रैखिक सातत्य

क्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, सातत्य या रैखिक सातत्य वास्तविक रेखा का सामान्यीकरण है।

औपचारिक रूप से, रैखिक सातत्य से अधिक तत्वों का रैखिक रूप से क्रमित सबसेट एस है जो सघन क्रम है, अर्थात, किन्हीं दो अलग-अलग तत्वों के बीच और (और इसलिए अनंत रूप से कई अन्य) और पूर्णता (आदेश सिद्धांत) है। यानी, जिसमें इस अर्थ में अंतराल का अभाव है कि ऊपरी सीमा वाले प्रत्येक खाली सेट उपसमुच्चय में कम से कम ऊपरी सीमा होती है। अधिक प्रतीकात्मक रूप से:

1. S के पास सबसे कम ऊपरी सीमा वाली संपत्ति है, और
2. S में प्रत्येक x और S में x < y के साथ प्रत्येक y के लिए, S में z इस प्रकार मौजूद है कि x < z < y

एक सेट (गणित) में सबसे कम ऊपरी सीमा वाली संपत्ति होती है, यदि सेट के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय जो कि ऊपर से घिरा हुआ है, सेट में कम से कम ऊपरी सीमा है। रैखिक सातत्य टोपोलॉजी के क्षेत्र में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं जहां उनका उपयोग यह सत्यापित करने के लिए किया जा सकता है कि ऑर्डर टोपोलॉजी को दिया गया कुल ऑर्डर जुड़ा हुआ स्थान है या नहीं। मानक वास्तविक रेखा के विपरीत, रैखिक सातत्य दोनों ओर से घिरा हो सकता है: उदाहरण के लिए, कोई भी (वास्तविक) बंद अंतराल रैखिक सातत्य है।

उदाहरण

• वास्तविक संख्याओं का क्रमबद्ध सेट, आर, अपने सामान्य कुल क्रम के साथ रैखिक सातत्य है, और आदर्श उदाहरण है। संपत्ति बी) तुच्छ है, और संपत्ति ए) केवल पूर्णता सिद्धांत का सुधार है।

वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त उदाहरण:

• सेट जो वास्तविक संख्याओं के सेट के लिए आदेश समरूपता | ऑर्डर-आइसोमोर्फिक हैं, उदाहरण के लिए वास्तविक खुला अंतराल, और आधे खुले अंतराल के साथ समान (ध्यान दें कि ये उपर्युक्त अर्थ में अंतराल नहीं हैं)
• स्पष्ट रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली और ऑर्डर-आइसोमोर्फिक सेट, उदाहरण के लिए इकाई अंतराल
• वास्तविक संख्याओं का सेट जिसमें केवल +∞ या केवल −∞ जोड़ा गया हो, और ऑर्डर-आइसोमोर्फिक सेट, उदाहरण के लिए आधा खुला अंतराल
• लंबी लाइन (टोपोलॉजी)
• सेट I × I (जहां × कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है और I = [0, 1]) शब्दावली क्रम में रैखिक सातत्य है। संपत्ति बी) तुच्छ है. संपत्ति a) की जांच करने के लिए, हम मानचित्र, π को परिभाषित करते हैं₁ : I × I → I द्वारा

  π₁ (एक्स, वाई) = एक्स

  इस मानचित्र को प्रक्षेपण मानचित्र के नाम से जाना जाता है। प्रक्षेपण मानचित्र सतत कार्य (टोपोलॉजी) है (I × I पर उत्पाद टोपोलॉजी के संबंध में) और विशेषण है। मान लीजिए A, I × I का अरिक्त उपसमुच्चय है जो ऊपर परिबद्ध है। π पर विचार करें₁(ए)। चूँकि A ऊपर से घिरा है, π₁(ए) भी ऊपर से घिरा होना चाहिए। चूँकि, π₁(ए) I का उपसमुच्चय है, इसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा होनी चाहिए (क्योंकि I के पास न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली संपत्ति है)। इसलिए, हम b को π की सबसे छोटी ऊपरी सीमा मान सकते हैं₁(ए)। यदि b, π से संबंधित है₁(ए), तो बी × आई कुछ सी ∈ आई के लिए ए को बी × सी पर काटेगा। ध्यान दें कि चूंकि बी × आई में आई का समान ऑर्डर प्रकार है, इसलिए सेट (बी × आई) ∩ ए में वास्तव में न्यूनतम होगा ऊपरी सीमा b × c', जो A के लिए वांछित न्यूनतम ऊपरी सीमा है।

  यदि b, π से संबंधित नहीं है₁(ए), तो बी × 0 ए की सबसे छोटी ऊपरी सीमा है, यदि डी < बी, और डी × ई ए की ऊपरी सीमा है, तो डी π की छोटी ऊपरी सीमा होगी₁(ए) बी की तुलना में, बी की अनूठी संपत्ति का खंडन करता है।

गैर-उदाहरण

• परिमेय संख्याओं का क्रमित समुच्चय Q रैखिक सातत्य नहीं है। भले ही संपत्ति बी) संतुष्ट है, संपत्ति ए) संतुष्ट नहीं है। उपसमुच्चय पर विचार करें

ए = {एक्स ∈ क्यू | एक्स < √2}

परिमेय संख्याओं के समुच्चय का। भले ही यह समुच्चय ऊपर किसी भी बड़ी परिमेय संख्या से घिरा हो √2 (उदाहरण के लिए 3), परिमेय संख्याओं में इसकी कोई न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं है। (विशेष रूप से, किसी तर्कसंगत ऊपरी सीमा r > के लिए √2, r/2 + 1/r निकटतम तर्कसंगत ऊपरी सीमा है; विवरण पर Methods of computing square roots § Heron's method.)

• अपने सामान्य क्रम के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का क्रमबद्ध सेट रैखिक सातत्य नहीं है। संपत्ति ए) संतुष्ट है (मान लीजिए कि ए गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के सेट का उपसमुच्चय है जो ऊपर घिरा हुआ है। फिर ए परिमित सेट है इसलिए इसमें अधिकतम है, और यह अधिकतम ए की वांछित न्यूनतम ऊपरी सीमा है)। दूसरी ओर, संपत्ति बी) नहीं है। दरअसल, 5 गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और इसी तरह 6 भी है, लेकिन कोई भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मौजूद नहीं है जो पूरी तरह से उनके बीच स्थित हो।
• अशून्य वास्तविक संख्याओं का क्रमबद्ध सेट ए

ए = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

एक रैखिक सातत्य नहीं है. संपत्ति बी) तुच्छ रूप से संतुष्ट है। हालाँकि, यदि B ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है:

बी = (−∞, 0)

तब B, A का उपसमुच्चय है जो ऊपर (0 से अधिक A के किसी भी तत्व द्वारा; उदाहरण के लिए 1) से घिरा हुआ है, लेकिन B में कोई न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं है। ध्यान दें कि 0, B के लिए कोई सीमा नहीं है क्योंकि 0 नहीं है ए का तत्व

• मान लीजिए 'Z'₋ ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को निरूपित करें और मान लें कि A = (0, 5) ∪ (5, +∞). होने देना

एस = 'जेड'₋ ∪ ए.

तब S न तो संपत्ति a) और न ही संपत्ति b) को संतुष्ट करता है। प्रमाण पिछले उदाहरणों के समान है।

सामयिक गुण

भले ही रैखिक सातत्य कुल क्रम के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं, लेकिन टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में उनका अनुप्रयोग होता है। वास्तव में, हम साबित करेंगे कि ऑर्डर टोपोलॉजी में ऑर्डर किया गया सेट कनेक्टेड स्पेस है यदि और केवल अगर यह रैखिक सातत्य है। हम निहितार्थ को सिद्ध करेंगे, और दूसरे को अभ्यास के रूप में छोड़ देंगे। (मुन्क्रेस प्रमाण के दूसरे भाग की व्याख्या करता है )

प्रमेय

मान लीजिए X ऑर्डर टोपोलॉजी में ऑर्डर किया गया सेट है। यदि X जुड़ा हुआ है, तो X रैखिक सातत्य है।

सबूत:

मान लीजिए कि x और y x < y के साथ X के तत्व हैं। यदि X में कोई z मौजूद नहीं है जैसे कि x < z < y, तो सेट पर विचार करें:

ए = (−∞, y)

बी = (एक्स, +∞)

ये सेट असंयुक्त सेट हैं (यदि ए ए में है, ए < वाई ताकि यदि ए बी में हो, ए > x और a < y जो परिकल्पना द्वारा असंभव है), गैर-रिक्त (x A में है और y में है) 'बी) और खुला सेट (ऑर्डर टोपोलॉजी में), और उनका संघ (सेट सिद्धांत) एक्स है। यह X की संबद्धता का खंडन करता है।

अब हम न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली संपत्ति सिद्ध करते हैं। यदि C X का उपसमुच्चय है जो ऊपर घिरा है और इसकी कोई न्यूनतम ऊपरी सीमा नहीं है, तो D फॉर्म के सभी ऑर्डर टोपोलॉजी का संघ है (b, + ∞) जहां b C के लिए ऊपरी सीमा है। फिर डी खुला है (क्योंकि यह खुले सेटों का संघ है), और बंद सेट (यदि ए डी में नहीं है, तो ए < बी सी की सभी ऊपरी सीमाओं बी के लिए ताकि हम क्यू > ए इस प्रकार चुन सकें कि क्यू सी में हो (यदि ऐसा नहीं है) 'q मौजूद है, a C की सबसे निचली ऊपरी सीमा है), फिर a युक्त ऑर्डर टोपोलॉजी चुनी जा सकती है जो D को नहीं काटती है)। चूंकि डी गैर-रिक्त है (डी की से अधिक ऊपरी सीमा है, यदि वास्तव में ऊपरी सीमा एस होती, तो एस सबसे कम ऊपरी सीमा होती। फिर यदि बी₁ और बी₂ बी के साथ डी की दो ऊपरी सीमाएँ हैं₁ <बी₂, बी₂ डी से संबंधित होगा), डी और इसके पूरक मिलकर एक्स पर अलग सेट बनाते हैं। यह एक्स की कनेक्टिविटी का खंडन करता है।

प्रमेय के अनुप्रयोग

1. चूँकि क्रमित समुच्चय A = (−∞, 0) U (0,+∞) रैखिक सातत्य नहीं है, इसलिए यह विच्छेदित है।
2. अभी सिद्ध प्रमेय को लागू करने पर यह तथ्य सामने आता है कि 'R' जुड़ा हुआ है। वास्तव में 'आर' में कोई अंतराल (गणित) (या किरण) भी जुड़ा हुआ है।
3. पूर्णांकों का समुच्चय रैखिक सातत्य नहीं है और इसलिए इसे जोड़ा नहीं जा सकता।
4. वास्तव में, यदि ऑर्डर टोपोलॉजी में ऑर्डर किया गया सेट रैखिक सातत्य है, तो इसे जुड़ा होना चाहिए। चूँकि इस सेट में कोई भी अंतराल रैखिक सातत्य है, इसलिए यह इस प्रकार है कि यह स्थान स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ स्थान है क्योंकि इसमें आधार (टोपोलॉजी) है जिसमें पूरी तरह से जुड़े हुए सेट शामिल हैं।
5. एक टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण के लिए जो रैखिक सातत्य है, लंबी लाइन (टोपोलॉजी) देखें।

यह भी देखें

• कैंटर-डेडेकाइंड स्वयंसिद्ध
• ऑर्डर टोपोलॉजी
• न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली संपत्ति
• कुल ऑर्डर