सामान्यीकृत सामान्य वितरण

सामान्यीकृत सामान्य वितरण या सामान्यीकृत गाऊसी वितरण (जीजीडी) वास्तविक संख्या रेखा पर पैरामीट्रिक सांख्यिकी निरंतर संभाव्यता वितरण के दो परिवारों में से एक है। दोनों परिवार सामान्य वितरण में एक आकार पैरामीटर जोड़ते हैं। दोनों परिवारों को अलग करने के लिए, उन्हें नीचे सममित और असममित के रूप में संदर्भित किया गया है; हालाँकि, यह कोई मानक नामकरण नहीं है।

सममित संस्करण

Symmetric Generalized Normal

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\mu \,$ location (real) $\alpha \,$ scale (positive, real) $\beta \,$ shape (positive, real)
Support	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	${\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}$ $\Gamma$ denotes the gamma function
CDF	${\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left(1/\beta ,\left|{\frac {x-\mu }{\alpha }}\right|^{\beta }\right)$ where $\beta$ is a shape parameter, $\alpha$ is a scale parameter and $\gamma$ is the unnormalized incomplete lower gamma function.
Quantile	${\text{sign}}(p-0.5)\left[\alpha ^{\beta }F^{-1}\left(2|p-0.5|;{\frac {1}{\beta }}\right)\right]^{1/\beta }+\mu$ where $F^{-1}\left(p;a\right)$ is the quantile function of Gamma distribution
Mean	$\mu \,$
Median	$\mu \,$
Mode	$\mu \,$
Variance	${\frac {\alpha ^{2}\Gamma (3/\beta )}{\Gamma (1/\beta )}}$
Skewness	0
Ex. kurtosis	${\frac {\Gamma (5/\beta )\Gamma (1/\beta )}{\Gamma (3/\beta )^{2}}}-3$
Entropy	${\frac {1}{\beta }}-\log \left[{\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\right]$

सममित सामान्यीकृत सामान्य वितरण, जिसे घातीय शक्ति वितरण या सामान्यीकृत त्रुटि वितरण के रूप में भी जाना जाता है, सममित संभाव्यता वितरण का एक पैरामीट्रिक परिवार है। इसमें सभी सामान्य वितरण और लाप्लास वितरण वितरण शामिल हैं, और सीमित मामलों के रूप में इसमें वास्तविक रेखा के बंधे हुए अंतराल पर सभी निरंतर समान वितरण शामिल हैं।

इस परिवार में सामान्य वितरण शामिल है जब $\textstyle \beta =2$ (मतलब के साथ $\textstyle \mu$ और विचरण $\textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}$) और इसमें लाप्लास वितरण शामिल है जब $\textstyle \beta =1$. जैसा $\textstyle \beta \rightarrow \infty$, घनत्व बिंदुवार एक समान घनत्व पर अभिसरण $\textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )$.

यह परिवार उन पूँछों की अनुमति देता है जो या तो सामान्य से अधिक भारी होती हैं (जब $\beta <2$) या सामान्य से हल्का (कब)। $\beta >2$). यह सामान्य ($\textstyle \beta =2$) एकसमान घनत्व तक ($\textstyle \beta =\infty$), और लाप्लास ($\textstyle \beta =1$) सामान्य घनत्व के लिए ($\textstyle \beta =2$). आकृति पैरामीटर $\beta$ पूँछों के अतिरिक्त शिखरता को भी नियंत्रित करता है।

पैरामीटर अनुमान

अधिकतम संभावना अनुमान के माध्यम से पैरामीटर अनुमान और क्षणों की विधि (सांख्यिकी) का अध्ययन किया गया है। अनुमानों का कोई बंद रूप नहीं होता है और उन्हें संख्यात्मक रूप से प्राप्त किया जाना चाहिए। जिन अनुमानकों को संख्यात्मक गणना की आवश्यकता नहीं होती, उन्हें भी प्रस्तावित किया गया है। सामान्यीकृत सामान्य लॉग-संभावना फ़ंक्शन में अनंत रूप से कई निरंतर व्युत्पन्न होते हैं (यानी यह वर्ग सी से संबंधित है)^∞सुचारु कार्यों का) केवल यदि $\textstyle \beta$ एक धनात्मक, सम पूर्णांक है. अन्यथा, फ़ंक्शन है $\textstyle \lfloor \beta \rfloor$ सतत व्युत्पन्न. परिणामस्वरूप, अधिकतम संभावना अनुमानों की स्थिरता और स्पर्शोन्मुख सामान्यता के लिए मानक परिणाम मिलते हैं $\beta$ केवल तभी लागू करें जब $\textstyle \beta \geq 2$.

अधिकतम संभावना अनुमानक

अनुमानित अधिकतम संभावना पद्धति को अपनाकर सामान्यीकृत सामान्य वितरण को फिट करना संभव है। साथ $\mu$ प्रारंभ में पहले क्षण में नमूना सेट करें $m_{1}$,

$\textstyle \beta$ न्यूटन की विधि का उपयोग करके अनुमान लगाया जाता है | न्यूटन-रेफसन पुनरावृत्त प्रक्रिया, प्रारंभिक अनुमान से शुरू होती है $\textstyle \beta =\textstyle \beta _{0}$,

$\beta _{0}={\frac {m_{1}}{\sqrt {m_{2}}}},$

कहाँ

$m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,$

निरपेक्ष मूल्यों का पहला सांख्यिकीय क्षण (गणित) है और $m_{2}$ दूसरा सांख्यिकीय क्षण (गणित) है। पुनरावृत्ति है

$\beta _{i+1}=\beta _{i}-{\frac {g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})}},$

कहाँ

$g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta })}{\beta }},$

और

${\begin{aligned}g'(\beta )={}&-{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi '(1/\beta )}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }(\log |x_{i}-\mu |)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |\right)^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\beta \sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}$

और कहाँ $\psi$ और $\psi '$ डिगामा फ़ंक्शन और ट्राइगामा फ़ंक्शन हैं।

के लिए एक मान दिया गया है $\textstyle \beta$, अनुमान लगाना संभव है $\mu$ न्यूनतम ज्ञात करके:

$\min _{\mu }=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }$

आखिरकार $\textstyle \alpha$ के रूप में मूल्यांकन किया जाता है

$\alpha =\left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{1/\beta }.$

के लिए $\beta \leq 1$, माध्यिका अधिक उपयुक्त अनुमानक है $\mu$ . एक बार $\mu$ अंदाजा है, $\beta$ और $\alpha$ ऊपर वर्णित अनुसार अनुमान लगाया जा सकता है।

अनुप्रयोग

सममित सामान्यीकृत सामान्य वितरण का उपयोग मॉडलिंग में किया गया है जब माध्य और पूंछ व्यवहार के आसपास मूल्यों की एकाग्रता विशेष रुचि की होती है। यदि ध्यान सामान्यता से अन्य विचलनों पर है तो वितरण के अन्य परिवारों का उपयोग किया जा सकता है। यदि वितरण का सममित वितरण मुख्य रुचि है, तो तिरछा सामान्य वितरण परिवार या नीचे चर्चा किए गए सामान्यीकृत सामान्य परिवार के असममित संस्करण का उपयोग किया जा सकता है। यदि पूंछ व्यवहार मुख्य रुचि है, तो छात्र टी वितरण परिवार का उपयोग किया जा सकता है, जो सामान्य वितरण का अनुमान लगाता है क्योंकि स्वतंत्रता की डिग्री अनंत तक बढ़ती है। टी वितरण, इस सामान्यीकृत सामान्य वितरण के विपरीत, मूल पर एक पुच्छ (विलक्षणता) प्राप्त किए बिना सामान्य पूंछ से अधिक भारी हो जाता है।

गुण

क्षण

होने देना $X_{\beta }$ आकार का शून्य माध्य सामान्यीकृत गाऊसी वितरण हो $\beta$ और स्केलिंग पैरामीटर $\alpha$ . के क्षण $X_{\beta }$ अस्तित्व में हैं और −1 से अधिक किसी भी k के लिए परिमित हैं। किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक k के लिए, सादे केंद्रीय क्षण हैं

$\operatorname {E} \left[X_{\beta }^{k}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ is odd,}}\\\alpha ^{k}\Gamma \left({\frac {k+1}{\beta }}\right){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}\right)&{\text{if }}k{\text{ is even.}}\end{cases}}$

स्थिर गणना वितरण से कनेक्शन

स्थिर गणना वितरण के दृष्टिकोण से, $\beta$ इसे लेवी के स्थिरता पैरामीटर के रूप में माना जा सकता है। इस वितरण को कर्नेल घनत्व के एक अभिन्न अंग में विघटित किया जा सकता है जहां कर्नेल या तो लाप्लास वितरण या गाऊसी वितरण है:

${\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\beta }}+1)}}e^{-z^{\beta }}={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )\,d\nu ,&1\geq \beta >0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\beta }(s)\,ds,&2\geq \beta >0;\end{cases}}$

कहाँ ${\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )$ स्थिर गिनती वितरण है और $V_{\beta }(s)$ Stable_count_distribution#Stable_Vol_Distribution है।

सकारात्मक-निश्चित कार्यों से संबंध

सममित सामान्यीकृत सामान्य वितरण का संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन एक सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन है $\beta \in (0,2]$.

अनंत विभाज्यता

सममित सामान्यीकृत गॉसियन वितरण एक असीम रूप से विभाज्य वितरण है यदि और केवल यदि $\beta \in (0,1]\cup \{2\}$.

सामान्यीकरण

बहुभिन्नरूपी सामान्यीकृत सामान्य वितरण, यानी का उत्पाद $n$ उसी के साथ घातीय शक्ति वितरण $\beta$ और $\alpha$ पैरामीटर, एकमात्र संभाव्यता घनत्व है जिसे फॉर्म में लिखा जा सकता है $p(\mathbf {x} )=g(\|\mathbf {x} \|_{\beta })$ और स्वतंत्र सीमांत हैं। बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के विशेष मामले के परिणामों का श्रेय मूल रूप से जेम्स क्लर्क मैक्सवेल को दिया जाता है।

असममित संस्करण

Asymmetric Generalized Normal

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\xi \,$ location (real) $\alpha \,$ scale (positive, real) $\kappa \,$ shape (real)
Support	$x\in (-\infty ,\xi +\alpha /\kappa ){\text{ if }}\kappa >0$ $x\in (-\infty ,\infty ){\text{ if }}\kappa =0$ $x\in (\xi +\alpha /\kappa ,+\infty ){\text{ if }}\kappa <0$
PDF	${\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}$, where $y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}$ $\phi$ is the standard normal pdf
CDF	$\Phi (y)$, where $y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}$ $\Phi$ is the standard normal CDF
Mean	$\xi -{\frac {\alpha }{\kappa }}\left(e^{\kappa ^{2}/2}-1\right)$
Median	$\xi \,$
Variance	${\frac {\alpha ^{2}}{\kappa ^{2}}}e^{\kappa ^{2}}\left(e^{\kappa ^{2}}-1\right)$
Skewness	${\frac {3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\kappa ^{2}}-2}{(e^{\kappa ^{2}}-1)^{3/2}}}{\text{ sign}}(\kappa )$
Ex. kurtosis	$e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6$

Not to be confused with Skew normal distribution.

असममित सामान्यीकृत सामान्य वितरण निरंतर संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जिसमें आकार पैरामीटर का उपयोग विषमता या तिरछापन पेश करने के लिए किया जा सकता है। जब आकार पैरामीटर शून्य होता है, तो सामान्य वितरण परिणाम होता है। आकार पैरामीटर के सकारात्मक मान दाईं ओर बंधे बाएं-तिरछे वितरण उत्पन्न करते हैं, और आकार पैरामीटर के नकारात्मक मान बाईं ओर बंधे दाएं-तिरछे वितरण उत्पन्न करते हैं। केवल जब आकार पैरामीटर शून्य होता है, तो इस वितरण के लिए घनत्व फ़ंक्शन पूरी वास्तविक रेखा पर सकारात्मक होता है: इस मामले में वितरण एक सामान्य वितरण है, अन्यथा वितरण स्थानांतरित हो जाते हैं और संभवतः लॉग-सामान्य वितरण उलट जाते हैं।

पैरामीटर अनुमान

पैरामीटर्स का अनुमान अधिकतम संभावना अनुमान या क्षणों की विधि के माध्यम से लगाया जा सकता है। पैरामीटर अनुमानों का कोई बंद रूप नहीं होता है, इसलिए अनुमानों की गणना के लिए संख्यात्मक गणना का उपयोग किया जाना चाहिए। चूंकि नमूना स्थान (वास्तविक संख्याओं का सेट जहां घनत्व गैर-शून्य है) पैरामीटर के वास्तविक मूल्य पर निर्भर करता है, इस परिवार के साथ काम करते समय पैरामीटर अनुमानों के प्रदर्शन के बारे में कुछ मानक परिणाम स्वचालित रूप से लागू नहीं होंगे।

अनुप्रयोग

असममित सामान्यीकृत सामान्य वितरण का उपयोग उन मानों को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है जिन्हें सामान्य रूप से वितरित किया जा सकता है, या जो सामान्य वितरण के सापेक्ष दाएं-तिरछा या बाएं-तिरछा हो सकता है। तिरछा सामान्य वितरण एक और वितरण है जो तिरछा होने के कारण सामान्यता से विचलन के मॉडलिंग के लिए उपयोगी है। विषम डेटा को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य वितरणों में गामा वितरण, लॉगनॉर्मल वितरण और वेइबुल वितरण वितरण शामिल हैं, लेकिन इनमें विशेष मामलों के रूप में सामान्य वितरण शामिल नहीं हैं।

सामान्य से संबंधित अन्य वितरण

यहां वर्णित दो सामान्यीकृत सामान्य परिवार, तिरछा सामान्य वितरण परिवार की तरह, पैरामीट्रिक परिवार हैं जो एक आकार पैरामीटर जोड़कर सामान्य वितरण का विस्तार करते हैं। संभाव्यता और सांख्यिकी में सामान्य वितरण की केंद्रीय भूमिका के कारण, कई वितरणों को सामान्य वितरण के साथ उनके संबंध के संदर्भ में चित्रित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लॉग-सामान्य वितरण|लॉग-सामान्य, मुड़ा हुआ सामान्य वितरण, और व्युत्क्रम सामान्य वितरण वितरण को सामान्य रूप से वितरित मूल्य के परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन सामान्यीकृत सामान्य और तिरछा-सामान्य परिवारों के विपरीत, इनमें सामान्य शामिल नहीं होता है विशेष मामलों के रूप में वितरण.

वास्तव में परिमित विचरण वाले सभी वितरण सामान्य वितरण से अत्यधिक संबंधित सीमा में होते हैं। स्टूडेंट-टी वितरण, इरविन-हॉल वितरण और बेट्स वितरण भी सामान्य वितरण का विस्तार करते हैं, और सीमा में सामान्य वितरण को शामिल करते हैं। इसलिए टाइप 1 के सामान्यीकृत सामान्य वितरण को प्राथमिकता देने का कोई मजबूत कारण नहीं है, उदाहरण के लिए। स्टूडेंट-टी और एक सामान्यीकृत विस्तारित इरविन-हॉल के संयोजन पर - इसमें उदाहरण शामिल होगा। त्रिकोणीय वितरण (जिसे सामान्यीकृत गाऊसी प्रकार 1 द्वारा प्रतिरूपित नहीं किया जा सकता है)।

एक सममित वितरण जो पूंछ (लंबी और छोटी) और केंद्र व्यवहार (जैसे फ्लैट, त्रिकोणीय या गाऊसी) दोनों को पूरी तरह से स्वतंत्र रूप से मॉडल कर सकता है, उदाहरण के लिए प्राप्त किया जा सकता है। X = IH/chi का उपयोग करके।

यह भी देखें

• जटिल सामान्य वितरण
• तिरछा सामान्य वितरण