पुनरावृत्त एकीकरण के लिए कॉची सूत्र

बार-बार एकीकरण के लिए कॉची फॉर्मूला, जिसका नाम ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है, किसी फ़ंक्शन के एन विभेदीकरण विरोधी को एक एकल इंटीग्रल में संपीड़ित करने की अनुमति देता है (cf. एंटीडेरिवेटिव#एकीकरण की तकनीक|कॉची का फॉर्मूला)।

अदिश मामला

मान लीजिए f वास्तविक रेखा पर एक सतत फलन है। फिर आधार बिंदु a के साथ f का nवाँ दोहराया गया समाकलन,

$$f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},$$

एकल एकीकरण द्वारा दिया गया है

$$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

प्रमाण

गणितीय प्रेरण द्वारा एक प्रमाण दिया जाता है। n=1 वाला आधार मामला तुच्छ है, क्योंकि यह इसके बराबर है:

$$f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$$

अब, मान लीजिए कि यह n के लिए सत्य है, और आइए हम इसे n+1 के लिए सिद्ध करें। सबसे पहलेलीबनिज इंटीग्रल रूल नियम का उपयोग करते हुए, ध्यान दें

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

फिर, प्रेरण परिकल्पना को लागू करते हुए,

$${\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$$

इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

सामान्यीकरण और अनुप्रयोग

कॉची सूत्र को रीमैन-लिउविल इंटीग्रल द्वारा गैर-पूर्णांक मापदंडों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। रीमैन-लिउविल इंटीग्रल, जहां $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $\alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0$, और फैक्टोरियल को गामा फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। जब दोनों सूत्र सहमत होते हैं $\alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}$.

कॉची फॉर्मूला और रीमैन-लिउविल इंटीग्रल दोनों को रीज़ क्षमता द्वारा मनमाने आयाम के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

भिन्नात्मक कलन में, इन सूत्रों का उपयोग भिन्न-भिन्नांक के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिससे व्यक्ति को कई बार भिन्नात्मक संख्या में अंतर करने या एकीकृत करने की अनुमति मिलती है। भिन्नात्मक एकीकरण द्वारा भिन्नात्मक संख्या में कई बार अंतर किया जा सकता है, फिर परिणाम में अंतर किया जा सकता है।

संदर्भ

• Augustin-Louis Cauchy: Trente-Cinquième Leçon. In: Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Imprimerie Royale, Paris 1823. Reprint: Œuvres complètes II(4), Gauthier-Villars, Paris, pp. 5–261.
• Gerald B. Folland, Advanced Calculus, p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2

बाहरी संबंध

• Alan Beardon (2000). "Fractional calculus II". University of Cambridge.

• Maurice Mischler (2023). "About some repeated integrals and associated polynomials".