अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता

अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता (आईआईए), जिसे द्विआधारी स्वतंत्रता के रूप में भी जाना जाता है^[1] या स्वतंत्रता सिद्धांत, निर्णय सिद्धांत और विभिन्न सामाजिक विज्ञानों का एक सिद्धांत है। इस शब्द का प्रयोग कई संदर्भों में अलग-अलग अर्थों में किया जाता है। यद्यपि यह हमेशा तर्कसंगत व्यक्तिगत व्यवहार या व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के एकत्रीकरण का विवरण प्रदान करने का प्रयास करता है, सटीक सूत्रीकरण भाषा और सटीक सामग्री दोनों में व्यापक रूप से भिन्न होता है।

शायद सिद्धांत को समझने का सबसे आसान तरीका यह है कि यह मतदान करने से कैसे संबंधित है। वहां सिद्धांत कहता है कि यदि चार्ली (अप्रासंगिक विकल्प) ऐलिस और बॉब के बीच दौड़ में प्रवेश करता है, जिसमें ऐलिस (नेता) को बॉब (उपविजेता) से बेहतर पसंद किया जाता है, तो व्यक्तिगत मतदाता जो चार्ली को ऐलिस से कम पसंद करता है, वह अपना वोट नहीं बदलेगा ऐलिस से बॉब तक. इस वजह से, आईआईए के उल्लंघन को आमतौर पर वोट विभाजन#स्पॉयलर प्रभाव के रूप में जाना जाता है: चार्ली का समर्थन ऐलिस के चुनाव को खराब कर देता है, जबकि तार्किक रूप से ऐसा नहीं होना चाहिए। आख़िरकार, ऐलिस को बॉब से बेहतर पसंद किया गया, और चार्ली को ऐलिस से कम पसंद किया गया।

सामूहिक निर्णय लेने के संदर्भों में, स्वयंसिद्ध अधिक परिष्कृत रूप लेता है, और गणितीय रूप से कोंडोरसेट विधियों, गिबार्ड-सैटरथवेट प्रमेय और तीर असंभवता प्रमेय के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। इन सभी का संबंध रैंक सेट सिद्धांत के बीच चक्रीय प्रमुखताओं से है, और संबंधित प्रमाण समान मूल रूप लेते हैं। व्यवहारिक अर्थशास्त्र ने दर्शाया है कि मनुष्य द्वारा आमतौर पर इस सिद्धांत का उल्लंघन किया जाता है।

आईआईए के अनेक रूप

तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत में, IIA कभी-कभी हरमन चेर्नॉफ़ की स्थिति या प्रकट वरीयता#द वीक एक्सिओम ऑफ़ रिवील प्रेफरेंस (WARP)|सेन के α (अल्फा) को संदर्भित करता है: यदि समुच्चय T से कोई वैकल्पिक x चुना जाता है, और x भी T के उपसमुच्चय S का एक तत्व है, तो x को S से चुना जाना चाहिए।^[2] अर्थात्, कुछ अचयनित विकल्पों को समाप्त करने से सर्वोत्तम विकल्प के रूप में x के चयन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।

सामाजिक चयन सिद्धांत में, एरो का IIA, एरो के असंभव प्रमेय की शर्तों में से एक है, जिसमें कहा गया है कि कुछ अन्य उचित शर्तों के अलावा IIA को संतुष्ट करने वाली व्यक्तिगत रैंक-ऑर्डर प्राथमिकताओं (वोट) को एकत्र करना असंभव है। एरो IIA को इस प्रकार परिभाषित करता है:

विकल्प x और y के बीच सामाजिक प्राथमिकताएँ केवल x और y के बीच की व्यक्तिगत प्राथमिकताओं पर निर्भर करती हैं।^[3]

सामाजिक चयन सिद्धांत में, IIA को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

यदि ए, बी और अनुपलब्ध तीसरे विकल्प एक्स की दी गई मतदाता प्राथमिकताओं के लिए मतदान नियम द्वारा पसंद सेट {ए, बी} में से ए को बी के ऊपर चुना जाता है, तो यदि केवल एक्स के लिए प्राथमिकताएं बदलती हैं, तो मतदान नियम नहीं होना चाहिए जिसके परिणामस्वरूप B को A के स्थान पर चुना गया।

मतदान सिद्धांत में ऐसा अक्सर मतदान पद्धति के कारण होने वाले विकृत प्रोत्साहनों के कारण होता है। लेकिन वास्तव में लोग मनोवैज्ञानिक कारणों से भी इस सिद्धांत का उल्लंघन करते हैं।

उदाहरण के लिए, सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, स्वयंसिद्ध आगे प्रकट वरीयता और औपचारिक वाद्य तर्कसंगतता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है: नवशास्त्रीय अर्थशास्त्र में इसे आम तौर पर सच माना जाता है, ढांचे के एक बुनियादी, पूर्वानुमानित भाग के रूप में, और कुछ ऐसा जो सैद्धांतिक रूप से डच पुस्तकों को रोकता है घटित होने से. हालाँकि, चूंकि यह अनुभवजन्य रूप से या तो सुदृढ़ता या जीवित मानव प्रकृति का एक कच्चा अनुमान बोल रहा है, यह स्वयंसिद्ध जीवंत बहस को जन्म देता रहता है। कम से कम नहीं क्योंकि यह आगे तर्क दिया जा सकता है कि किसी व्यक्ति को तर्कसंगत होने के लिए, उन्हें स्वयंसिद्ध का पालन करना चाहिए - इस प्रकार स्वयंसिद्ध को नैतिक दर्शन और सिद्धांत का विषय भी बनाना चाहिए।

मतदान सिद्धांत

मतदान प्रणालियों में, अप्रासंगिक विकल्पों से स्वतंत्रता की व्याख्या अक्सर इस प्रकार की जाती है, यदि एक उम्मीदवार (एक्स) चुनाव जीतेगा, और यदि मतपत्र में एक नया उम्मीदवार (वाई) जोड़ा जाता है, तो एक्स या वाई चुनाव जीतेंगे।

अनुमोदन मतदान, रेंज वोटिंग और बहुमत निर्णय आईआईए मानदंड को पूरा करते हैं यदि यह माना जाता है कि मतदाता अपने स्वयं के पूर्ण पैमाने का उपयोग करके, चुनाव में उपलब्ध विकल्पों को जानने के बावजूद व्यक्तिगत रूप से और स्वतंत्र रूप से उम्मीदवारों को रेट करते हैं। इस धारणा का तात्पर्य यह है कि केवल दो विकल्पों वाले चुनाव में सार्थक प्राथमिकताएं रखने वाले कुछ मतदाता आवश्यक रूप से ऐसा वोट डालेंगे जिसमें मतदान करने की शक्ति बहुत कम या बिल्कुल नहीं है, या अनिवार्य रूप से मतदान नहीं करेंगे। यदि यह कम से कम संभव मान लिया जाए कि प्राथमिकता रखने वाला कोई भी मतदाता वोट न दे, या अपने पसंदीदा और सबसे कम पसंदीदा उम्मीदवारों को क्रमशः शीर्ष और निचली रेटिंग पर वोट न दे, तो ये प्रणालियाँ IIA में विफल हो जाती हैं। इनमें से किसी भी शर्त को स्वीकार करना ही विफलता का कारण बनता है। एक अन्य कार्डिनल प्रणाली, संचयी मतदान, किसी भी धारणा की परवाह किए बिना मानदंड को पूरा नहीं करती है।

कार्डिनल मामले के लिए एक वैकल्पिक व्याख्या यह है कि मतपत्र स्वयं आईआईए पास करते हैं (यानी मतपत्र डालने के बाद उन्हें बदलना), लेकिन आंतरिक मतदाता प्राथमिकताएं नहीं (यानी उस संदर्भ को बदलना जिसमें मतपत्र बनाए गए थे)। ईमानदारी की धारणा के तहत, रैंक किए गए मतपत्रों में रैंक की गई जानकारी और मतदाता का वरीयता क्रम समान है, इसलिए यह अंतर नहीं किया जाता है और रैंक की गई जानकारी के दोनों सेटों को एक ही माना जाता है। कार्डिनल वोटिंग परिदृश्य के तहत, चुनाव का संदर्भ और प्राथमिकताओं की सापेक्ष तीव्रता एक विशिष्ट कार्डिनल मतपत्र (और पूर्ण पैमाने नहीं) की ओर ले जाती है, और इस प्रकार, संदर्भ बदलने से मतपत्र बदल जाएगा। इस व्याख्या के तहत, इस धारणा की कोई आवश्यकता नहीं है कि मतदाता ऐसे मतपत्र डालते हैं जो स्वतंत्र रूप से प्रत्येक उम्मीदवार का पूर्ण पैमाने पर मूल्यांकन करते हैं, क्योंकि कार्डिनल मतपत्र में जानकारी एक सापेक्ष तुलनात्मक पैमाने का प्रतिनिधित्व करती है। यह व्याख्या अनुभवजन्य रूप से समर्थित है कि व्यक्ति कार्डिनल तुलनात्मक मूल्यांकन पर कैसे प्रतिक्रिया देते हैं।^[4]^[5] आईआईए के उल्लंघन को दर्शाने वाला एक किस्सा सिडनी मॉर्गनबेसर को दिया गया है:

रात का खाना खत्म करने के बाद, सिडनी मोर्गनबेसर ने मिठाई का ऑर्डर देने का फैसला किया। वेट्रेस उसे बताती है कि उसके पास दो विकल्प हैं: सेब पाई और ब्लूबेरी पाई। सिडनी ने सेब पाई का ऑर्डर दिया। कुछ मिनटों के बाद वेट्रेस लौटती है और कहती है कि उनके पास चेरी पाई भी है, जिस पर मॉर्गनबेसर कहते हैं, उस स्थिति में मैं ब्लूबेरी पाई लूंगा।

सभी मतदान प्रणालियों में रणनीतिक नामांकन संबंधी विचारों के प्रति कुछ हद तक अंतर्निहित संवेदनशीलता होती है। कुछ लोग इन विचारों को कम गंभीर मानते हैं जब तक कि मतदान प्रणाली क्लोन मानदंड की आसानी से संतुष्ट होने वाली स्वतंत्रता में विफल नहीं हो जाती।

स्थानीय स्वतंत्रता

एच. पीटन यंग और ए. लेवेंग्लिक द्वारा प्रस्तावित आईआईए से कमजोर मानदंड को अप्रासंगिक विकल्पों से स्थानीय स्वतंत्रता (एलआईआईए) कहा जाता है।^[6] LIIA के लिए आवश्यक है कि निम्नलिखित दोनों स्थितियाँ हमेशा बनी रहें:

यदि अंतिम स्थान पर समाप्त होने वाला विकल्प सभी वोटों से हटा दिया जाता है, तो शेष विकल्पों के समाप्त होने का क्रम नहीं बदलना चाहिए। (विजेता को नहीं बदलना चाहिए।)
यदि सभी मतों में से विजयी विकल्प हटा दिया जाता है, तो शेष विकल्पों के समाप्त होने का क्रम नहीं बदलना चाहिए। (जो विकल्प दूसरे स्थान पर समाप्त होगा उसे विजेता बनना होगा।)

एलआईआईए को व्यक्त करने का एक समतुल्य तरीका यह है कि यदि विकल्पों का एक उपसमूह समाप्ति के क्रम में लगातार स्थिति में है, तो वोटों से अन्य सभी विकल्प हटा दिए जाने पर उनके समाप्ति के सापेक्ष क्रम में बदलाव नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि तीसरे, चौथे और पांचवें स्थान को छोड़कर सभी विकल्प हटा दिए जाते हैं, तो तीसरे स्थान पर रहने वाले विकल्प को जीतना होगा, चौथे को दूसरे स्थान पर और पांचवें को तीसरे स्थान पर रहना होगा।

एलआईआईए को व्यक्त करने का एक और समकक्ष तरीका यह है कि यदि दो विकल्प समाप्ति के क्रम में लगातार हैं, तो जो उच्चतर समाप्त होता है उसे जीतना होगा यदि उन दो को छोड़कर सभी विकल्प वोटों से हटा दिए जाते हैं।

LIIA IIA से कमज़ोर है क्योंकि IIA की संतुष्टि का तात्पर्य LIIA की संतुष्टि से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

IIA की तुलना में कमजोर मानदंड (अर्थात संतुष्ट करना आसान) होने के बावजूद, LIIA बहुत कम मतदान विधियों से संतुष्ट है। इनमें केमेनी-यंग विधि|केमेनी-यंग और रैंक वाले जोड़े शामिल हैं, लेकिन शुल्ज़ विधि नहीं। IIA की ही तरह, अनुमोदन वोटिंग, रेंज वोटिंग और बहुमत निर्णय जैसी रेटिंग विधियों के लिए LIIA अनुपालन के लिए इस धारणा की आवश्यकता होती है कि मतदाता प्रत्येक विकल्प को व्यक्तिगत रूप से और किसी भी अन्य विकल्प को जानने से स्वतंत्र रूप से पूर्ण पैमाने पर (चुनाव से पहले कैलिब्रेटेड) रेट करते हैं। यहां तक कि जब यह धारणा यह दर्शाती है कि दो उम्मीदवारों के चुनाव में सार्थक प्राथमिकताएं रखने वाले मतदाता अनिवार्य रूप से चुनाव से दूर रहेंगे।

आईआईए की आलोचना

IIA बहुमत की कसौटी के साथ काफी हद तक असंगत है जब तक कि केवल दो विकल्प न हों।

ऐसे परिदृश्य पर विचार करें जिसमें तीन उम्मीदवार A, B, और C हैं, और मतदाताओं की प्राथमिकताएँ इस प्रकार हैं:

25% मतदाता A को B से अधिक और B को C से अधिक पसंद करते हैं। (A>B>C)

40% मतदाता C से अधिक B को और A से अधिक C को पसंद करते हैं। (B>C>A)

35% मतदाता A के मुकाबले C को और B के मुकाबले A को पसंद करते हैं। (C>A>B)

(ये प्राथमिकताएँ हैं, वोट नहीं, और इस प्रकार मतदान पद्धति से स्वतंत्र हैं।)

75% ए की तुलना में सी को पसंद करते हैं, 65% सी की तुलना में बी को पसंद करते हैं, और 60% बी की तुलना में ए को पसंद करते हैं। इस सामाजिक अकर्मण्यता की उपस्थिति मतदान विरोधाभास है। मतदान पद्धति और वास्तविक वोटों के बावजूद, विचार करने के लिए केवल तीन मामले हैं:

केस 1: ए निर्वाचित है। आईआईए का उल्लंघन किया गया है क्योंकि 75% जो ए के मुकाबले सी को पसंद करते हैं वे सी को चुनेंगे यदि बी उम्मीदवार नहीं होता।
केस 2: बी निर्वाचित है। आईआईए का उल्लंघन किया गया है क्योंकि 60% जो बी के मुकाबले ए को पसंद करते हैं वे ए को चुनेंगे यदि सी उम्मीदवार नहीं होता।
केस 3: सी निर्वाचित है। आईआईए का उल्लंघन किया गया है क्योंकि 65% जो सी के मुकाबले बी को पसंद करते हैं वे बी को चुनेंगे यदि ए उम्मीदवार नहीं होता।

विफलता दिखाने के लिए, कम से कम यह केवल संभव माना जाता है कि बहुमत में पर्याप्त मतदाता अपने पसंदीदा उम्मीदवार के लिए न्यूनतम सकारात्मक वोट दे सकते हैं जब केवल दो उम्मीदवार हों, न कि अनुपस्थित रहें। अधिकांश रैंक वाली मतपत्र पद्धतियाँ और बहुलता मतदान बहुमत मानदंड को पूरा करते हैं, और इसलिए उपरोक्त उदाहरण से स्वचालित रूप से IIA विफल हो जाते हैं। इस बीच, अनुमोदन और रेंज वोटिंग द्वारा आईआईए के पारित होने के लिए कुछ मामलों में आवश्यक है कि बहुमत में मतदाताओं को आवश्यक रूप से मतदान से बाहर रखा जाए (ऐसा माना जाता है कि विकल्पों के बीच सार्थक प्राथमिकता होने के बावजूद, उन्हें दो उम्मीदवारों की दौड़ में अनिवार्य रूप से अनुपस्थित रहना होगा)।

इसलिए भले ही आईआईए वांछनीय है, इसकी संतुष्टि की आवश्यकता केवल मतदान के तरीकों की अनुमति देती है जो किसी अन्य तरीके से अवांछनीय हैं, जैसे कि मतदाताओं में से एक को तानाशाह के रूप में मानना। इस प्रकार लक्ष्य यह पता लगाना होना चाहिए कि कौन सी मतदान विधियाँ सर्वोत्तम हैं, न कि कौन सी उत्तम हैं।

एक तर्क दिया जा सकता है कि आईआईए स्वयं अवांछनीय है। आईआईए का मानना है कि जब ए के बी से बेहतर होने की संभावना है या नहीं, तो सी के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं के बारे में जानकारी अप्रासंगिक है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ना चाहिए। हालाँकि, केवल दो विकल्प होने पर बहुमत शासन की ओर ले जाने वाली अनुमान यह है कि जितने अधिक लोग सोचते हैं कि एक विकल्प दूसरे से बेहतर है, उतनी ही अधिक संभावना है कि यह बेहतर है, बाकी सभी समान हैं (कॉनडोर्सेट की जूरी देखें) प्रमेय). दोनों उम्मीदवारों में से कौन बेहतर है, इसके बारे में विरोधी अल्पसंख्यक की तुलना में बहुमत के सही होने की अधिक संभावना है, बाकी सभी समान हैं, इसलिए बहुमत नियम का उपयोग किया जाता है।

समान अनुमान का तात्पर्य यह है कि बहुमत जितना बड़ा होगा, उतनी ही अधिक संभावना है कि वे सही हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि जब एक से अधिक बहुमत होता है, तो छोटे बहुमत की तुलना में बड़े बहुमत के सही होने की अधिक संभावना होती है। ऐसा मानते हुए, 75% जो ए के ऊपर सी को पसंद करते हैं और 65% जो सी के ऊपर बी को पसंद करते हैं, उन 60% की तुलना में सही होने की अधिक संभावना है जो बी के ऊपर ए को पसंद करते हैं, और चूंकि तीनों बहुमत के लिए ऐसा होना संभव नहीं है। सही है, छोटे बहुमत (जो बी के मुकाबले ए को पसंद करते हैं) के गलत होने की अधिक संभावना है, और उनके विरोधी अल्पसंख्यक की तुलना में सही होने की संभावना कम है। ए बी से बेहतर है या नहीं, इसके अप्रासंगिक होने के बजाय, सी के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं के बारे में अतिरिक्त जानकारी एक मजबूत संकेत प्रदान करती है कि यह एक ऐसी स्थिति है जहां बाकी सब समान नहीं हैं।

सामाजिक चयन में

केनेथ एरो से,^[7] समाज में प्रत्येक मतदाता के पास एक क्रमबद्ध आर है_i यह सामाजिक चयन सिद्धांत की (कल्पना योग्य) वस्तुओं - सरलतम मामले में x, y, और z - को उच्च से निम्न तक रैंक करता है। एक एकत्रीकरण नियम (वोटिंग नियम) बदले में प्रत्येक प्रोफ़ाइल या टुपल (आर) को मैप करता है₁, ...,आर_n) मतदाता की प्राथमिकताएं (आदेश) एक सामाजिक क्रम 'आर' के लिए जो x, y, और z की सामाजिक प्राथमिकता (रैंकिंग) निर्धारित करता है।

एरो की असंभवता प्रमेय | एरो के आईआईए के लिए आवश्यक है कि जब भी विकल्पों की एक जोड़ी को दो वरीयता प्रोफाइल (एक ही विकल्प सेट पर) में एक ही तरह से रैंक किया जाता है, तो एकत्रीकरण नियम को इन विकल्पों को दोनों प्रोफाइलों में समान रूप से क्रमबद्ध करना होगा।^[8] उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक एकत्रीकरण नियम द्वारा दी गई प्रोफ़ाइल पर a को b से ऊपर रैंक किया गया है

(एसीबीडी, डीबीएसी),

(अर्थात्, पहला व्यक्ति a को पहले, c को दूसरे, b को तीसरे, d को अंतिम पसंद करता है; दूसरा व्यक्ति d को पहले, ..., और c को अंतिम पसंद करता है)। फिर, यदि यह आईआईए को संतुष्ट करता है, तो इसे निम्नलिखित तीन प्रोफाइलों में बी से ऊपर रैंक करना होगा:

(ए बी सी डी,bdca)
(ए बी सी डी,bacd)
(एसीडीबी,bcda).

प्रोफाइल के अंतिम दो रूप (दोनों को शीर्ष पर रखना; और दोनों को ऊपर और नीचे रखना) विशेष रूप से उपयोगी हैं आईआईए से जुड़े प्रमेयों के प्रमाण में।

एरो की सामाजिक पसंद और व्यक्तिगत मूल्य#शर्तें और प्रमेय इस लेख के शीर्ष पर दिए गए आईआईए से भिन्न आईआईए का संकेत नहीं देते हैं और न ही इसके विपरीत।^[9]

अपनी पुस्तक के पहले संस्करण में, एरो ने विचार सेट से एक विकल्प को हटाने पर विचार करके आईआईए की गलत व्याख्या की। पसंद की वस्तुओं में से, उन्होंने उन वस्तुओं को अलग किया जिन्हें परिकल्पना द्वारा व्यवहार्य और अव्यवहार्य के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। मतदाता आदेशों के दो संभावित सेटों पर विचार करें ( $R_{1}$ , ..., $R_{n}$ ) और ( $R_{1}'$ , ..., $R_{n}'$ ) इस प्रकार कि प्रत्येक मतदाता i के लिए X और Y की रैंकिंग समान हो $R_{i}$ और $R_{i}'$ . मतदान नियम संगत सामाजिक आदेश R और R' उत्पन्न करता है। अब मान लीजिए कि X और Y व्यवहार्य हैं लेकिन Z अव्यवहार्य है (मान लीजिए, उम्मीदवार मतपत्र पर नहीं है या सामाजिक स्थिति उत्पादन संभावना सीमा से बाहर है)। एरो के लिए आवश्यक है कि मतदान नियम यह है कि आर और आर 'संभावित सेट (एक्स, वाई) से समान (शीर्ष-रैंक वाली) सामाजिक पसंद का चयन करें, और यह आवश्यकता कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक्स और वाई के सापेक्ष अव्यवहार्य जेड की रैंकिंग क्या है ऑर्डर के दो सेटों में. आईआईए उपलब्ध सेट (मतपत्र से एक उम्मीदवार) से किसी विकल्प को हटाने की अनुमति नहीं देता है, और यह इस बारे में कुछ नहीं कहता है कि ऐसे मामले में क्या होगा: सभी विकल्पों को व्यवहार्य माना जाता है।

उदाहरण

किनारों की गिनती

बोर्डा गिनती चुनाव में, 5 मतदाता 5 विकल्पों को रैंक करते हैं [ए, बी, सी, डी, ई]।

3 मतदाता रैंक [ए>बी>सी>डी>ई]। 1 मतदाता रैंक [सी>डी>ई>बी>ए]। 1 मतदाता रैंक [ई>सी>डी>बी>ए]।

बोर्डा गिनती (ए=0, बी=1): सी=13, ए=12, बी=11, डी=8, ई=6। सी जीतता है.

अब, जो मतदाता रैंक में है [सी>डी>ई>बी>ए] इसके बजाय रैंक है [सी>बी>ई>डी>ए]; और जो मतदाता रैंक में है [ई>सी>डी>बी>ए] इसके बजाय वह रैंक में है [ई>सी>बी>डी>ए]। वे केवल जोड़ियों [बी, डी], [बी, ई] और [डी, ई] पर अपनी प्राथमिकताएँ बदलते हैं।

नई बोर्डा गिनती: बी=14, सी=13, ए=12, ई=6, डी=5। बी जीतता है.

सामाजिक पसंद ने [बी, ए] और [बी, सी] की रैंकिंग बदल दी है। सामाजिक विकल्प रैंकिंग में परिवर्तन वरीयता प्रोफ़ाइल में अप्रासंगिक परिवर्तनों पर निर्भर हैं। विशेष रूप से, अब C के बजाय B जीतता है, भले ही किसी भी मतदाता ने [B, C] पर अपनी प्राथमिकता नहीं बदली हो।

बोर्डा गणना और रणनीतिक मतदान

एक ऐसे चुनाव पर विचार करें जिसमें तीन उम्मीदवार हैं, ए, बी और सी, और केवल दो मतदाता। प्रत्येक मतदाता उम्मीदवारों को वरीयता क्रम में रखता है। मतदाता की प्राथमिकता में सर्वोच्च रैंक वाले उम्मीदवार को 2 अंक, दूसरे उच्चतम रैंक वाले को 1 और सबसे निचले रैंक वाले को 0 अंक दिए जाते हैं; किसी उम्मीदवार की समग्र रैंकिंग उसे प्राप्त कुल अंक से निर्धारित होती है; सर्वोच्च रैंक वाला उम्मीदवार जीतता है।

दो प्रोफ़ाइलों पर विचार करते हुए:

प्रोफाइल 1 और 2 में, पहला मतदाता बीएसी क्रम में अपना वोट डालता है, इसलिए बी को 2 अंक मिलते हैं, ए को 1 मिलता है, और सी को इस मतदाता से 0 मिलता है।
प्रोफ़ाइल 1 में, दूसरा मतदाता एसीबी को वोट देता है, इसलिए ए सीधे जीत जाएगा (कुल स्कोर: ए 3, बी 2, सी 1)।
प्रोफ़ाइल 2 में, दूसरा मतदाता एबीसी को वोट देता है, इसलिए ए और बी बराबर होंगे (कुल स्कोर: ए 3, बी 3, सी 0)।

इस प्रकार, यदि दूसरा मतदाता चाहता है कि ए निर्वाचित हो, तो उसे सी और बी के बारे में उसकी वास्तविक राय की परवाह किए बिना एसीबी को बेहतर वोट मिला। यह अप्रासंगिक विकल्पों से स्वतंत्रता के विचार का उल्लंघन करता है क्योंकि मतदाता की सी और बी के बारे में तुलनात्मक राय इस बात को प्रभावित करती है कि ए चुना गया है या नहीं। या नहीं। दोनों प्रोफाइलों में, बी के सापेक्ष ए की रैंकिंग प्रत्येक मतदाता के लिए समान है, लेकिन बी के सापेक्ष ए की सामाजिक रैंकिंग अलग-अलग है।

कोपलैंड

यह उदाहरण दर्शाता है कि कोपलैंड की पद्धति IIA का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले 6 मतदाताओं के साथ चार उम्मीदवारों ए, बी, सी और डी पर विचार करें:

# of voters	Preferences
1	A > B > C > D
1	A > C > B > D
2	B > D > A > C
2	C > D > A > B

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:

Pairwise Preferences
		X
		A	B	C	D
Y	A		[X] 2 [Y] 4	[X] 2 [Y] 4	[X] 4 [Y] 2
	B	[X] 4 [Y] 2		[X] 3 [Y] 3	[X] 2 [Y] 4
	C	[X] 4 [Y] 2	[X] 3 [Y] 3		[X] 2 [Y] 4
	D	[X] 2 [Y] 4	[X] 4 [Y] 2	[X] 4 [Y] 2
Pairwise election results (won-tied-lost):		2-0-1	1-1-1	1-1-1	1-0-2

[एक्स] उन मतदाताओं को इंगित करता है जिन्होंने पंक्ति कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में कॉलम कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी
[Y] उन मतदाताओं को इंगित करता है जिन्होंने कॉलम कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में पंक्ति कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी

परिणाम: A की दो जीत और एक हार है, जबकि किसी अन्य उम्मीदवार की जीत हार से अधिक नहीं है। इस प्रकार, ए कोपलैंड विजेता चुना गया है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन

अब, मान लें कि सभी मतदाता ए और डी के क्रम को बदले बिना डी को बी और सी से ऊपर उठा देंगे। मतदाताओं की प्राथमिकताएँ अब होंगी:

# of voters	Preferences
1	A > D > B > C
1	A > D > C > B
2	D > B > A > C
2	D > C > A > B

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:

Pairwise Preferences
		X
		A	B	C	D
Y	A		[X] 2 [Y] 4	[X] 2 [Y] 4	[X] 4 [Y] 2
	B	[X] 4 [Y] 2		[X] 3 [Y] 3	[X] 6 [Y] 0
	C	[X] 4 [Y] 2	[X] 3 [Y] 3		[X] 6 [Y] 0
	D	[X] 2 [Y] 4	[X] 0 [Y] 6	[X] 0 [Y] 6
Pairwise election results (won-tied-lost):		2-0-1	0-1-2	0-1-2	3-0-0

परिणाम: D ने तीनों विरोधियों पर जीत हासिल की। इस प्रकार, डी कोपलैंड विजेता चुना गया है।

निष्कर्ष

मतदाताओं ने केवल बी, सी और डी पर अपना वरीयता क्रम बदल दिया। परिणामस्वरूप, डी और ए का परिणाम क्रम बदल गया। ए के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना ए विजेता से हारे हुए में बदल गया। इस प्रकार, कोपलैंड की पद्धति आईआईए मानदंड में विफल रहती है।

त्वरित-अपवाह मतदान

त्वरित-अपवाह मतदान|तत्काल-अपवाह चुनाव में, 5 मतदाता 3 विकल्पों को रैंक करते हैं [ए, बी, सी]।

2 मतदाता रैंक [ए>बी>सी]। 2 मतदाता रैंक [सी>बी>ए]। 1 मतदाता रैंक [बी>ए>सी]।

राउंड 1: ए=2, बी=1, सी=2; बी हटा दिया गया. राउंड 2: ए=3, सी=2; ए जीतता है.

अब, दो मतदाता जो रैंक [सी>बी>ए] के बजाय रैंक करते हैं [बी>सी>ए]। वे केवल B और C पर अपनी प्राथमिकताएँ बदलते हैं।

राउंड 1: ए=2, बी=3, सी=0; बी बहुमत से जीतता है।

[ए, बी] की सामाजिक पसंद रैंकिंग अप्रासंगिक विकल्पों [बी, सी] पर प्राथमिकताओं पर निर्भर है।

केमेनी-युवा विधि

यह उदाहरण दिखाता है कि केमेनी-यंग पद्धति आईआईए मानदंड का उल्लंघन करती है। 7 मतदाताओं और निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले तीन उम्मीदवारों ए, बी और सी पर विचार करें:

# of voters	Preferences
3	A > B > C
2	B > C > A
2	C > A > B

केमेनी-यंग विधि जोड़ीवार तुलना गणनाओं को निम्नलिखित मिलान तालिका में व्यवस्थित करती है:

All possible pairs of choice names		Number of votes with indicated preference
All possible pairs of choice names		Prefer X over Y	Equal preference	Prefer Y over X
X = A	Y = B	5	0	2
X = A	Y = C	3	0	4
X = B	Y = C	5	0	2

सभी संभावित रैंकिंग के रैंकिंग स्कोर हैं:

Preferences	1. vs 2.	1. vs 3.	2. vs 3.	Total
A > B > C	5	3	5	13
A > C > B	3	5	2	10
B > A > C	2	5	3	10
B > C > A	5	2	4	11
C > A > B	4	2	5	11
C > B > A	2	4	2	8

परिणाम: रैंकिंग ए > बी > सी का रैंकिंग स्कोर उच्चतम है। इस प्रकार, A, B और C से आगे जीत जाता है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन

अब, मान लें कि B > C > A वरीयता वाले दो मतदाता (बोल्ड चिह्नित) जोड़ी B और C की तुलना में अपनी प्राथमिकताएँ बदल देंगे। तब मतदाताओं की प्राथमिकताएँ कुल मिलाकर होंगी:

# of voters	Preferences
3	A > B > C
2	C > B > A
2	C > A > B

केमेनी-यंग विधि जोड़ीवार तुलना गणनाओं को निम्नलिखित मिलान तालिका में व्यवस्थित करती है:

All possible pairs of choice names		Number of votes with indicated preference
All possible pairs of choice names		Prefer X over Y	Equal preference	Prefer Y over X
X = A	Y = B	5	0	2
X = A	Y = C	3	0	4
X = B	Y = C	3	0	4

सभी संभावित रैंकिंग के रैंकिंग स्कोर हैं:

Preferences	1. vs 2.	1. vs 3.	2. vs 3.	Total
A > B > C	5	3	3	11
A > C > B	3	5	4	12
B > A > C	2	3	3	8
B > C > A	3	2	4	9
C > A > B	4	4	5	13
C > B > A	4	4	2	10

परिणाम: रैंकिंग C > A > B का रैंकिंग स्कोर उच्चतम है। इस प्रकार, C, A और B से आगे जीत जाता है।

निष्कर्ष

दो मतदाताओं ने केवल बी और सी पर अपनी प्राथमिकताएं बदलीं, लेकिन इसके परिणामस्वरूप परिणाम में ए और सी का क्रम बदल गया, ए के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना ए विजेता से हार गया। इस प्रकार, केमेनी -यंग विधि आईआईए मानदंड में विफल रहती है।

मिनिमैक्स

यह उदाहरण दिखाता है कि मिनिमैक्स विधि IIA मानदंड का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले चार उम्मीदवारों ए, बी और सी और 13 मतदाताओं को मान लें:

# of voters	Preferences
2	B > A > C
4	A > B > C
3	B > C > A
4	C > A > B

चूँकि सभी प्राथमिकताएँ सख्त रैंकिंग हैं (कोई समान मौजूद नहीं है), सभी तीन मिनिमैक्स विधियाँ (जीतने वाले वोट, मार्जिन और जोड़ीवार विपरीत) समान विजेताओं का चुनाव करती हैं।

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:

Pairwise election results
		X
		A	B	C
Y	A		[X] 5 [Y] 8	[X] 7 [Y] 6
	B	[X] 8 [Y] 5		[X] 4 [Y] 9
	C	[X] 6 [Y] 7	[X] 9 [Y] 4
Pairwise election results (won-tied-lost):		1-0-1	1-0-1	1-0-1
worst pairwise defeat (winning votes):		7	8	9
worst pairwise defeat (margins):		1	3	5
worst pairwise opposition:		7	8	9

[एक्स] उन मतदाताओं को इंगित करता है जिन्होंने पंक्ति कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में कॉलम कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी
[Y] उन मतदाताओं को इंगित करता है जिन्होंने कॉलम कैप्शन में दिए गए उम्मीदवार की तुलना में पंक्ति कैप्शन में उम्मीदवार को प्राथमिकता दी

परिणाम: A की निकटतम सबसे बड़ी हार है। इस प्रकार, ए को मिनिमैक्स विजेता चुना गया है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन

अब, मान लें कि दो मतदाताओं (बोल्ड के रूप में चिह्नित) की प्राथमिकताएं B > A > C जोड़ी A और C की तुलना में प्राथमिकताओं को बदल देती हैं। तब मतदाताओं की प्राथमिकताएं कुल मिलाकर होंगी:

# of voters	Preferences
4	A > B > C
5	B > C > A
4	C > A > B

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:

Pairwise election results
		X
		A	B	C
Y	A		[X] 5 [Y] 8	[X] 9 [Y] 4
	B	[X] 8 [Y] 5		[X] 4 [Y] 9
	C	[X] 4 [Y] 9	[X] 9 [Y] 4
Pairwise election results (won-tied-lost):		1-0-1	1-0-1	1-0-1
worst pairwise defeat (winning votes):		9	8	9
worst pairwise defeat (margins):		5	3	5
worst pairwise opposition:		9	8	9

परिणाम: अब, बी की निकटतम सबसे बड़ी हार है। इस प्रकार, बी मिनिमैक्स विजेता चुना गया है।

निष्कर्ष

अत: कुछ मतदाताओं की प्राथमिकताओं में ए और सी का क्रम बदलने से परिणाम में ए और बी का क्रम बदल गया। बी के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना बी को हारने वाले से विजेता में बदल दिया जाता है। इस प्रकार, मिनिमैक्स विधि आईआईए मानदंड में विफल रहती है।

बहुलता मतदान प्रणाली

बहुलता मतदान प्रणाली में 7 मतदाता 3 विकल्पों (ए, बी, सी) को रैंक करते हैं।

3 मतदाता रैंक (ए>बी>सी)
2 मतदाता रैंक (बी>ए>सी)
2 मतदाता रैंक (सी>बी>ए)

एक चुनाव में, शुरुआत में केवल A और B ही दौड़ते हैं: B, A के 3 वोटों के मुकाबले 4 वोटों से जीतता है, लेकिन दौड़ में C के प्रवेश से A नया विजेता बन जाता है।

एक अप्रासंगिक विकल्प, सी की शुरूआत से ए और बी की सापेक्ष स्थिति उलट जाती है।

रैंक किए गए जोड़े

यह उदाहरण दिखाता है कि रैंक किए गए जोड़े विधि IIA मानदंड का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले तीन उम्मीदवारों ए, बी और सी और 7 मतदाताओं को मान लें:

# of voters	Preferences
3	A > B > C
2	B > C > A
2	C > A > B

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:

Pairwise election results
		X
		A	B	C
Y	A		[X] 2 [Y] 5	[X] 4 [Y] 3
	B	[X] 5 [Y] 2		[X] 2 [Y] 5
	C	[X] 3 [Y] 4	[X] 5 [Y] 2
Pairwise election results (won-tied-lost):		1-0-1	1-0-1	1-0-1

जीतों की क्रमबद्ध सूची इस प्रकार होगी:

Pair	Winner
A (5) vs. B (2)	A 5
B (5) vs. C (2)	B 5
A (3) vs. C (4)	C 4

परिणाम: ए > बी और बी > सी लॉक हो गए हैं (और सी > ए उसके बाद लॉक नहीं हो सकते हैं), इसलिए पूरी रैंकिंग ए > बी > सी है। इस प्रकार, ए को रैंक वाले जोड़े का विजेता चुना गया है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन

अब, मान लें कि B > C > A वरीयता वाले दो मतदाता (बोल्ड चिह्नित) जोड़ी B और C की तुलना में अपनी प्राथमिकताएँ बदल देते हैं। तब मतदाताओं की प्राथमिकताएँ कुल मिलाकर होंगी:

# of voters	Preferences
3	A > B > C
2	C > B > A
2	C > A > B

परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध होंगे:

Pairwise election results
		X
		A	B	C
Y	A		[X] 2 [Y] 5	[X] 4 [Y] 3
	B	[X] 5 [Y] 2		[X] 4 [Y] 3
	C	[X] 3 [Y] 4	[X] 3 [Y] 4
Pairwise election results (won-tied-lost):		1-0-1	0-0-2	2-0-0

जीतों की क्रमबद्ध सूची इस प्रकार होगी:

Pair	Winner
A (5) vs. B (2)	A 5
B (3) vs. C (4)	C 4
A (3) vs. C (4)	C 4

परिणाम: सभी तीन द्वंद्व लॉक हो गए हैं, इसलिए पूरी रैंकिंग सी > ए > बी है। इस प्रकार, कॉन्डोर्सेट विजेता सी को रैंक जोड़ी विजेता चुना जाता है।

निष्कर्ष

इसलिए, बी और सी पर अपनी प्राथमिकताएं बदलकर, दो मतदाताओं ने परिणाम में ए और सी का क्रम बदल दिया, जिससे ए के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना ए विजेता से हार गया। इस प्रकार, रैंक जोड़े विधि विफल हो जाती है आईआईए मानदंड।

शुल्ज़ विधि

यह उदाहरण दिखाता है कि शुल्ज़ पद्धति IIA मानदंड का उल्लंघन करती है। निम्नलिखित प्राथमिकताओं वाले चार उम्मीदवारों ए, बी, सी और डी और 12 मतदाताओं को मान लें:

# of voters	Preferences
4	A > B > C > D
2	C > B > D > A
3	C > D > A > B
2	D > A > B > C
1	D > B > C > A

जोड़ीवार प्राथमिकताओं को निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जाएगा:

Matrix of pairwise preferences
	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]
d[A,*]		9	6	4
d[B,*]	3		7	6
d[C,*]	6	5		9
d[D,*]	8	6	3

अब, सबसे मजबूत रास्तों की पहचान करनी होगी, उदा. पथ D > A > B सीधे पथ D > B से अधिक मजबूत है (जो रद्द कर दिया गया है, क्योंकि यह एक टाई है)।

Strengths of the strongest paths
	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]
d[A,*]		9	7	7
d[B,*]	7		7	7
d[C,*]	8	8		9
d[D,*]	8	8	7

परिणाम: पूरी रैंकिंग सी > डी > ए > बी है। इस प्रकार, सी को शुल्ज़ विजेता चुना गया है और डी को ए पर प्राथमिकता दी गई है।

अप्रासंगिक प्राथमिकताओं का परिवर्तन

अब, मान लें कि C > B > D > A वरीयता वाले दो मतदाता (बोल्ड चिह्नित) जोड़ी B और C की तुलना में अपनी प्राथमिकताएँ बदल देते हैं। तब मतदाताओं की प्राथमिकताएँ कुल मिलाकर होंगी:

# of voters	Preferences
4	A > B > C > D
2	B > C > D > A
3	C > D > A > B
2	D > A > B > C
1	D > B > C > A

इसलिए, जोड़ीवार प्राथमिकताओं को निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जाएगा:

Matrix of pairwise preferences
	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]
d[A,*]		9	6	4
d[B,*]	3		9	6
d[C,*]	6	3		9
d[D,*]	8	6	3

अब, सबसे मजबूत रास्तों की पहचान करनी होगी:

Strengths of the strongest paths
	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]
d[A,*]		9	9	9
d[B,*]	8		9	9
d[C,*]	8	8		9
d[D,*]	8	8	8

परिणाम: अब, पूरी रैंकिंग ए > बी > सी > डी है। इस प्रकार, ए को शुल्ज़ विजेता चुना गया है और उसे डी पर प्राथमिकता दी गई है।

निष्कर्ष

इसलिए, बी और सी पर अपनी प्राथमिकताएं बदलकर, दो मतदाताओं ने परिणाम में ए और डी का क्रम बदल दिया, जिससे ए के संबंध में मतदाताओं की प्राथमिकताओं में कोई बदलाव किए बिना ए हारे हुए से विजेता बन गया। इस प्रकार, शुल्ज़ पद्धति आईआईए को विफल कर देती है। कसौटी.

दो-चरण प्रणाली

इस कसौटी पर विफल रहने वाली दो दौर की प्रणाली का एक संभावित उदाहरण 2002 का फ्रांसीसी राष्ट्रपति चुनाव था। चुनाव से पहले के सर्वेक्षणों में केंद्र-दक्षिणपंथी उम्मीदवार जैक्स शिराक और केंद्र-वामपंथी उम्मीदवार लियोनेल जोस्पिन के बीच प्रतिस्पर्धा का सुझाव दिया गया है, जिसमें जोस्पिन के जीतने की उम्मीद है। हालाँकि, पहले दौर में अभूतपूर्व 16 उम्मीदवारों ने चुनाव लड़ा था, जिनमें वामपंथी उम्मीदवार भी शामिल थे, जो अपवाह में जोस्पिन का समर्थन करना चाहते थे, जिसके परिणामस्वरूप अंततः दूर-दराज़ उम्मीदवार, जीन मैरी ले पेन दूसरे स्थान पर रहे और इसके बजाय अपवाह में प्रवेश किया। जोस्पिन, जिसे शिराक ने बड़े अंतर से जीता। इस प्रकार, चुनाव में जीतने का इरादा नहीं रखने वाले कई उम्मीदवारों की उपस्थिति ने यह बदल दिया कि कौन सा उम्मीदवार जीता।

आईआईए धारणा की आलोचना

आईआईए का तात्पर्य है कि किसी अन्य विकल्प को जोड़ने या तीसरे विकल्प की विशेषताओं को बदलने से विचार किए गए दो विकल्पों के बीच सापेक्ष अंतर प्रभावित नहीं होता है। समान विकल्पों वाले अनुप्रयोगों के लिए यह निहितार्थ यथार्थवादी नहीं है।

डैनियल मैकफैडेन के कारण रेड बस/ब्लू बस उदाहरण पर विचार करें।^[10] यात्री जॉन डो को कार या लाल बस लेने के बीच निर्णय का सामना करना पड़ता है। मान लीजिए कि वह किसी दिए गए दिन (मौसम या सनक के कारण) समान संभावना के साथ इन दो विकल्पों में से एक को चुनता है। कार और लाल बस के बीच अंतर अनुपात 1:1 के बराबर होता है। अब तीसरा विकल्प जोड़ें: नीली बस। यदि डो को बस के रंग की परवाह नहीं है, तो हम उम्मीद करेंगे कि कार की संभावना .5 रहेगी, जबकि दोनों प्रकार की बसों में से प्रत्येक की संभावना 0.25 होगी। लेकिन आईआईए इसे खारिज करता है। इसमें कहा गया है कि नई पसंद से कार और लाल बस के बीच 1:1 के अंतर अनुपात में बदलाव नहीं होना चाहिए। चूँकि रंग के प्रति डो की उदासीनता के लिए लाल और नीली बस की संभावनाएँ बराबर होनी आवश्यक हैं, इसलिए नई संभावनाएँ होनी चाहिए: कार 0.33, लाल बस 0.33, नीली बस 0.33।^[11] कार यात्रा की कुल संभावना .5 से गिरकर .33 हो गई है, जो बेतुका है। आईआईए सिद्धांत के साथ समस्या यह है कि इसमें इस तथ्य पर कोई ध्यान नहीं दिया गया है कि लाल बस और नीली बस सही विकल्प हैं।^[12] इस धारणा की विफलता व्यवहार में भी देखी गई है, उदाहरण के लिए यूनाइटेड किंगडम में 2019 के यूरोपीय चुनावों के लिए जनमत सर्वेक्षण में। एक सर्वेक्षण में, 21% संभावित मतदाताओं ने उस परिदृश्य में लेबर पार्टी के लिए समर्थन व्यक्त किया जहां चुनने के लिए तीन छोटी ब्रेक्सिट विरोधी पार्टियां थीं, लेकिन ऐसे परिदृश्य में जहां उन तीन पार्टियों में से दो ने उम्मीदवार खड़े नहीं किए, लेबर के लिए समर्थन घटकर 18% रह गया।^[13] इसका मतलब यह है कि कम से कम 3% संभावित मतदाताओं ने अपनी पसंदीदा पार्टी का समर्थन करना बंद कर दिया जब एक कम पसंदीदा पार्टी बाहर हो गई।

अर्थमिति में

आईआईए अर्थमिति में बहुपद लॉगिट और सशर्त लॉगिट मॉडल में अंतर्निहित मान्यताओं का प्रत्यक्ष परिणाम है। यदि इन मॉडलों का उपयोग उन स्थितियों में किया जाता है जो वास्तव में स्वतंत्रता का उल्लंघन करती हैं (जैसे कि बहुउम्मीदवार चुनाव जिसमें प्राथमिकताएँ मतदान विरोधाभास प्रदर्शित करती हैं या ऊपर दिए गए रेड बस/ब्लू बस उदाहरण की नकल करने वाली स्थितियाँ) तो ये अनुमानक अमान्य हो जाते हैं।

कई मॉडलिंग प्रगति आईआईए द्वारा उठाई गई चिंताओं को कम करने की इच्छा से प्रेरित हुई हैं। सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण,^[14] बहुपदीय संभावना (जिसे सशर्त प्रोबिट भी कहा जाता है) और मिश्रित लॉगिट नाममात्र परिणामों के लिए मॉडल हैं जो आईआईए को आराम देते हैं, लेकिन अक्सर उनकी अपनी धारणाएं होती हैं जिन्हें पूरा करना मुश्किल हो सकता है या कम्प्यूटेशनल रूप से व्यवहार्य नहीं हो सकता है। IIA को एक पदानुक्रमित मॉडल निर्दिष्ट करके, पसंद के विकल्पों की रैंकिंग करके आराम दिया जा सकता है। इनमें से सबसे लोकप्रिय नेस्टेड लॉगिट मॉडल है।^[15] सामान्यीकृत चरम मूल्य और बहुपद प्रोबिट मॉडल में एक और संपत्ति होती है, प्रतिस्थापन का अपरिवर्तनीय अनुपात,^[16] जो समान रूप से प्रति-सहज ज्ञान युक्त व्यक्तिगत पसंद व्यवहार का सुझाव देता है।

अनिश्चितता के तहत विकल्प

वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय के अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत में#स्वयंसिद्ध, चार स्वयंसिद्धों का एक साथ तात्पर्य यह है कि व्यक्ति जोखिम की स्थितियों में ऐसे कार्य करते हैं जैसे कि वे उपयोगिता फ़ंक्शन के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करते हैं। स्वयंसिद्धों में से एक IIA स्वयंसिद्ध के अनुरूप एक स्वतंत्रता स्वयंसिद्ध है:

अगर

\,L\prec M

, फिर किसी के लिए

\,N

और

\,p\in (0,1]

,

\,pL+(1-p)N\prec pM+(1-p)N,

जहां p एक प्रायिकता है, pL+(1-p)N का अर्थ है एक जुआ जिसमें L प्राप्त करने की प्रायिकता p और N प्राप्त करने की प्रायिकता (1-p) है, और $\,L\prec M$ इसका मतलब है कि एम को एल से अधिक प्राथमिकता दी जाती है। यह सिद्धांत कहता है कि यदि एक परिणाम (या लॉटरी टिकट) एल को दूसरे (एम) जितना अच्छा नहीं माना जाता है, तो एन के बजाय एल प्राप्त करने की संभावना पी के साथ मौका माना जाता है। एन के बजाय एम प्राप्त करने की संभावना पी के साथ मौका मिलना उतना अच्छा नहीं होगा।

प्रकृति में

जनवरी 2014 में प्रकाशित एक अध्ययन के अनुसार, प्राकृतिक चयन जानवरों की गैर-आईआईए-प्रकार की पसंद का पक्ष ले सकता है, जो कि खाद्य पदार्थों की कभी-कभार उपलब्धता के कारण माना जाता है।^[17]

यह भी देखें

स्मिथ-प्रभुत्व वाले विकल्पों की स्वतंत्रता
लूस की पसंद का सिद्धांत
निश्चित बात सिद्धांत
मेनू निर्भरता
- धोखा प्रभाव
- अनुमानित रूप से अतार्किक#सापेक्षता के बारे में सच्चाई

फ़ुटनोट

↑ Saari, Donald G. (2001). Decisions and elections : explaining the unexpected (1. publ. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. pp. 39. ISBN 0-521-00404-7.
↑ Sen, 1970, page 17.
↑ Arrow 1963, p. 28.
↑ Richard H.; Diener, Ed; Wedell, Douglas H. (1989). "Intrapersonal and Social Comparison Determinants of Happiness: A Range-Frequency Analysis". Journal of Personality and Social Psychology. 56 (3): 317–325. doi:10.1037/0022-3514.56.3.317. PMID 2926632.
↑ Van de Stadt, Huib; Kapteyn, Arie; van de Geer, Sara (1985). "The relativity of utility: evidence from panel data". Review of Economics and Statistics. 57 (2): 179–187.
↑ Young, H. Peyton (1995). Equity: In Theory and Practice. Princeton University Press. ISBN 0-691-04464-3.
↑ Arrow 1951, pp. 15, 23, 27.
↑ More formally, an aggregation rule (social welfare function) f is pairwise independent if for any profiles $p=(R_{1},\ldots ,R_{n})$ , $p'=(R'_{1},\ldots ,R'_{n})$ of preferences and for any alternatives x, y, if $R_{i}\cap \{x,y\}^{2}=R'_{i}\cap \{x,y\}^{2}$ for all i, then $f(p)\cap \{x,y\}^{2}=f(p')\cap \{x,y\}^{2}$ . This is the definition of Arrow's IIA adopted in the context of Arrow's theorem in most textbooks and surveys (Austen-Smith and Banks, 1999, page 27; Campbell and Kelly, 2002, in Handbook of SCW, page 43; Feldman and Serrano, 2005, Section 13.3.5; Gaertner, 2009, page 20; Mas-Colell, Whinston, Green, 1995, page 794; Nitzan, 2010, page 40; Tayor, 2005, page 18; see also Arrow, 1963, page 28 and Sen, 1970, page 37). This formulation does not consider addition or deletion of options, since the set of options is fixed, and this is a condition involving two profiles.
↑ Ray 1973.
↑ Daniel McFadden (1974) "Conditional Logit Analysis of Qualitative Choice Behavior,” in Frontiers in Econometrics, Paul Zarembka, ed. Newark: Academic Press, pp. 105–142.
↑ Wooldridge 2002, pp. 501-502.
↑ The Red Bus/Blue Bus example has become the best known, but earlier examples include the Beethoven/Debussy example in Gerard Debreu (1960) "Individual Choice Behavior: A Theoretical Analysis by R. Duncan Luce" (review), The American Economic Review, Vol. 50, No. 1, pp. 186-188; and the Bicycle/Pony example (which the authors attribute to a personal communication from Leonard Savage) in R. Duncan Luce & Patrick Suppes, (1965). "Preference, Utility, and Subjective Probability", in R. D. Luce, R. R. Bush, & E. Galanter (eds.) Handbook of Mathematical Psychology, Vol. III. New York: Wiley. pp. 252-410, at p. 334.
↑ Smith, Matthew. "How might a Green-Lib Dem-Change UK pact have done at the EU elections?". YouGov. Retrieved 10 May 2019.
↑ McFadden 1978
↑ McFadden 1984
↑ Steenburgh 2008
↑ McNamara, J. M.; Trimmer, P. C.; Houston, A. I. (2014). "प्राकृतिक चयन 'तर्कहीन' व्यवहार का पक्ष ले सकता है" (PDF). Biology Letters. 10 (1): 20130935. doi:10.1098/rsbl.2013.0935. PMC 3917337. PMID 24429682. Archived from the original on 2014-11-08.{{cite journal}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

संदर्भ

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Arrow, Kenneth Joseph (1963). Social Choice and Individual Values (2nd ed.). Wiley.
Kennedy, Peter (2003). A Guide to Econometrics (5th ed.). MIT Press. ISBN 978-0-262-61183-1.
Maddala, G. S. (1983). Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-78241-9.
Ray, Paramesh (1973). "Independence from Irrelevant Alternatives". Econometrica. 41 (5): 987–991. doi:10.2307/1913820. JSTOR 1913820. Discusses and deduces the not always recognized differences between various formulations of IIA.

अग्रिम पठन

Callander, Steven; Wilson, Catherine H. (July 2006). "Context-dependent voting". Quarterly Journal of Political Science. Now Publishing Inc. 1 (3): 227–254. doi:10.1561/100.00000007.
Steenburgh, Thomas J. (2008). "The Invariant Proportion of Substitution Property (IPS) of Discrete-Choice Models" (PDF). Marketing Science. 27 (2): 300–307. doi:10.1287/mksc.1070.0301. S2CID 207229327. Archived from the original (PDF) on 2010-06-15.

[1] Saari, Donald G. (2001). Decisions and elections : explaining the unexpected (1. publ. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. pp. 39. ISBN 0-521-00404-7.

[2] Sen, 1970, page 17.

[FOOTNOTEArrow196328-3] Arrow 1963, p. 28.

[4] Richard H.; Diener, Ed; Wedell, Douglas H. (1989). "Intrapersonal and Social Comparison Determinants of Happiness: A Range-Frequency Analysis". Journal of Personality and Social Psychology. 56 (3): 317–325. doi:10.1037/0022-3514.56.3.317. PMID 2926632.

[5] Van de Stadt, Huib; Kapteyn, Arie; van de Geer, Sara (1985). "The relativity of utility: evidence from panel data". Review of Economics and Statistics. 57 (2): 179–187.

[Young1995-6] Young, H. Peyton (1995). Equity: In Theory and Practice. Princeton University Press. ISBN 0-691-04464-3.

[FOOTNOTEArrow195115,_23,_27-7] Arrow 1951, pp. 15, 23, 27.

[8] More formally, an aggregation rule (social welfare function) f is pairwise independent if for any profiles $p=(R_{1},\ldots ,R_{n})$ , $p'=(R'_{1},\ldots ,R'_{n})$ of preferences and for any alternatives x, y, if $R_{i}\cap \{x,y\}^{2}=R'_{i}\cap \{x,y\}^{2}$ for all i, then $f(p)\cap \{x,y\}^{2}=f(p')\cap \{x,y\}^{2}$ . This is the definition of Arrow's IIA adopted in the context of Arrow's theorem in most textbooks and surveys (Austen-Smith and Banks, 1999, page 27; Campbell and Kelly, 2002, in Handbook of SCW, page 43; Feldman and Serrano, 2005, Section 13.3.5; Gaertner, 2009, page 20; Mas-Colell, Whinston, Green, 1995, page 794; Nitzan, 2010, page 40; Tayor, 2005, page 18; see also Arrow, 1963, page 28 and Sen, 1970, page 37). This formulation does not consider addition or deletion of options, since the set of options is fixed, and this is a condition involving two profiles.

[FOOTNOTERay1973-9] Ray 1973.

[10] Daniel McFadden (1974) "Conditional Logit Analysis of Qualitative Choice Behavior,” in Frontiers in Econometrics, Paul Zarembka, ed. Newark: Academic Press, pp. 105–142.

[11] Wooldridge 2002, pp. 501-502.

[12] The Red Bus/Blue Bus example has become the best known, but earlier examples include the Beethoven/Debussy example in Gerard Debreu (1960) "Individual Choice Behavior: A Theoretical Analysis by R. Duncan Luce" (review), The American Economic Review, Vol. 50, No. 1, pp. 186-188; and the Bicycle/Pony example (which the authors attribute to a personal communication from Leonard Savage) in R. Duncan Luce & Patrick Suppes, (1965). "Preference, Utility, and Subjective Probability", in R. D. Luce, R. R. Bush, & E. Galanter (eds.) Handbook of Mathematical Psychology, Vol. III. New York: Wiley. pp. 252-410, at p. 334.

[13] Smith, Matthew. "How might a Green-Lib Dem-Change UK pact have done at the EU elections?". YouGov. Retrieved 10 May 2019.

[14] McFadden 1978

[15] McFadden 1984

[16] Steenburgh 2008

[McNamaraTrimmer2014-17] McNamara, J. M.; Trimmer, P. C.; Houston, A. I. (2014). "प्राकृतिक चयन 'तर्कहीन' व्यवहार का पक्ष ले सकता है" (PDF). Biology Letters. 10 (1): 20130935. doi:10.1098/rsbl.2013.0935. PMC 3917337. PMID 24429682. Archived from the original on 2014-11-08.{{cite journal}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

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