वेइल सह-समरूपता सिद्धांत

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक वेइल सह-समरूपता या वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत एक कोहोमोलॉजी है जो बीजगणितीय चक्रों और कोहोमोलॉजी समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम आंद्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी (गणित) के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक एबेलियन श्रेणी नहीं है।

परिभाषा

मनमाना विशेषता का एक आधार क्षेत्र k और विशेषता शून्य का एक गुणांक क्षेत्र K ठीक करें। वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत एक फ़ंक्टर # सहप्रसरण और विरोधाभास है

$H^{*}:\{{\text{smooth projective varieties over }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-algebras}}\}$

नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करना। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य किस्म X के आयाम n से अधिक k के लिए, फिर वर्गीकृत बीजगणित K-बीजगणित|K-बीजगणित

$H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)$

निम्नलिखित को संतुष्ट करना आवश्यक है:

• $H^{i}(X)$ प्रत्येक पूर्णांक i के लिए एक परिमित-आयामी K-वेक्टर स्थान है।

• $H^{i}(X)=0$ प्रत्येक i < 0 या i > 2n के लिए।

• $H^{2n}(X)$ K (तथाकथित अभिविन्यास मानचित्र) के समरूपी है।

• पोंकारे द्वंद्व: एक आदर्श युग्मन है

$H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.$

• एक विहित कुनेथ प्रमेय है|कुनेथ समरूपतावाद

$H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).$

• प्रत्येक पूर्णांक r के लिए, समूह पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित किया गया है $Z^{r}(X)$ X पर कोडिमेंशन r के बीजगणितीय चक्रों का,

$\gamma _{X}:Z^{r}(X)\to H^{2r}(X),$

H और कुनेथ समरूपता की कार्यात्मकता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि X एक बिंदु है, तो चक्र मानचित्र में 'Z' ⊂ K का समावेश आवश्यक है।

• कमज़ोर लेफ्सचेत्ज़ सिद्धांत: किसी भी चिकने हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए j: W ⊂

$j^{*}:H^{i}(X)\to H^{i}(W)$

के लिए समरूपताएँ हैं $i\leqslant n-2$ और इंजेक्शन के लिए $i\leqslant n-1.$

• हार्ड लेफ्शेट्ज़ अभिगृहीत: मान लीजिए कि W एक हाइपरप्लेन सेक्शन है और $w=\gamma _{X}(W)\in H^{2}(X)$ चक्र वर्ग मानचित्र के अंतर्गत इसकी छवि बनें। लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\begin{cases}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{cases}}$

जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है $H^{*}(X).$ तब

$L^{i}:H^{n-i}(X)\to H^{n+i}(X)$

i = 1, ..., n के लिए एक समरूपता है।

उदाहरण

चार तथाकथित शास्त्रीय वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत हैं:

• बेटी कोहोमोलॉजी|एकवचन (=बेटी) कोहोमोलॉजी, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में सी से अधिक किस्मों के बारे में (जीएजीए देखें),

• विशेषता (बीजगणित) शून्य के आधार क्षेत्र पर डॉ कहलमज गर्भाशय: सी से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी देखें),

• एटेले कोहोमोलॉजी|$\ell$-विभिन्न विशेषताओं के क्षेत्रों में किस्मों के लिए एडिक कोहोमोलॉजी $\ell$,

• क्रिस्टलीय सहसंरचना.

बेट्टी कोहोमोलॉजी और डी राम कोहोमोलॉजी के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और शास्त्रीय हैं। के लिए $\ell$-एडिक कोहोमोलॉजी, उदाहरण के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।

दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी कोहोमोलॉजी समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम n के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च कोहोमोलॉजी समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल होमोलॉजी से तुलना करके | सरल (सह) समरूपता)।

डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम n की पूर्ण विविधता X में जटिल कोड आयाम r की एक उप-विविधता Y को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है $\textstyle \int _{Y}\colon \;H_{\text{dR}}^{2n-2r}(X)\to \mathbf {C}$. पोंकारे द्वंद्व के अनुसार, इस तरह की कार्यक्षमता देना एक तत्व देने के बराबर है $H_{\text{dR}}^{2r}(X)$; वह तत्व चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।

संदर्भ

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 (idem for l-adic cohomology)
• Kleiman, S. L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838