात्मक उपसर्ग Wiktionary:sesqui-|sesqui- से उत्पन्न हुआ है जिसका अर्थ है डेढ़। डॉट उत्पाद की मूल अवधारणा - वैक्टर की एक जोड़ी से एक स्केलर (गणित) का उत्पादन - स्केलर मानों की एक विस्तृत श्रृंखला की अनुमति देकर और, शायद एक साथ, एक वेक्टर की परिभाषा को चौड़ा करके सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक प्रेरक विशेष मामला एक जटिल सदिश समष्टि पर एक सेसक्विलिनियर रूप है, V. यह एक नक्शा है V × V → C जो एक तर्क में रैखिक है और जटिल संयुग्म द्वारा दूसरे तर्क की रैखिकता को मोड़ देता है (दूसरे तर्क में इसे प्रतिरेखीय कहा जाता है)। यह मामला गणितीय भौतिकी अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से उठता है। एक अन्य महत्वपूर्ण मामला अदिश को किसी भी क्षेत्र (गणित) से आने की अनुमति देता है और मोड़ एक क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म द्वारा प्रदान किया जाता है।

प्रक्षेप्य ज्यामिति में एक अनुप्रयोग के लिए आवश्यक है कि अदिश एक विभाजन वलय (तिरछा क्षेत्र) से आएं, K, और इसका मतलब है कि वैक्टर को आर-मॉड्यूल के तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिएK-मापांक। एक बहुत ही सामान्य सेटिंग में, सेसक्विलिनियर रूपों को परिभाषित किया जा सकता है R-मनमानी रिंग के लिए मॉड्यूल (गणित) R.

अनौपचारिक परिचय

सेसक्विलिनियर जटिल वेक्टर स्पेस पर हर्मिटियन फॉर्म की मूल धारणा को अमूर्त और सामान्यीकृत करता है। हर्मिटियन रूपों को आमतौर पर भौतिकी में जटिल हिल्बर्ट स्थान पर आंतरिक उत्पाद के रूप में देखा जाता है। ऐसे मामलों में, मानक हर्मिटियन फॉर्म चालू होता है Cⁿ द्वारा दिया गया है

$\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.$

कहाँ ${\overline {w}}_{i}$ के जटिल संयुग्म को दर्शाता है $w_{i}~.$ इस उत्पाद को उन स्थितियों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां कोई ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ काम नहीं कर रहा है Cⁿ, या यहां तक ​​कि कोई भी आधार। का एक अतिरिक्त गुणनखंड डालकर $i$ उत्पाद में, व्यक्ति को तिरछा-हर्मिटियन रूप प्राप्त होता है, जिसे नीचे अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया गया है। परिभाषा को सम्मिश्र संख्याओं तक सीमित रखने का कोई विशेष कारण नहीं है; इसे मनमाना रिंग (गणित) के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें एंटीऑटोमोर्फिज्म होता है, जिसे अनौपचारिक रूप से रिंग के लिए जटिल संयुग्मन की एक सामान्यीकृत अवधारणा के रूप में समझा जाता है।

सम्मेलन

कौन सा तर्क रैखिक होना चाहिए, इसे लेकर परंपराएं अलग-अलग हैं। क्रमविनिमेय मामले में, हम पहले को रैखिक मानेंगे, जैसा कि गणितीय साहित्य में आम है, जटिल वेक्टर स्थानों पर सेसक्विलिनियर रूपों को समर्पित अनुभाग को छोड़कर। वहां हम दूसरी परिपाटी का उपयोग करते हैं और पहला तर्क संयुग्म-रैखिक (अर्थात एंटीलाइनियर) मानते हैं और दूसरा तर्क रैखिक मानते हैं। यह वह सम्मेलन है जिसका उपयोग अधिकतर भौतिक विज्ञानी करते हैं और क्वांटम यांत्रिकी में पॉल डिराक|डिराक के ब्रा-केट नोटेशन से उत्पन्न हुआ है।

अधिक सामान्य नॉनकम्यूटेटिव सेटिंग में, दाएं मॉड्यूल के साथ हम दूसरे तर्क को रैखिक मानते हैं और बाएं मॉड्यूल के साथ हम पहले तर्क को रैखिक मानते हैं।

संमिश्र सदिश समष्टि

See also: Antidual space and Dual system

धारणा: इस खंड में, सेसक्विलिनियर रूप अपने पहले तर्क में एंटीलीनियर मानचित्र और दूसरे में रैखिक मानचित्र हैं।

एक जटिल सदिश समष्टि पर $V$ नक्षा $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ यदि यह सेसक्विलिनियर है

${\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}$

सभी के लिए $x,y,z,w\in V$ और सभी $a,b\in \mathbb {C} .$ यहाँ, ${\overline {a}}$ एक अदिश राशि का जटिल संयुग्म है $a.$ एक जटिल सेसक्विलिनियर फॉर्म को एक जटिल बिलिनियर मानचित्र के रूप में भी देखा जा सकता है

$${\overline {V}}\times V\to \mathbb {C}$$

कहाँ ${\overline {V}}$ का जटिल संयुग्म सदिश समष्टि है $V.$ टेंसर उत्पादों की सार्वभौमिक संपत्ति के अनुसार ये जटिल रैखिक मानचित्रों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं

$${\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .$$

एक निश्चित के लिए $z\in V$ वो नक्शा $w\mapsto \varphi (z,w)$ पर एक रैखिक कार्यात्मक है $V$ (अर्थात दोहरे स्थान का एक तत्व $V^{*}$). इसी प्रकार, मानचित्र $w\mapsto \varphi (w,z)$ एक संयुग्म-रैखिक कार्यात्मक (गणित) पर है $V.$ किसी भी जटिल सेसक्विलिनियर रूप को देखते हुए $\varphi$ पर $V$ हम एक दूसरे जटिल सेसक्विलिनियर रूप को परिभाषित कर सकते हैं $\psi$ संयुग्म स्थानान्तरण के माध्यम से:

$$\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.$$

सामान्य रूप में, $\psi$ और $\varphi$ अलग होगा. यदि वे वही हैं तो $\varphi$ बताया गया Hermitian. यदि वे एक-दूसरे के प्रति नकारात्मक हैं, तो $\varphi$ बताया गया skew-Hermitian. प्रत्येक सेसक्विलिनियर फॉर्म को हर्मिटियन फॉर्म और स्क्यू-हर्मिटियन फॉर्म के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

अगर $V$ एक परिमित-आयामी जटिल वेक्टर स्थान है, फिर किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के सापेक्ष $\left\{e_{i}\right\}_{i}$ का $V,$ एक सेसक्विलिनियर फॉर्म को एक मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है $A,$ और द्वारा दिया गया

$$\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\dagger }Az.$$

कहाँ $w^{\dagger }$ संयुग्मी स्थानान्तरण है। मैट्रिक्स के घटक $A$ द्वारा दिए गए हैं $A_{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).$

हर्मिटियन रूप

शब्द 'हर्मिटियन फॉर्म' नीचे बताई गई अवधारणा से भिन्न अवधारणा को भी संदर्भित कर सकता है: यह हर्मिटियन मैनिफोल्ड पर एक निश्चित अंतर रूप को संदर्भित कर सकता है।

एक जटिल 'हर्मिटियन रूप' (जिसे 'सममित सेसक्विलिनियर फॉर्म' भी कहा जाता है), एक सेसक्विलिनियर रूप है $h:V\times V\to \mathbb {C}$ ऐसा है कि

$$h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.$$

मानक हर्मिटियन फॉर्म पर $\mathbb {C} ^{n}$ (फिर से, दूसरे में रैखिकता और पहले चर में संयुग्मित रैखिकता के भौतिकी सम्मेलन का उपयोग करके) दिया गया है

$$\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.$$

अधिक सामान्यतः, किसी भी जटिल हिल्बर्ट स्थान पर आंतरिक उत्पाद एक हर्मिटियन रूप है।

हर्मिटियन रूप में एक ऋण चिह्न प्रस्तुत किया गया है $ww^{*}-zz^{*}$ समूह SU(1,1) को परिभाषित करने के लिए।

हर्मिटियन रूप वाला एक सदिश स्थान $(V,h)$ हर्मिटियन स्पेस कहा जाता है।

एक जटिल हर्मिटियन रूप का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है।

एक एकल वेक्टर पर लागू एक जटिल हर्मिटियन फॉर्म

$$|z|_{h}=h(z,z)$$

हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है. कोई यह दिखा सकता है कि एक जटिल सेसक्विलिनियर रूप हर्मिटियन है यदि और केवल तभी जब संबंधित द्विघात रूप सभी के लिए वास्तविक हो $z\in V.$

तिरछा-हर्मिटियन रूप

एक जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप (जिसे एंटीसिमेट्रिक सेसक्विलिनियर फॉर्म भी कहा जाता है), एक जटिल सेसक्विलिनियर रूप है $s:V\times V\to \mathbb {C}$ ऐसा है कि

$$s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.$$

प्रत्येक जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप को काल्पनिक इकाई के रूप में लिखा जा सकता है $i:={\sqrt {-1}}$ कई बार हर्मिटियन रूप।

एक जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व एक तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स है।

एक एकल वेक्टर पर लागू एक जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप

$$|z|_{s}=s(z,z)$$

हमेशा एक पूर्णतः काल्पनिक संख्या होती है.

डिवीजन रिंग के ऊपर

विभाजन बजने पर यह धारा अपरिवर्तित लागू होती है K क्रमविनिमेय वलय है। अधिक विशिष्ट शब्दावली तब भी लागू होती है: डिवीजन रिंग एक फ़ील्ड है, एंटी-ऑटोमोर्फिज्म भी एक ऑटोमोर्फिज्म है, और सही मॉड्यूल एक वेक्टर स्पेस है। निम्नलिखित भावों के उपयुक्त पुनर्क्रमण के साथ बाएं मॉड्यूल पर लागू होता है।

परिभाषा

एσ-दाईं ओर सेसक्विलिनियर फॉर्म K-मापांक M एक द्वि-योगात्मक मानचित्र है φ : M × M → K संबद्ध स्वप्रतिरोधी के साथ σ एक विभाजन वलय का K ऐसा कि, सबके लिए x, y में M और सभी α, β में K,

$\varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .$

संबद्ध एंटी-ऑटोमोर्फिज्म σ किसी भी शून्येतर सेसक्विलिनियर रूप के लिए φ विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है φ.

रूढ़िवादिता

एक sesquilinear रूप दिया गया है φ एक मॉड्यूल पर M और एक उपस्थान (सबमॉड्यूल) W का M, का ओर्थोगोनल पूरक W इसके संबंध में φ है

$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.$

इसी प्रकार, x ∈ M ऑर्थोगोनल है y ∈ M इसके संबंध में φ, लिखा हुआ x ⊥_φ y (या केवल x ⊥ y अगर φसंदर्भ से अनुमान लगाया जा सकता है), कब φ(x, y) = 0. इस द्विआधारी संबंध को सममित संबंध होने की आवश्यकता नहीं है, अर्थात। x ⊥ y का तात्पर्य नहीं है y ⊥ x (लेकिन देखें§ Reflexivity नीचे)।

प्रतिबिम्बता

एक sesquilinear रूप φ प्रतिवर्ती है यदि, सभी के लिए x, y में M,

$\varphi (x,y)=0$ तात्पर्य $\varphi (y,x)=0.$

अर्थात्, एक सेसक्विलिनियर रूप ठीक उसी समय रिफ्लेक्सिव होता है जब व्युत्पन्न ऑर्थोगोनैलिटी संबंध सममित होता है।

हर्मिटियन विविधताएं

ए σ-सेसक्विलिनियर फॉर्म φ कहा जाता है(σ, ε)-हर्मिटियन यदि मौजूद है ε में K ऐसा कि, सबके लिए x, y में M,

$\varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .$

अगर ε = 1, फॉर्म कहा जाता है σ-हर्मिटियन, और यदि ε = −1, यह कहा जाता है σ-एंटी-हर्मिटियन। (कब σ निहित है, क्रमशः केवल हर्मिटियन या एंटी-हर्मिटियन।)

एक शून्येतर के लिए (σ, ε)-हर्मिटियन रूप, यह सभी के लिए इसका अनुसरण करता है α में K,

$\sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}$

$\sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.$

यह उसका अनुसरण भी करता है φ(x, x) मानचित्र का एक निश्चित बिंदु (गणित) है α ↦ σ(α)ε. इस मानचित्र के निश्चित बिंदु योगात्मक समूह का एक उपसमूह बनाते हैं K.

ए (σ, ε)-हर्मिटियन रूप प्रतिवर्ती है, और प्रत्येक प्रतिवर्ती है σ-सेसक्विलिनियर फॉर्म है (σ, ε)-कुछ के लिए हर्मिटियन ε. विशेष मामले में वह σ पहचान मानचित्र है (अर्थात्, σ = id), K क्रमविनिमेय है, φ एक द्विरेखीय रूप है और ε² = 1. फिर के लिए ε = 1 द्विरेखीय रूप को सममित कहा जाता है, और के लिए ε = −1 को तिरछा-सममितीय कहा जाता है।

मनमाने छल्ले पर

स्क्यूफील्ड्स के लिए उपरोक्त अनुभाग की विशेषज्ञता प्रक्षेप्य ज्यामिति के अनुप्रयोग का परिणाम थी, और सेसक्विलिनियर रूपों की प्रकृति के लिए आंतरिक नहीं थी। गुणन की गैर-अनुक्रमणात्मकता को ध्यान में रखने के लिए केवल छोटे संशोधनों की आवश्यकता होती है, जो परिभाषा के मनमाने क्षेत्र संस्करण को मनमाने छल्ले में सामान्यीकृत करने के लिए आवश्यक हैं।

होने देना R एक अंगूठी बनें (गणित), V एक R-मॉड्यूल (गणित) और σ का एक एंटीऑटोमोर्फिज्म R.

नक्षा φ : V × V → R हैσ-सेसक्विलिनियर यदि

$\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)$

$\varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)$

सभी के लिए x, y, z, w में V और सभी c, d में R.

तत्व x किसी अन्य तत्व के लिए ओर्थोगोनल है y सेसक्विलिनियर फॉर्म के संबंध में φ (लिखा हुआ x ⊥ y) अगर φ(x, y) = 0. इस संबंध को सममित होने की आवश्यकता नहीं है, अर्थात। x ⊥ y का तात्पर्य नहीं है y ⊥ x.

एक sesquilinear रूप φ : V × V → R रिफ्लेक्सिव (या ऑर्थोसिमेट्रिक) है यदि φ(x, y) = 0 तात्पर्य φ(y, x) = 0 सभी के लिए x, y में V.

एक sesquilinear रूप φ : V × V → R यदि मौजूद है तो हर्मिटियन है σ ऐसा है कि

$\varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))$

सभी के लिए x, y में V. एक हर्मिटियन रूप आवश्यक रूप से प्रतिवर्ती है, और यदि यह गैर-शून्य है, तो संबंधित एंटीऑटोमोर्फिज्म है σ एक इनवोलुशन (गणित) है (अर्थात् क्रम 2 का)।

चूंकि एक एंटीऑटोमोर्फिज्म के लिए σ अपने पास σ(st) = σ(t)σ(s) सभी के लिए s, t में R, अगर σ = id, तब R क्रमविनिमेय होना चाहिए और φ एक द्विरेखीय रूप है। विशेषकर, यदि, इस मामले में, R तो फिर एक स्क्यूफ़ील्ड है R एक फ़ील्ड है और V द्विरेखीय रूप वाला एक सदिश समष्टि है।

एक एंटीऑटोमोर्फिज्म σ : R → R को रिंग समरूपता के रूप में भी देखा जा सकता है R → R^op, कहाँ R^op का विपरीत वलय है R, जिसमें समान अंतर्निहित सेट और समान जोड़ है, लेकिन जिसका गुणन संक्रिया (∗) द्वारा परिभाषित किया गया है a ∗ b = ba, जहां दाहिनी ओर का उत्पाद अंदर का उत्पाद है R. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दाएँ (बाएँ) R-मापांक V को बाएँ (दाएँ) में बदला जा सकता है R^op-मापांक, V^o. इस प्रकार, सेसक्विलिनियर रूप φ : V × V → R को द्विरेखीय रूप के रूप में देखा जा सकता है φ′ : V × V^o → R.

यह भी देखें

• *-अँगूठी

संदर्भ

• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1977), Linear Geometry (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Basic Algebra I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

बाहरी संबंध

• "Sesquilinear form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]