कैलाबी अनुमान

विभेदक ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, कैलाबी अनुमान कुछ जटिल मैनिफोल्ड्स पर कुछ प्रकार के रीमैनियन मीट्रिक ्स के अस्तित्व के बारे में एक अनुमान था, जो द्वारा बनाया गया था Eugenio Calabi (1954, 1957). से यह सिद्ध हो गया Shing-Tung Yau (1977, 1978), जिन्होंने अपने प्रमाण के लिए ज्यामिति में फील्ड्स मेडल और ओसवाल्ड वेब्लेन पुरस्कार प्राप्त किया। उनका काम, मुख्य रूप से एक अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण का विश्लेषण जिसे मोंगे-एम्पीयर समीकरण | जटिल मोंज-एम्पीयर समीकरण के रूप में जाना जाता है, ज्यामितीय विश्लेषण के क्षेत्र में एक प्रभावशाली प्रारंभिक परिणाम था।

अधिक सटीक रूप से, कैलाबी का अनुमान बंद मैनिफोल्ड कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर काहलर मेट्रिक्स की सेटिंग के भीतर निर्धारित रिक्की वक्रता समस्या के समाधान का दावा करता है। चेर्न-वेइल सिद्धांत के अनुसार, ऐसे किसी भी मीट्रिक का रिक्की वक्रता # काहलर मैनिफोल्ड्स एक विभेदक रूप है | बंद विभेदक 2-रूप जो पहले चेर्न वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। कैलाबी ने ऐसे किसी भी भिन्न रूप के लिए अनुमान लगाया R, प्रत्येक काहलर ज्यामिति में बिल्कुल एक काहलर मीट्रिक है|काहलर वर्ग जिसका रिक्की रूप है R. (कुछ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स कोई काहलर वर्ग स्वीकार नहीं करते हैं, जिस स्थिति में अनुमान शून्य है।)

विशेष मामले में कि पहला चेर्न वर्ग गायब हो जाता है, इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक काहलर वर्ग में बिल्कुल एक रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड|रिक्की-फ्लैट मीट्रिक शामिल है। इन्हें अक्सर कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स कहा जाता है। हालाँकि, इस शब्द का प्रयोग अक्सर विभिन्न लेखकों द्वारा थोड़े अलग तरीकों से किया जाता है - उदाहरण के लिए, कुछ उपयोग जटिल मैनिफोल्ड को संदर्भित कर सकते हैं जबकि अन्य एक विशेष रिक्की-फ्लैट काहलर मीट्रिक के साथ एक जटिल मैनिफोल्ड को संदर्भित कर सकते हैं।

इस विशेष मामले को कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर शून्य स्केलर वक्रता के काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के लिए पूर्ण अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांत के रूप में माना जा सकता है। गैर-शून्य अदिश वक्रता का मामला कैलाबी के अनुमान के एक विशेष मामले के रूप में अनुसरण नहीं करता है, क्योंकि काहलर-आइंस्टीन समस्या का 'दाहिना हाथ' 'अज्ञात' मीट्रिक पर निर्भर करता है, जिससे काहलर-आइंस्टीन समस्या को डोमेन के बाहर रखा जाता है। रिक्की वक्रता निर्धारित करना। हालाँकि, कैलाबी अनुमान को हल करने में जटिल मोंज-एम्पीयर समीकरण का याउ का विश्लेषण पर्याप्त रूप से सामान्य था ताकि नकारात्मक स्केलर वक्रता के काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व को भी हल किया जा सके। सकारात्मक अदिश वक्रता का तीसरा और अंतिम मामला 2010 में आंशिक रूप से कैलाबी अनुमान का उपयोग करके हल किया गया था।

कैलाबी अनुमान के प्रमाण की रूपरेखा

कैलाबी ने कैलाबी अनुमान को जटिल मोंगे-एम्पीयर समीकरण | मोंज-एम्पीयर प्रकार के एक गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण में बदल दिया, और दिखाया कि इस समीकरण में अधिकतम एक समाधान है, इस प्रकार आवश्यक काहलर मीट्रिक की विशिष्टता स्थापित होती है।

याउ ने निरंतरता विधि का उपयोग करके इस समीकरण का समाधान बनाकर कैलाबी अनुमान को सिद्ध किया। इसमें पहले एक आसान समीकरण को हल करना और फिर यह दिखाना शामिल है कि आसान समीकरण के समाधान को लगातार कठिन समीकरण के समाधान में विकृत किया जा सकता है। याउ के समाधान का सबसे कठिन हिस्सा समाधानों के व्युत्पन्नों के लिए निश्चित प्राथमिक अनुमानों को सिद्ध करना है।

कैलाबी अनुमान का एक विभेदक समीकरण में परिवर्तन

लगता है कि $M$ काहलर रूप के साथ एक जटिल कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है $\omega$. Ddbar लेम्मा द्वारा|$\partial {\bar {\partial }}$-लेम्मा, उसी डी गर्भ एक तीर्थयात्री के रूप में वर्ग में कोई अन्य काहलर फॉर्म का है

$\omega +dd'\varphi$

कुछ सुचारु कार्य के लिए $\varphi$ पर $M$, किसी स्थिरांक को जोड़ने तक अद्वितीय। कैलाबी अनुमान इसलिए निम्नलिखित समस्या के बराबर है:

होने देना $F=e^{f}$ पर एक सकारात्मक सुचारू कार्य हो $M$ औसत मान 1 के साथ। फिर एक सुचारू वास्तविक कार्य होता है $\varphi$; साथ

$(\omega +dd'\varphi )^{m}=e^{f}\omega ^{m}$

और $\varphi$; किसी स्थिरांक को जोड़ने तक अद्वितीय है।

यह एकल फ़ंक्शन के लिए जटिल Monge-Ampère प्रकार का समीकरण है $\varphi$. इसे हल करना विशेष रूप से कठिन आंशिक अंतर समीकरण है, क्योंकि यह उच्चतम क्रम के संदर्भ में गैर-रैखिक है। जब इसे सुलझाना आसान होता है $f=0$, जैसा $\varphi =0$ एक समाधान है. निरंतरता पद्धति का विचार यह दिखाना है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है $f$ यह दिखाकर कि का सेट $f$ जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह खुला और बंद दोनों है। के सेट के बाद से $f$ जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह गैर-रिक्त है, और सभी का सेट है $f$ जुड़ा हुआ है, इससे पता चलता है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है $f$.

सुचारु कार्यों से लेकर सुचारु कार्यों तक का मानचित्र $\varphi$ को $F$ द्वारा परिभाषित

$F=(\omega +dd'\varphi )^{m}/\omega ^{m}$

न तो विशेषण है और न ही विशेषण। इसमें एक स्थिरांक जोड़ने के कारण यह इंजेक्शन नहीं है $\varphi$ बदलना मत $F$, और यह विशेषण नहीं है क्योंकि $F$ सकारात्मक होना चाहिए और औसत मान 1 होना चाहिए। इसलिए हम मानचित्र को कार्यों तक ही सीमित मानते हैं $\varphi$ जिसे औसत मान 0 के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, और पूछा जाता है कि क्या यह मानचित्र सकारात्मक के सेट पर एक समरूपता है $F=e^{f}$ औसत मान 1 के साथ। कैलाबी और याउ ने साबित किया कि यह वास्तव में एक समरूपता है। यह नीचे वर्णित कई चरणों में किया जाता है।

समाधान की विशिष्टता

यह साबित करने में कि समाधान अद्वितीय है, इसमें यह दिखाना शामिल है कि यदि

$(\omega +dd'\varphi _{1})^{m}=(\omega +dd'\varphi _{2})^{m}$

फिर φ₁ और φ₂ एक स्थिरांक से भिन्न (यदि वे दोनों औसत मान 0 के लिए सामान्यीकृत हैं तो यह समान होना चाहिए)। कैलाबी ने यह साबित करके दिखाया कि का औसत मूल्य

$|d(\varphi _{1}-\varphi _{2})|^{2}$

एक अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है जो अधिकतम 0 है। चूँकि यह स्पष्ट रूप से कम से कम 0 है, यह 0 ही होना चाहिए, इसलिए

$d(\varphi _{1}-\varphi _{2})=0$

जो बदले में φ को बल देता है₁ और φ₂ एक स्थिरांक से भिन्न होना।

F का समुच्चय खुला है

यह साबित करना कि संभावित F का सेट खुला है (औसत मान 1 के साथ सुचारू कार्यों के सेट में) यह दिखाना शामिल है कि यदि कुछ F के लिए समीकरण को हल करना संभव है, तो सभी पर्याप्त रूप से बंद F के लिए इसे हल करना संभव है। कैलाबी बानाच रिक्त स्थान के लिए अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय का उपयोग करके इसे साबित किया: इसे लागू करने के लिए, मुख्य चरण यह दिखाना है कि उपरोक्त अंतर ऑपरेटर का रैखिककरण उलटा है।

F का समुच्चय बंद है

यह सबूत का सबसे कठिन हिस्सा है, और यह हिस्सा यॉ द्वारा किया गया था। मान लीजिए कि एफ संभव की छवि के बंद होने में है कार्य φ. इसका मतलब है कि एक क्रम है कार्य φ₁, फ़ि₂, ... इस प्रकार कि संगत फलन F₁, एफ₂,... F पर अभिसरित होता है, और समस्या यह दिखाने के लिए है कि φs का कुछ अनुवर्ती एक समाधान φ में अभिसरित होता है। ऐसा करने के लिए, Yau फ़ंक्शंस φ के लिए कुछ प्राथमिक सीमाएं ढूंढता है_i और उनके उच्चतर डेरिवेटिव लॉग (एफ) के उच्च डेरिवेटिव के संदर्भ में_i). इन सीमाओं को खोजने के लिए कठिन अनुमानों के एक लंबे अनुक्रम की आवश्यकता होती है, जिनमें से प्रत्येक पिछले अनुमान पर थोड़ा सुधार करता है। आपको जो सीमाएँ मिलती हैं, वे यह दर्शाने के लिए पर्याप्त हैं कि फलन φ है_i सभी फ़ंक्शनों के उपयुक्त बानाच स्थान के एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय में स्थित हैं, इसलिए एक अभिसरण अनुवर्ती खोजना संभव है। यह अनुवर्ती छवि F के साथ एक फ़ंक्शन φ में परिवर्तित हो जाता है, जो दर्शाता है कि संभावित छवियों का सेट F बंद है।

संदर्भ

• Thierry Aubin, Nonlinear Analysis on Manifolds, Monge–Ampère Equations ISBN 0-387-90704-1 This gives a proof of the Calabi conjecture and of Aubin's results on Kähler–Einstein metrics.
• Bourguignon, Jean-Pierre (1979), "Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et S. T. Yau]", Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78), Lecture Notes in Math., vol. 710, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 1–21, doi:10.1007/BFb0069970, ISBN 978-3-540-09243-8, MR 0554212 This gives a survey of the work of Aubin and Yau.
• Calabi, E. (1954). "The space of Kähler metrics" (PDF). In Gerretsen, Johan C. H.; De Groot, Johannes (eds.). Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. 206–207.
• Calabi, Eugenio (1957). "On Kähler manifolds with vanishing canonical class". In Fox, R. H.; Spencer, D. C.; Tucker, A. W. (eds.). Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz. Princeton Mathematical Series. Vol. 12. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 78–89. doi:10.1515/9781400879915-006. ISBN 9781400879915. MR 0085583. Zbl 0080.15002.
• Dominic D. Joyce Compact Manifolds with Special Holonomy (Oxford Mathematical Monographs) ISBN 0-19-850601-5 This gives a simplified proof of the Calabi conjecture.
• Yau, Shing Tung (1977), "Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 74 (5): 1798–1799, Bibcode:1977PNAS...74.1798Y, doi:10.1073/pnas.74.5.1798, ISSN 0027-8424, MR 0451180, PMC 431004, PMID 16592394
• Yau, Shing Tung (1978), "On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equation. I", Communications on Pure and Applied Mathematics, 31 (3): 339–411, doi:10.1002/cpa.3160310304, MR 0480350

बाहरी संबंध

• Yau, Shing Tung (2009), "Calabi-Yau manifold", Scholarpedia, 4 (8): 6524, Bibcode:2009SchpJ...4.6524Y, doi:10.4249/scholarpedia.6524