केंद्रीय क्षण

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एक केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के माध्य के बारे में एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का एक क्षण (गणित) होता है; अर्थात्, यह माध्य से यादृच्छिक चर के विचलन की एक निर्दिष्ट पूर्णांक शक्ति का अपेक्षित मूल्य है। विभिन्न क्षण मूल्यों का एक सेट बनाते हैं जिसके द्वारा संभाव्यता वितरण के गुणों को उपयोगी रूप से चित्रित किया जा सकता है। केंद्रीय क्षणों का उपयोग सामान्य क्षणों की प्राथमिकता में किया जाता है, जिसकी गणना शून्य के बजाय माध्य से विचलन के संदर्भ में की जाती है, क्योंकि उच्च-क्रम वाले केंद्रीय क्षण केवल वितरण के प्रसार और आकार से संबंधित होते हैं, न कि इसके स्थान पैरामीटर से भी।

केंद्रीय क्षणों के सेट को अविभाज्य और बहुभिन्नरूपी वितरण दोनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

एकविभिन्न क्षण

वास्तविक-मूल्य वाले यादृच्छिक चर X के माध्य (या nवें 'केंद्रीय क्षण') के बारे में nवां क्षण (गणित) मात्रा μ है_n := ई[(एक्स - ई[एक्स])ⁿ], जहां E अपेक्षित मान है। संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f(x) के साथ निरंतर संभाव्यता वितरण अविभाज्य संभाव्यता वितरण के लिए, माध्य μ के बारे में nवाँ क्षण है

$\mu _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.$

उन यादृच्छिक चरों के लिए जिनका कोई माध्य नहीं है, जैसे कि कॉची वितरण, केंद्रीय क्षण परिभाषित नहीं हैं।

पहले कुछ केंद्रीय क्षणों की सहज व्याख्याएँ हैं:

• शून्यवाँ केंद्रीय क्षण μ₀ 1 है.
• पहला केंद्रीय क्षण μ₁ 0 है (पहले कच्चे क्षण या अपेक्षित मान μ से भ्रमित न हों)।
• दूसरा केंद्रीय क्षण μ₂ इसे विचरण कहा जाता है, और आमतौर पर इसे σ से दर्शाया जाता है², जहां σ मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है।
• तीसरे और चौथे केंद्रीय क्षणों का उपयोग मानकीकृत क्षणों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिनका उपयोग क्रमशः तिरछापन और कुकुदता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

गुण

nवाँ केंद्रीय क्षण अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, अर्थात किसी भी यादृच्छिक चर X और किसी स्थिरांक c के लिए, हमारे पास है

$\mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X).\,$

सभी n के लिए, nवाँ केंद्रीय क्षण डिग्री n का सजातीय फलन है:

$\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,$

केवल ऐसे n के लिए कि n 1, 2, या 3 के बराबर है, क्या हमारे पास यादृच्छिक चर X और Y के लिए एक योगात्मकता गुण है जो सांख्यिकीय स्वतंत्रता है:

$\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,$ प्रदान किया गया n ∈ {1, 2, 3}.

एक संबंधित फ़ंक्शनल जो nवें केंद्रीय क्षण के साथ अनुवाद-अपरिवर्तनीयता और समरूपता गुणों को साझा करता है, लेकिन यह additiveity संपत्ति तब भी बनी रहती है जब n ≥ 4 nth संचयी κ होता है_n(एक्स)। n = 1 के लिए, nवाँ संचयी केवल अपेक्षित मान है; n = 2 या 3 के लिए, nवाँ संचयी केवल nवाँ केंद्रीय क्षण है; n ≥ 4 के लिए, nवां क्यूम्यलेंट पहले n क्षणों (शून्य के बारे में) में एक nth-डिग्री मोनिक बहुपद है, और पहले n केंद्रीय क्षणों में एक (सरल) nth-डिग्री बहुपद भी है।

उत्पत्ति के बारे में क्षणों से संबंध

कभी-कभी मूल के बारे में क्षणों को माध्य के बारे में क्षणों में परिवर्तित करना सुविधाजनक होता है। मूल के बारे में nवें क्रम के क्षण को माध्य के बारे में क्षण में परिवर्तित करने के लिए सामान्य समीकरण है

$\mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},$

जहां μ वितरण का माध्य है, और मूल के बारे में क्षण दिया गया है

$\mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.$

मामलों n = 2, 3, 4 के लिए - जो क्रमशः भिन्नता, तिरछापन और कर्टोसिस के संबंधों के कारण सबसे अधिक रुचि रखते हैं - यह सूत्र बन जाता है (ध्यान दें कि $\mu =\mu '_{1}$ और $\mu '_{0}=1$):

$\mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,$ जिसे आमतौर पर कहा जाता है $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}$

$\mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,$

$\mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,$

... और इसी तरह, पास्कल के त्रिभुज का अनुसरण करते हुए, अर्थात्

$\mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,$

क्योंकि $5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}$ निम्नलिखित योग एक स्टोकेस्टिक चर है जिसका यौगिक वितरण है

$W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},$

जहां $Y_{i}$ समान सामान्य वितरण साझा करने वाले परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं और $M$ से स्वतंत्र एक यादृच्छिक पूर्णांक चर $Y_{k}$ अपने स्वयं के वितरण के साथ. के क्षण $W$ के रूप में प्राप्त होते हैं

$\operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],$

कहाँ $\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right]$ के लिए शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है $j=0$.

सममित वितरण

उन वितरणों में जो सममित वितरण हैं (माध्य के बारे में प्रतिबिंब (गणित) होने से अप्रभावित), सभी विषम केंद्रीय क्षण जब भी मौजूद होते हैं तो शून्य के बराबर होते हैं, क्योंकि n वें क्षण के सूत्र में, प्रत्येक पद में माध्य से कम X का मान शामिल होता है एक निश्चित राशि बिल्कुल उसी राशि से माध्य से अधिक X के मान वाले पद को रद्द कर देती है।

बहुभिन्नरूपी क्षण

निरंतर संभाव्यता वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f(x,y) के साथ संयुक्त संभाव्यता वितरण संभाव्यता वितरण माध्य μ = (μ) के बारे में (j,k) क्षण_X, एम_Y) है

$\mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.$

जटिल यादृच्छिक चर का केंद्रीय क्षण

एक जटिल यादृच्छिक चर X के लिए nवें केंद्रीय क्षण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\alpha _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right],$

X के पूर्ण nवें केंद्रीय क्षण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\beta _{n}=\operatorname {E} \left[|(X-\operatorname {E} [X])|^{n}\right].$

दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण β₂ X का जटिल यादृच्छिक चर#विचरण और छद्म-विचरण कहा जाता है जबकि दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण α₂ X का जटिल यादृच्छिक चर#विचरण और छद्म-विचरण|छद्म-विचरण है।

यह भी देखें

• मानकीकृत क्षण
• छवि क्षण
• Normal distribution § Moments
• जटिल यादृच्छिक चर