संभाव्यता सिद्धांत में, जटिल सामान्य वितरण के परिवार को दर्शाया गया है C N {\displaystyle {\mathcal {CN}}} N C {\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}} जटिल यादृच्छिक चर की विशेषता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक भाग संयुक्त रूप से बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण हैं।[1] Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1} C = 0 {\displaystyle C=0}
जटिल सामान्य परिवार के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को गोलाकार-सममित (केंद्रीय) जटिल सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध मैट्रिक्स और शून्य माध्य के मामले से मेल खाता है: μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} [2] संकेत आगे बढ़ाना में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां इसे कभी-कभी साहित्य में जटिल सामान्य के रूप में संदर्भित किया जाता है।
परिभाषाएँ जटिल मानक सामान्य यादृच्छिक चर मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या मानक जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर एक जटिल यादृच्छिक चर है Z {\displaystyle Z} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} [3] : p. 494 [4] : pp. 501
Z ∼ C N ( 0 , 1 ) ⟺ ℜ ( Z ) ⊥ ⊥ ℑ ( Z ) and ℜ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) and ℑ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)}
(Eq.1 )
कहाँ Z ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)} Z {\displaystyle Z}
जटिल सामान्य यादृच्छिक चर कल्पना करना X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} ( X , Y ) T {\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }} सामान्य यादृच्छिक वेक्टर है। फिर जटिल यादृच्छिक चर Z = X + i Y {\displaystyle Z=X+iY} [3] : p. 500
Z complex normal random variable ⟺ ( ℜ ( Z ) , ℑ ( Z ) ) T real normal random vector {\displaystyle Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}
(Eq.2 )
जटिल मानक सामान्य यादृच्छिक वेक्टर एक एन-आयामी जटिल यादृच्छिक वेक्टर Z = ( Z 1 , … , Z n ) T {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }} [3] : p. 502 [4] : pp. 501 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z ∼ C N ( 0 , I n ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}
Z ∼ C N ( 0 , I n ) ⟺ ( Z 1 , … , Z n ) independent and for 1 ≤ i ≤ n : Z i ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}
(Eq.3 )
जटिल सामान्य यादृच्छिक वेक्टर अगर X = ( X 1 , … , X n ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }} Y = ( Y 1 , … , Y n ) T {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }} यादृच्छिक वेक्टर हैं R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]} 2 n {\displaystyle 2n} जटिल यादृच्छिक वेक्टर
Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,} एक जटिल सामान्य यादृच्छिक वेक्टर या एक जटिल गाऊसी यादृच्छिक वेक्टर है।
Z complex normal random vector ⟺ ( ℜ ( Z T ) , ℑ ( Z T ) ) T = ( ℜ ( Z 1 ) , … , ℜ ( Z n ) , ℑ ( Z 1 ) , … , ℑ ( Z n ) ) T real normal random vector {\displaystyle \mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}
(Eq.4 )
माध्य, सहप्रसरण, और संबंध जटिल गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:[5]
μ = E [ Z ] , Γ = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) H ] , C = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) T ] , {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],} कहाँ Z T {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }} मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z H {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }} [3] : p. 504 [4] : pp. 500
यहां स्थान पैरामीटर है μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } हर्मिटियन मैट्रिक्स और गैर-नकारात्मक निश्चित है; और, संबंध मैट्रिक्स या छद्म सहप्रसरण मैट्रिक्स C {\displaystyle C} सममित मैट्रिक्स है. जटिल सामान्य यादृच्छिक वेक्टर Z {\displaystyle \mathbf {Z} }
Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) . {\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).} इसके अलावा, मैट्रिक्स
Γ {\displaystyle \Gamma } और
C {\displaystyle C} ऐसे हैं कि मैट्रिक्स
P = Γ ¯ − C H Γ − 1 C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C} यह भी गैर-नकारात्मक निश्चित है Γ ¯ {\displaystyle {\overline {\Gamma }}} Γ {\displaystyle \Gamma } [5]
सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध किसी भी जटिल यादृच्छिक वेक्टर के लिए, मैट्रिक्स Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} X = ℜ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )} Y = ℑ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}
V X X ≡ E [ ( X − μ X ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Re [ Γ + C ] , V X Y ≡ E [ ( X − μ X ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Im [ − Γ + C ] , V Y X ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Im [ Γ + C ] , V Y Y ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Re [ Γ − C ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}} और इसके विपरीत
Γ = V X X + V Y Y + i ( V Y X − V X Y ) , C = V X X − V Y Y + i ( V Y X + V X Y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}
घनत्व फलन जटिल सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना इस प्रकार की जा सकती है
f ( z ) = 1 π n det ( Γ ) det ( P ) exp { − 1 2 ( ( z ¯ − μ ¯ ) ⊺ , ( z − μ ) ⊺ ) ( Γ C C ¯ Γ ¯ ) − 1 ( z − μ z ¯ − μ ¯ ) } = det ( P − 1 ¯ − R ∗ P − 1 R ) det ( P − 1 ) π n e − ( z − μ ) ∗ P − 1 ¯ ( z − μ ) + Re ( ( z − μ ) ⊺ R ⊺ P − 1 ¯ ( z − μ ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}} कहाँ R = C H Γ − 1 {\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}} P = Γ ¯ − R C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}
विशेषता कार्य जटिल सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) किसके द्वारा दिया गया है?[5] φ ( w ) = exp { i Re ( w ¯ ′ μ ) − 1 4 ( w ¯ ′ Γ w + Re ( w ¯ ′ C w ¯ ) ) } , {\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},} w {\displaystyle w}
गुण अगर Z {\displaystyle \mathbf {Z} } A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} b {\displaystyle b} A Z + b {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b} Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) ⇒ A Z + b ∼ C N ( A μ + b , A Γ A H , A C A T ) {\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })} अगर Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 2 [ ( Z − μ ) H P − 1 ¯ ( Z − μ ) − Re ( ( Z − μ ) T R T P − 1 ¯ ( Z − μ ) ) ] ∼ χ 2 ( 2 n ) {\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)} केंद्रीय सीमा प्रमेय। अगर Z 1 , … , Z T {\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}} T ( 1 T ∑ t = 1 T Z t − E [ Z t ] ) → d C N ( 0 , Γ , C ) , {\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),} कहाँ Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]} C = E [ Z Z T ] {\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]} एक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक होयट वितरण का अनुसरण करता है।[6]
वृत्ताकार-सममित केंद्रीय मामला परिभाषा एक जटिल यादृच्छिक वेक्टर Z {\displaystyle \mathbf {Z} } φ ∈ [ − π , π ) {\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )} e i φ Z {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} } Z {\displaystyle \mathbf {Z} } [4] : pp. 500–501
केंद्रीय सामान्य जटिल यादृच्छिक वेक्टर जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण मैट्रिक्स द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं Γ {\displaystyle \Gamma }
गोलाकार-सममित (केंद्रीय) जटिल सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध मैट्रिक्स के मामले से मेल खाता है, अर्थात। μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} [3] : p. 507 [7]
Z ∼ C N ( 0 , Γ ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}
वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण अगर Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} } [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}
( X Y ) ∼ N ( [ Re μ Im μ ] , 1 2 [ Re Γ − Im Γ Im Γ Re Γ ] ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\mu \\\operatorname {Im} \,\mu \end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}} कहाँ μ = E [ Z ] = 0 {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0} Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}
संभावना घनत्व फ़ंक्शन गैर-एकवचन सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए Γ {\displaystyle \Gamma } [3] : p. 508
f Z ( z ) = 1 π n det ( Γ ) e − ( z − μ ) H Γ − 1 ( z − μ ) {\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}} इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } z {\displaystyle z}
ln ( L ( μ , Γ ) ) = − ln ( det ( Γ ) ) − ( z − μ ) ¯ ′ Γ − 1 ( z − μ ) − n ln ( π ) . {\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).} मानक जटिल सामान्य (में परिभाषित) Eq.1 μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1}
f Z ( z ) = 1 π e − z ¯ z = 1 π e − | z | 2 . {\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}
गुण उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मामला क्यों है C = 0 {\displaystyle C=0} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} z {\displaystyle z} | z | {\displaystyle |z|} रेले वितरण और वर्ग परिमाण होगा | z | 2 {\displaystyle |z|^{2}} समान वितरण (निरंतर) पर वितरित किया जाएगा [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
अगर { Z 1 , … , Z k } {\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}} μ = 0 {\displaystyle \mu =0}
Q = ∑ j = 1 k Z j H Z j = ∑ j = 1 k ‖ Z j ‖ 2 {\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}} इसमें सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण और यादृच्छिक मैट्रिक्स है
W = ∑ j = 1 k Z j Z j H {\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }} के साथ जटिल विशरट वितरण है k {\displaystyle k}
f ( w ) = det ( Γ − 1 ) k det ( w ) k − n π n ( n − 1 ) / 2 ∏ j = 1 k ( k − j ) ! e − tr ( Γ − 1 w ) {\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}} कहाँ k ≥ n {\displaystyle k\geq n} w {\displaystyle w} n × n {\displaystyle n\times n}
यह भी देखें संदर्भ
अग्रिम पठन
Discrete
with finite with infinite
Continuous
supported on a supported on a supported with support
Mixed
Multivariate Directional Degenerate singular Families
