बॉर्न रूल

Not to be confused with Cauchy–Born rule or Born approximation.

बोर्न नियम क्वांटम यांत्रिकी का ऐसा सिद्धांत है जो यह संभावना देता है कि क्वांटम यांत्रिकी में माप से निश्चित परिणाम प्राप्त होगा। यह अपने सरलतम रूप में बताता है कि किसी दिए गए राज्य में प्रणाली की शोध की संभाव्यता घनत्व का जब माप होता है, तो वह उस राज्य में प्राणाली के तरंग फलन के आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है। इसे 1926 में जर्मन भौतिक विज्ञानी मैक्स बोर्न द्वारा तैयार किया गया था।

विवरण

बोर्न नियम में कहा गया है कि यदि स्व-सहायक ऑपरेटर के अनुरूप अवलोकन योग्य है असतत स्पेक्ट्रम वाले $A$ को सामान्यीकृत तरंग फलन वाले प्राणाली में मापा जाता है $|\psi \rangle$ (ब्रा-केट नोटेशन देखें), फिर:

• मापा गया परिणाम आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स में से एक होगा, $\lambda$ का $A$, एवं
• किसी दिए गए स्वदेशी मान को मापने की संभावना $\lambda _{i}$ के समान $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$ होगा, जहाँ $P_{i}$ के आइगेन पर $A$ तदनुसार $\lambda _{i}$ प्रक्षेपण है

(उस विषय में जहां का $A$ तदनुसार $\lambda _{i}$ आइगेनस्पेस आयामी है एवं सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर $|\lambda _{i}\rangle$ द्वारा विस्तृत किया गया है, $P_{i}$ के समान $|\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|$ है, तो संभावना $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$ के समान $\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle$ है। सम्मिश्र संख्या के पश्चात से $\langle \lambda _{i}|\psi \rangle$ संभाव्यता आयाम के रूप में जाना जाता है कि राज्य वेक्टर $|\psi \rangle$ आइगेनवेक्टर $|\lambda _{i}\rangle$ को असाइन करता है, बोर्न नियम का वर्णन यह कहते हुए करना आम है कि संभाव्यता आयाम-वर्ग के समान है (वास्तव में आयाम अपने स्वयं के जटिल संयुग्म का समय है)। समान रूप से, संभाव्यता को इस प्रकार ${\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}$लिखा जा सकता है।

ऐसे विषय में जहां का स्पेक्ट्रम $A$ पूर्ण रूप से असतत नहीं है, वर्णक्रमीय प्रमेय निश्चित प्रक्षेपण-मूल्य माप $Q$ के अस्तित्व का परिमाण देता है, $A$ का वर्णक्रमीय माप इस विषय में:

• संभावना है कि माप का परिणाम मापने योग्य समुच्च्य $M$ में निहित है जो $\langle \psi |Q(M)|\psi \rangle$ द्वारा दिया गया है।

तरंग फलन $\psi$ अंतरिक्ष स्थिति $(x,y,z)$ में एकल संरचनाहीन कण का तात्पर्य यह है कि संभाव्यता घनत्व फलन $p$ समय $t_{0}$ पर कणों की स्थिति की माप के लिए

$p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}$है।

कुछ अनुप्रयोगों में, बॉर्न नियम के इस उपचार को सकारात्मक-ऑपरेटर-मूल्यवान उपायों का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जाता है। पीओवीएम माप है जिसका मानहिल्बर्ट स्थान पर सकारात्मक अर्ध-निश्चित ऑपरेटर है। पीओवीएम वॉन न्यूमैन माप का सामान्यीकरण है एवं, तदनुसार, पीओवीएम द्वारा वर्णित क्वांटम माप स्व-सहायक वेधशालाओं द्वारा वर्णित क्वांटम माप का सामान्यीकरण है। सादृश्य में, पीओवीएम, पीवीएम के लिए वही है जो मिश्रित अवस्था शुद्ध अवस्था के लिए है। किसी बड़े प्राणाली के उपतंत्र की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए मिश्रित अवस्थाओं की आवश्यकता होती है (क्वांटम अवस्था की शुद्धि देखें); समान रूप से, पीओवीएम बड़े प्राणाली पर किए गए प्रोजेक्टिव माप के सबप्राणाली पर प्रभाव का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं। पीओवीएम क्वांटम यांत्रिकी में सबसे सामान्य प्रकार का माप है एवं इसका उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में भी किया जा सकता है। क्वांटम सूचना के क्षेत्र में इनका बड़े स्तर पर उपयोग किया जाता है।

सबसे सरल विषय में, परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले तत्वों की सीमित संख्या होती है, पीओवीएम सकारात्मक अर्ध निश्चित मैट्रिक्स का समुच्च्य है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स (गणित) $\{F_{i}\}$ हिल्बर्ट स्थान पर ${\mathcal {H}}$ जो कि पहचान मैट्रिक्स का योग,:

$\sum _{i=1}^{n}F_{i}=I$ है।

पीओवीएम तत्व $F_{i}$ माप परिणाम $i$ से जुड़ा है, जैसे कि क्वांटम अवस्था पर माप करते समय इसे प्राप्त करने की संभावना $\rho$ द्वारा दिया गया है:

$p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),$

जहाँ $\operatorname {tr}$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ऑपरेटर है। यह बोर्न नियम का पीओवीएम संस्करण है। जब मापी जा रही क्वांटम अवस्था शुद्ध अवस्था $|\psi \rangle$ होती है तो यह सूत्र कम हो जाता है:

$p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle ,$

बोर्न नियम, समय विकास संचालक के एकात्मक संचालक के साथ $e^{-i{\hat {H}}t}$ (या, समकक्ष, हैमिल्टनियन ${\hat {H}}$ हर्मिटियन मैट्रिक्स होने के नाते, सिद्धांत की इकाईत्व को प्रदर्शित करता है, जिसे निरंतरता के लिए आवश्यक माना जाता है। उदाहरण के लिए, एकात्मकता यह सुनिश्चित करती है कि सभी संभावित परिणामों की संभावनाओं का योग 1 हो, चूँकि यह इस विशेष आवश्यकता को प्राप्त करने के लिए एकमात्र विकल्प नहीं है।

इतिहास

बोर्न नियम 1926 के पेपर में बोर्न द्वारा तैयार किया गया था। इस पेपर में, बॉर्न प्रकीर्णन समस्या के लिए श्रोडिंगर समीकरण का निवारण करता है एवं, फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के लिए अल्बर्ट आइंस्टीन एवं आइंस्टीन के संभाव्य नियम से प्रेरित होकर, फ़ुटनोट में निष्कर्ष निकाला गया है कि बोर्न नियम समाधान की एकमात्र संभावित व्याख्या देता है। 1954 में, वाल्थर बोथे के साथ, बॉर्न को इस कार्य के लिए भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।जॉन वॉन न्यूमैन ने अपनी 1932 की पुस्तक में बॉर्न के नियम में वर्णक्रमीय सिद्धांत के अनुप्रयोग पर व्याख्या की है।

अधिक बुनियादी सिद्धांतों से व्युत्पत्ति

ग्लीसन के प्रमेय से पता चलता है कि बोर्न नियम को गैर-संदर्भ की धारणा के साथ क्वांटम भौतिकी में माप के सामान्य गणितीय प्रतिनिधित्व से प्राप्त किया जा सकता है। एंड्रयू एम. ग्लीसन ने प्रथम बार 1957 में प्रमेय सिद्ध किया, जोजॉर्ज डब्ल्यू मैके द्वारा पूछे गए प्रश्न से प्रेरितथा। यह प्रमेय ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण था क्योंकि इसने यह दिखाने में भूमिका निभाई कि लुप्त-चर सिद्धांत की विस्तृत श्रेणियाँ क्वांटम भौतिकी के साथ असंगत हैं।कई अन्य शोधकर्ताओं ने भी बोर्न नियम को अधिक बुनियादी सिद्धांतों से प्राप्त करने का प्रयास किया है। अनेक जगतों की व्याख्या के संदर्भ में अनेक व्युत्पत्तियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें डेविड जर्मन द्वारा प्रवर्तित निर्णय-सिद्धांत दृष्टिकोण सम्मिलित है एवं पश्चात में हिलेरी ग्रीव्स द्वारा विकसित एवं डेविड वालेस; एवं वोज्शिएच एच. ज़्यूरेक द्वारा प्रतिशोधात्मक दृष्टिकोण; चूँकि, इन परिमाणों की सर्कुलर के रूप में आलोचना की गई है। अभी वर्तमान में, चार्ल्स सेबेंस एवं सीन एम. कैरोल द्वारा स्व-ज्ञात करने की अनिश्चितता पर आधारित दृष्टिकोण का विचार दिया गया है।यह भी विचार किया गया है कि पायलट-वेव सिद्धांत का उपयोग बोर्न नियम को सांख्यिकीय रूप से प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, चूँकि यह विवादास्पद बना हुआ है। कास्टनर का विचार है कि बोर्न नियम के लिए भौतिक स्पष्टीकरण देने में आदान प्रदान संबंधी व्याख्या अद्वितीय है।2019 में, सैद्धांतिक भौतिकी के लिए परिधि संस्थान के लुईस मैसेन्स एवं थॉमस गैली एवं क्वांटम ऑप्टिक्स एवं क्वांटम सूचना संस्थान के मार्कस मुलर ने बोर्न नियम की व्युत्पत्ति प्रस्तुत की। चूँकि उनका परिणाम ग्लीसन के प्रमेय के समान प्रारंभिक मान्यताओं का उपयोग नहीं करता है, यह हिल्बर्ट-स्पेस संरचना एवं संदर्भ स्वतंत्रता का अनुमान लगाता है।क्वांटम सिद्धांत की क्यूबिस्ट व्याख्या के अंदर, बोर्न नियम को संभाव्यता के मानक कानून के संशोधन के रूप में देखा जाता है, जो इसमें सम्मिलित भौतिक प्रणाली के हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम को ध्यान में रखता है। बोर्न नियम को प्राप्त करने की प्रयत्न करने के अतिरिक्त, जैसा कि क्वांटम यांत्रिकी की कई व्याख्याएं करती हैं, क्यूबीस्ट बोर्न नियम के सूत्रीकरण को आदिम मानते हैं एवं इससे जितना संभव हो उतना क्वांटम सिद्धांत प्राप्त करने का लक्ष्य रखते हैं।

बाहरी संबंध

• Quantum Mechanics Not in Jeopardy: Physicists Confirm a Decades-Old Key Principle Experimentally ScienceDaily (July 23, 2010)