सजातीय अंतर समीकरण

एक विभेदक समीकरण दो मामलों में से किसी एक में सजातीय हो सकता है।

प्रथम कोटि अवकल समीकरण को सजातीय कहा जाता है यदि इसे लिखा जा सके

$f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,$

कहाँ f और g समान डिग्री के सजातीय कार्य हैं x और y. इस मामले में, चर का परिवर्तन y = ux प्रपत्र के एक समीकरण की ओर ले जाता है

${\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,$

जिसे दोनों सदस्यों के एकीकरण द्वारा हल करना आसान है।

अन्यथा, एक अंतर समीकरण सजातीय होता है यदि यह अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का एक सजातीय कार्य है। रैखिक अवकल समीकरणों के मामले में, इसका मतलब है कि कोई स्थिर पद नहीं हैं। किसी भी क्रम के किसी भी रैखिक साधारण अंतर समीकरण का समाधान स्थिर पद को हटाकर प्राप्त सजातीय समीकरण के समाधान से एकीकरण द्वारा निकाला जा सकता है।

इतिहास

सजातीय शब्द को सबसे पहले जोहान बर्नौली ने अपने 1726 के लेख डी इंटेग्रेओनिबस एक्वेशनम डिफरेंशियलियम (अंतर समीकरणों के एकीकरण पर) के खंड 9 में अंतर समीकरणों पर लागू किया था।

सजातीय प्रथम कोटि अवकल समीकरण

प्रथम-क्रम साधारण अवकल समीकरण के रूप में:

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$

यदि दोनों कार्य करते हैं तो यह एक सजातीय प्रकार है M(x, y) और N(x, y) समान डिग्री के सजातीय कार्य हैं n. अर्थात्, प्रत्येक वेरिएबल को एक पैरामीटर से गुणा करना λ, हम देखतें है

$M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.$

इस प्रकार,

${\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.$

समाधान विधि

भागफल में ${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$, हम दे सकते हैं t = 1/xइस भागफल को किसी फ़ंक्शन में सरल बनाने के लिए f एकल चर का y/x:

${\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.$

वह है

${\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).$

चरों के परिवर्तन का परिचय दें y = ux; उत्पाद नियम का उपयोग करके अंतर करें:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.$

यह मूल अंतर समीकरण को चर पृथक्करण रूप में बदल देता है

$x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,$

या

${\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},$

जिसे अब सीधे एकीकृत किया जा सकता है: ln x दाहिनी ओर के प्रतिअवकलन के बराबर है (साधारण अंतर समीकरण देखें)।

विशेष मामला

प्रपत्र का प्रथम कोटि अवकल समीकरण (a, b, c, e, f, g सभी स्थिरांक हैं)

$\left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0$

कहाँ af ≠ be दोनों चर के रैखिक परिवर्तन द्वारा एक सजातीय प्रकार में परिवर्तित किया जा सकता है (α और β स्थिरांक हैं):

$t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,.$

सजातीय रैखिक अवकल समीकरण

See also: Linear differential equation

एक रैखिक अंतर समीकरण सजातीय होता है यदि यह अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव में एक सजातीय रैखिक समीकरण है। यह इस प्रकार है, यदि φ(x) एक समाधान है, इसलिए है cφ(x), किसी भी (गैर-शून्य) स्थिरांक के लिए c. इस स्थिति को बनाए रखने के लिए, रैखिक अंतर समीकरण के प्रत्येक गैर-शून्य पद को अज्ञात फ़ंक्शन या उसके किसी व्युत्पन्न पर निर्भर होना चाहिए। एक रैखिक अवकल समीकरण जो इस स्थिति को विफल करता है उसे अमानवीय कहा जाता है।

एक रेखीय अवकल समीकरण को एक रेखीय ऑपरेटर के रूप में दर्शाया जा सकता है y(x) कहाँ x आमतौर पर स्वतंत्र चर है और y आश्रित चर है. अत: रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य रूप है

$L(y)=0$

कहाँ L एक विभेदक ऑपरेटर है, डेरिवेटिव का योग (0 वें डेरिवेटिव को मूल, गैर-विभेदित फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करना), प्रत्येक को एक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाता है f_i का x:

$L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,$

कहाँ f_i स्थिरांक हो सकते हैं, लेकिन सभी नहीं f_i शून्य हो सकता है.

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित रैखिक अंतर समीकरण सजातीय है:

$\sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,$

जबकि निम्नलिखित दो अमानवीय हैं:

$2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;$

$2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.$

किसी समीकरण के अमानवीय होने के लिए एक स्थिर पद का अस्तित्व एक पर्याप्त शर्त है, जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है।

यह भी देखें

• चरों का पृथक्करण

संदर्भ

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (10th ed.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.)
• Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490. (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)
• Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 November 2017). Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9.
• Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 November 2009). Differential Equations with Linear Algebra. Oxford University Press. pp. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9.

बाहरी संबंध

• Homogeneous differential equations at MathWorld
• Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1