प्लांचरेल प्रमेय

गणित में, प्लांचरेल प्रमेय (कभी-कभी मार्क-एंटोनी पारसेवल पहचान कहा जाता है)) हार्मोनिक विश्लेषण का एक परिणाम है, जिसे 1910 में मिशेल प्लांचरेल द्वारा सिद्ध किया गया था। इसमें कहा गया है कि किसी फ़ंक्शन के वर्ग मापांक का अभिन्न अंग उसके आवृत्ति स्पेक्ट्रम के वर्ग मापांक के अभिन्न अंग के बराबर होता है। अर्थात यदि $f(x)$ वास्तविक रेखा पर एक फ़ंक्शन है, और ${\widehat {f}}(\xi )$ तो, इसका आवृत्ति स्पेक्ट्रम है

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi$

एक अधिक सटीक सूत्रीकरण यह है कि यदि कोई फ़ंक्शन दोनों एलपी स्पेस में है $L^{1}(\mathbb {R} )$ और $L^{2}(\mathbb {R} )$, तो इसका फूरियर रूपांतरण है $L^{2}(\mathbb {R} )$, और फूरियर ट्रांसफॉर्म मैप एल के संबंध में एक आइसोमेट्री है²मानदंड. इसका तात्पर्य यह है कि फूरियर रूपांतरण मानचित्र तक ही सीमित है $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ रैखिक सममितीय मानचित्र का एक अद्वितीय विस्तार है $L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )$, जिसे कभी-कभी प्लांचरेल ट्रांसफॉर्म भी कहा जाता है। यह आइसोमेट्री वास्तव में एक एकात्मक ऑपरेटर मानचित्र है। वास्तव में, इससे द्विघात रूप से एकीकृत कार्यों के फूरियर परिवर्तनों के बारे में बात करना संभव हो जाता है।

जैसा कि एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्थान पर कहा गया है, प्लैंचरेल का प्रमेय मान्य है $\mathbb {R} ^{n}$. यह प्रमेय आमतौर पर स्थानीय रूप से सघन एबेलियन समूहों में भी लागू होता है। प्लांचरेल प्रमेय का एक संस्करण भी है जो कुछ तकनीकी मान्यताओं को संतुष्ट करने वाले गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के लिए समझ में आता है। यह गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण का विषय है।

फूरियर रूपांतरण के एकात्मक परिवर्तन को अक्सर विज्ञान और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में पार्सेवल का प्रमेय कहा जाता है, जो पहले (लेकिन कम सामान्य) परिणाम पर आधारित था, जिसका उपयोग फूरियर श्रृंखला की एकात्मकता को साबित करने के लिए किया गया था।

ध्रुवीकरण पहचान के कारण, कोई प्लांचरेल के प्रमेय को एलपी स्पेस पर भी लागू कर सकता है$L^{2}(\mathbb {R} )$दो कार्यों का आंतरिक उत्पाद। अर्थात यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो हैं $L^{2}(\mathbb {R} )$ कार्य, और ${\mathcal {P}}$ तब प्लांचरेल परिवर्तन को दर्शाता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,$$

और अगर $f(x)$ और $g(x)$ इसके अलावा हैं $L^{1}(\mathbb {R} )$ तब कार्य करता है

$$({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

और

$$({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

इसलिए

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$

यह भी देखें

• गोलाकार कार्यों के लिए प्लांचरेल का प्रमेय

संदर्भ

• Plancherel, Michel (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877, S2CID 122509369.
• Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars.
• Yosida, K. (1968), Functional Analysis, Springer Verlag.

बाहरी संबंध

• "Plancherel theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Plancherel's Theorem on Mathworld