सममित संभाव्यता वितरण

आँकड़ों में, एक सममित संभाव्यता वितरण एक संभाव्यता वितरण है - संभावित घटनाओं के लिए संभावनाओं का एक असाइनमेंट - जो अपरिवर्तित होता है जब इसकी संभावना घनत्व फलन (निरंतर संभाव्यता वितरण के लिए) या प्रायिकता द्रव्यमान फलन (असतत यादृच्छिक चर के लिए) एक ऊर्ध्वाधर रेखा के आसपास परिलक्षित होता है। वितरण द्वारा दर्शाए गए यादृच्छिक चर के कुछ मूल्य पर होता है। यह लंबवत रेखा वितरण की समरूपता की रेखा होती है। इस प्रकार जिस मान के बारे में समरूपता होती है उसके एक ओर किसी दी गई दूरी के होने की प्रायिकता वही होती है जो उस मान के दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर होने की प्रायिकता होती है।

औपचारिक परिभाषा

संभाव्यता वितरण को सममित कहा जाता है यदि और केवल यदि कोई मान उपस्तिथ है $x_{0}$ ऐसा है कि

$f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए है $\delta ,$

जहाँ f संभाव्यता घनत्व फलन है यदि वितरण सतत वितरण है या संभाव्यता द्रव्यमान फलन है यदि वितरण असतत वितरण है।

बहुभिन्नरूपी वितरण

समरूपता की डिग्री, दर्पण समरूपता के अर्थ में, चिरल इंडेक्स के साथ बहुभिन्नरूपी वितरण के लिए मात्रात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है, जो अंतराल [0;1] में मान लेता है, और जो शून्य है और केवल अगर वितरण दर्पण सममित होता है। इस प्रकार, एक डी-वैरिएट वितरण को दर्पण सममित के रूप में परिभाषित किया जाता है जब इसका चिरल इंडेक्स शून्य होता है। वितरण असतत या निरंतर हो सकता है, और घनत्व के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं है, लेकिन परिमित और गैर अशक्त होना चाहिए। अविभाज्य स्थिति में, इस सूचकांक को समरूपता के एक गैर पैरामीट्रिक परीक्षण के रूप में प्रस्तावित किया गया था।

निरंतर सममित गोलाकार के लिए, मीर एम अली ने निम्नलिखित परिभाषा थी। ${\mathcal {F}}$ n-आयामी यूक्लिडियन स्थान में बिल्कुल निरंतर प्रकार के गोलाकार सममित वितरण के वर्ग को निरूपित करते है, जो एक निर्धारित त्रिज्या के साथ मूल में केंद्र के साथ एक गोले के अंदर $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})$ रूप का संयुक्त घनत्व होता है जो परिमित हो सकता है या अनंत और शून्य भी हो सकता है।

गुण

• एक सममित वितरण का माध्यिका और माध्य (यदि यह उपस्तिथ है) दोनों बिंदु $x_{0}$ पर होते है जिसके बारे में समरूपता होती है।
• यदि एक सममित वितरण असमान है, तो बहुलक माध्यिका और माध्य के साथ मेल खाता है।
• एक सममित वितरण के सभी विषम केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होता है (यदि वे उपस्तिथ है), क्योंकि ऐसे क्षणों की गणना में नकारात्मक विचलन से उत्पन्न होने वाले नकारात्मक शब्द $x_{0}$ से समान सकारात्मक विचलन से उत्पन्न होने वाले सकारात्मक शब्दों को त्रुटिहीन रूप से संतुलित करते है $x_{0}$
• तिरछापन का प्रत्येक माप एक सममित वितरण के लिए शून्य के बराबर होता है।

यूनिमोडल केस

Main article: चेबीशेव की असमानता § अनिमॉडल सममित वितरण

उदाहरणों की आंशिक सूची

निम्नलिखित वितरण सभी पैरामीट्रिजेशन के लिए सममित है। (कई अन्य वितरण एक विशेष पैरामीट्रिजेशन के लिए सममित है।)

नाम	वितरण
आर्कसिन वितरण	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$ for 0 ≤ x ≤ 1 $f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$ on (0,1)
बेट्स वितरण	$f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)$
कॉची वितरण	$f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi \gamma }\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],$
चम्पारोन वितरण	$f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,$
निरंतर समान वितरण	$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}$
पतित वितरण	$F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.$
असतत समान वितरण	$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$
अण्डाकार वितरण	$f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))$
गॉसियन क्यू-वितरण	$s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}$
विषमता पैरामीटर शून्य के बराबर के साथ अतिपरवलयिक वितरण	${\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}$ $K_{\lambda }$ दूसरी तरह के एक संशोधित बेसेल फलन को दर्शाता है
सामान्यीकृत सामान्य वितरण	${\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}$ $\Gamma$ गामा फंक्शन को दर्शाता है
अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक वितरण	$f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!,$
लाप्लास वितरण	$f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!$$={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.$
इरविन-हॉल वितरण	$f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(x-k)$
रसद वितरण	${\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}$
सामान्य वितरण	$\varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}$
सामान्य-घातीय-गामा वितरण	$f(x;\mu ,k,\theta )\propto \exp {\left({\frac {(x-\mu )^{2}}{4\theta ^{2}}}\right)}D_{-2k-1}\left({\frac {|x-\mu |}{\theta }}\right)$
रेडिमाकर वितरण	$f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.$
बढ़ा हुआ कोसाइन वितरण	$f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$
छात्रों का वितरण	$f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!$
यू-द्विघात वितरण	$f(x|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{for }}x\in [a,b].$
वोइग प्रोफाइल	$V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',$
वॉन माइस वितरण	$f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}$
विग्नर अर्धवृत्त वितरण	$f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,$