जॉर्डन आव्यूह

आव्यूह (गणित) के गणित अनुशासन में, जॉर्डन आव्यूह, जिसका नाम केमिली जॉर्डन के नाम पर रखा गया है, रिंग (गणित) के ऊपर ब्लॉक आव्यूह है R (जिसका पहचान तत्व 0 (संख्या) 0 और 1 (संख्या) 1 है), जहां विकर्ण के साथ प्रत्येक ब्लॉक, जिसे जॉर्डन ब्लॉक कहा जाता है, निम्न रूप है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.$$

परिभाषा

प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक को उसके आयाम n और उसके इगेनवैल्यू द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है $\lambda \in R$, और के रूप में दर्शाया गया है J_λ,n. यह है $n\times n$ विकर्ण को छोड़कर हर जगह शून्य का आव्यूह, जो भरा हुआ है $\lambda$ और अतिविकर्ण के लिए, जो से बना है।

कोई भी ब्लॉक विकर्ण आव्यूह जिसके ब्लॉक जॉर्डन ब्लॉक हैं उसे जॉर्डन आव्यूह कहा जाता है। यह (n₁ + ⋯ + n_r) × (n₁ + ⋯ + n_r) वर्ग आव्यूह, से मिलकर r विकर्ण ब्लॉकों को सघन रूप से दर्शाया जा सकता है $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ या $\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)$, जहां i-th जॉर्डन ब्लॉक है J_λi,ni.

उदाहरण के लिए, आव्यूह

$$J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]$$

है 10 × 10 जॉर्डन आव्यूह ए के साथ 3 × 3 इगेनवैल्यू के साथ ब्लॉक करें 0, दो 2 × 2 काल्पनिक इकाई को इगेनवैल्यू के साथ ब्लॉक करता है i, और ए 3 × 3 इगेनवैल्यू 7 के साथ ब्लॉक। इसकी जॉर्डन-ब्लॉक संरचना या तो लिखी गई है $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$ या diag(J_0,3, J_i,2, J_i,2, J_7,3).

रेखीय बीजगणित

कोई n × n वर्ग आव्यूह A जिनके तत्व बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में हैं K जॉर्डन आव्यूह के समान आव्यूह है J, मे भी $\mathbb {M} _{n}(K)$, जो अपने विकर्ण ब्लॉकों के क्रमपरिवर्तन तक अद्वितीय है। J को जॉर्डन का सामान्य रूप कहा जाता है A और विकर्णीकरण प्रक्रिया के सामान्यीकरण से मेल खाता है। विकर्णीय आव्यूह, वास्तव में, जॉर्डन आव्यूह के विशेष मामले के समान है: वह आव्यूह जिसके सभी ब्लॉक हैं 1 × 1. अधिक सामान्यतः, जॉर्डन आव्यूह दिया गया है $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$, अर्थात्, किसका kवां विकर्ण ब्लॉक, $1\leq k\leq N$, जॉर्डन ब्लॉक है J_λk,mk और जिनके विकर्ण तत्व $\lambda _{k}$ सभी अलग-अलग नहीं हो सकते, ज्यामितीय बहुलता $\lambda \in K$ आव्यूह के लिए J, के रूप में दर्शाया गया है $\operatorname {gmul} _{J}\lambda$, जॉर्डन ब्लॉक की संख्या से मेल खाता है जिसका इगेनवैल्यू है λ. जबकि इगेनवैल्यू का सूचकांक $\lambda$ के लिए J, के रूप में दर्शाया गया है $\operatorname {idx} _{J}\lambda$, को उस इगेनवैल्यू से जुड़े सबसे बड़े जॉर्डन ब्लॉक के आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है।

यही बात सभी आव्यूह के लिए भी लागू होती है A के समान J, इसलिए $\operatorname {idx} _{A}\lambda$ जॉर्डन के सामान्य रूप के संबंध में तदनुसार परिभाषित किया जा सकता है A इसके किसी भी eigenvalues ​​​​के लिए $\lambda \in \operatorname {spec} A$. इस मामले में कोई यह जांच सकता है कि का सूचकांक $\lambda$ के लिए A न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) के मूल के रूप में इसकी बहुलता के बराबर है A (जबकि, परिभाषा के अनुसार, इसकी बीजगणितीय बहुलता A, $\operatorname {mul} _{A}\lambda$, के अभिलक्षणिक बहुपद के मूल के रूप में इसकी बहुलता है A; वह है, $\det(A-xI)\in K[x]$). के लिए समान आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त A में विकर्णीय होना K यह है कि इसके सभी eigenvalues ​​​​का सूचकांक बराबर है 1; अर्थात्, इसके न्यूनतम बहुपद में केवल सरल मूल होते हैं।

ध्यान दें कि किसी आव्यूह के स्पेक्ट्रम को उसके सभी बीजगणितीय/ज्यामितीय बहुलताओं और सूचकांकों के साथ जानने से हमेशा इसके जॉर्डन सामान्य रूप की गणना की अनुमति नहीं मिलती है (यह केवल वर्णक्रमीय रूप से सरल, आमतौर पर कम-आयामी आव्यूह के लिए पर्याप्त शर्त हो सकती है): जॉर्डन- सामान्य तौर पर, शेवेल्ली अपघटन कम्प्यूटेशनल रूप से चुनौतीपूर्ण कार्य है। सदिश स्थल के दृष्टिकोण से, जॉर्डन-चेवेल्ली अपघटन डोमेन के ऑर्थोगोनल अपघटन (जो कि जॉर्डन ब्लॉक द्वारा दर्शाए गए ईजेनस्पेस के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के माध्यम से) को खोजने के बराबर है, जिसके लिए संबंधित सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर आधार बनाते हैं।

आव्यूहों के फलन

होने देना $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ (वह n × n जटिल आव्यूह) और $C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ जॉर्डन के सामान्य रूप में आधार आव्यूह का परिवर्तन हो A; वह है, A = C⁻¹JC. अब चलो f (z) खुले सेट पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन बनें $\Omega$ ऐसा है कि $\mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C}$; अर्थात्, आव्यूह का स्पेक्ट्रम होलोमॉर्फी के डोमेन के अंदर समाहित है f. होने देना

$$f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}$$

की शक्ति श्रृंखला का विस्तार हो f आस-पास $z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A$, जो आगे चलकर सरलता के लिए 0 (संख्या) माना जाएगा। गणित का सवाल f (A) को फिर निम्नलिखित औपचारिक शक्ति श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किया गया है

$$f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}$$

और यूक्लिडियन मानदंड के संबंध में बिल्कुल अभिसरण है $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$. दूसरे तरीके से रखने के लिए, f (A) प्रत्येक वर्ग आव्यूह के लिए बिल्कुल अभिसरण करता है जिसका वर्णक्रमीय त्रिज्या अभिसरण की त्रिज्या से कम है f आस-पास 0 और किसी भी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान रूप से अभिसरण करता है $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ आव्यूह लाई समूह टोपोलॉजी में इस संपत्ति को संतुष्ट करना।

जॉर्डन सामान्य रूप स्पष्ट रूप से अनंत श्रृंखला की गणना किए बिना आव्यूह के कार्यों की गणना की अनुमति देता है, जो जॉर्डन आव्यूह की मुख्य उपलब्धियों में से है। तथ्यों का उपयोग करते हुए कि kवीं शक्ति ($k\in \mathbb {N} _{0}$) विकर्ण ब्लॉक आव्यूह का विकर्ण ब्लॉक आव्यूह है जिसके ब्लॉक हैं kसंबंधित ब्लॉकों की शक्तियां; वह है, $\left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots$, ओर वो A^k = C⁻¹J^kC, उपरोक्त आव्यूह पावर श्रृंखला बन जाती है

$$f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C$$

जहां अंतिम श्रृंखला की गणना प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक की पावर श्रृंखला के माध्यम से स्पष्ट रूप से करने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, यदि $\lambda \in \Omega$, जॉर्डन ब्लॉक का कोई भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)$ चारों ओर सीमित शक्ति श्रृंखला है $\lambda I$ क्योंकि $Z^{n}=0$. यहाँ, $Z$ का शून्यशक्तिशाली भाग है $J$ और $Z^{k}$ के साथ 1 को छोड़कर सभी 0 हैं $k^{\text{th}}$ अतिविकर्ण. इस प्रकार यह निम्नलिखित ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है:

$${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime$$

इसके परिणामस्वरूप, जब भी इसके जॉर्डन सामान्य रूप और इसके परिवर्तन-आधार आव्यूह को जाना जाता है, तो आव्यूह के किसी भी फ़ंक्शन की गणना सीधी होती है। उदाहरण के लिए, का उपयोग करना $f(z)=1/z$, का उलटा $J_{\lambda ,n}$ है:

$$J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.$$

भी, spec f(A) = f (spec A); अर्थात्, प्रत्येक इगेनवैल्यू $\lambda \in \mathrm {spec} A$ इगेनवैल्यू से मेल खाता है $f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)$, लेकिन सामान्य तौर पर, इसमें अलग-अलग बीजीय बहुलता, ज्यामितीय बहुलता और सूचकांक होते हैं। हालाँकि, बीजगणितीय बहुलता की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$${\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .$$

कार्यक्रम f (T) रैखिक परिवर्तन का T सदिश स्थानों के बीच को होलोमोर्फिक कार्यात्मक कैलकुलस के अनुसार समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जहां बानाच अंतरिक्ष और रीमैन सतह सिद्धांत मौलिक भूमिका निभाते हैं। परिमित-आयामी स्थानों के मामले में, दोनों सिद्धांत पूरी तरह मेल खाते हैं।

डायनामिकल सिस्टम

अब मान लीजिए कि (जटिल) गतिशील प्रणाली को केवल समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}$$

कहाँ $\mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}$ है (n-आयामी) रीमैन सतह पर कक्षा का वक्र पैरामीट्रिजेशन ${\mathcal {R}}$ गतिशील प्रणाली की, जबकि A(c) n × n जटिल आव्यूह जिसके तत्व a के जटिल कार्य हैं d-आयामी पैरामीटर $\mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}$.

भले ही $A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)$ (वह है, A लगातार पैरामीटर पर निर्भर करता है c) जॉर्डन आव्यूह का सामान्य रूप लगभग हर जगह लगातार विकृत होता है $\mathbb {C} ^{d}$ लेकिन, सामान्य तौर पर, हर जगह नहीं: कुछ महत्वपूर्ण उपमान हैं $\mathbb {C} ^{d}$ जिस पर जॉर्डन फॉर्म अचानक अपनी संरचना बदल देता है जब भी पैरामीटर पार हो जाता है या बस इसके चारों ओर घूमता है (मोनोड्रोमी)। इस तरह के परिवर्तनों का मतलब है कि कई जॉर्डन ब्लॉक (या तो अलग-अलग eigenvalues ​​​​से संबंधित हैं या नहीं) अद्वितीय जॉर्डन ब्लॉक में शामिल हो जाते हैं, या इसके विपरीत (यानी, जॉर्डन ब्लॉक दो या दो से अधिक अलग-अलग हिस्सों में विभाजित हो जाता है)। सतत और असतत दोनों गतिशील प्रणालियों के लिए द्विभाजन सिद्धांत के कई पहलुओं की व्याख्या कार्यात्मक जॉर्डन आव्यूह के विश्लेषण से की जा सकती है।

स्पर्शरेखा अंतरिक्ष गतिशीलता से, इसका मतलब है कि गतिशील प्रणाली के चरण स्थान का ऑर्थोगोनल अपघटन बदलता है और, उदाहरण के लिए, विभिन्न कक्षाएँ आवधिकता प्राप्त करती हैं, या इसे खो देती हैं, या निश्चित प्रकार की आवधिकता से दूसरे में स्थानांतरित हो जाती हैं (जैसे कि अवधि-दोहरीकरण, सीएफआर. लॉजिस्टिक मानचित्र).

वाक्य में, जॉर्डन के सामान्य रूप के वर्सल विरूपण के रूप में ऐसी गतिशील प्रणाली का गुणात्मक व्यवहार काफी हद तक बदल सकता है A(c).

रैखिक साधारण अवकल समीकरण

गतिशील प्रणाली का सबसे सरल उदाहरण रैखिक, स्थिरांक-गुणांक, साधारण अंतर समीकरणों की प्रणाली है; यानी चलो $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ और $\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}$:

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}$$

जिसके प्रत्यक्ष बंद-रूप समाधान में आव्यूह घातांक की गणना शामिल है:

$$\mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.$$

दूसरा तरीका, बशर्ते समाधान स्थानीय एलपी स्थान तक ही सीमित हो n-आयामी वेक्टर फ़ील्ड $\mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}$, इसके लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना है $\mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)$. इस मामले में

$$\mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.$$

आव्यूह फ़ंक्शन (A − sI)⁻¹ को विभेदक ऑपरेटर का रिसॉल्वेंट आव्यूह कहा जाता है ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$. यह जटिल पैरामीटर के संबंध में मेरोमोर्फिक है $s\in \mathbb {C}$ चूँकि इसके आव्यूह तत्व परिमेय फलन हैं जिनका हर सभी के लिए समान है det(A − sI). इसकी ध्रुवीय विलक्षणताएँ eigenvalues ​​​​हैं A, जिसका क्रम इसके लिए उनके सूचकांक के बराबर है; वह है, $\mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda$.

यह भी देखें

• जॉर्डन-शेवेल्ली अपघटन
• जॉर्डन सामान्य रूप
• होलोमोर्फिक फंक्शनल कैलकुलस
• आव्यूह घातांक
• आव्यूह का लघुगणक
• गतिशील प्रणाली
• द्विभाजन सिद्धांत
• राज्य स्थान (नियंत्रण)

संदर्भ

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646