सिम्प्लेक्स श्रेणी

गणित में, सिम्प्लेक्स श्रेणी (या सरल श्रेणी या गैर-रिक्त परिमित क्रमिक श्रेणी) खाली सेट | गैर-रिक्त परिमित क्रमिक संख्या और क्रम-संरक्षण मानचित्रों का श्रेणी सिद्धांत है। इसका उपयोग सरल समुच्चय और सहसरल वस्तुओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

औपचारिक परिभाषा

सिंप्लेक्स श्रेणी को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है $\Delta$. इस श्रेणी के कई समकक्ष विवरण हैं। $\Delta$ वस्तुओं के रूप में गैर-रिक्त परिमित अध्यादेशों की श्रेणी के रूप में वर्णित किया जा सकता है, पूरी तरह से आदेशित सेट के रूप में सोचा जा सकता है, और (गैर-कड़ाई से) आदेश-संरक्षण कार्यों को रूपवाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है। वस्तुओं को आमतौर पर दर्शाया जाता है $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ (ताकि $[n]$ क्रमसूचक है $n+1$). श्रेणी कोफ़ेस और कोडजेनरेसी मानचित्रों द्वारा तैयार की जाती है, जो ऑर्डरिंग के तत्वों को सम्मिलित करने या हटाने के बराबर होती है। (इन मानचित्रों के संबंधों के लिए सरल सेट देखें।)

एक सरल वस्तु पर एक प्रीशीफ़ (श्रेणी सिद्धांत) है $\Delta$, वह एक विरोधाभासी फ़ैक्टर है $\Delta$ दूसरी श्रेणी में. उदाहरण के लिए, सरल सेट विरोधाभासी होते हैं और कोडोमेन श्रेणी सेट की श्रेणी होती है। एक सहसंयोजक वस्तु को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे कि एक सहसंयोजक फ़नकार से उत्पन्न होता है $\Delta$.

संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी

संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी, द्वारा निरूपित $\Delta _{+}$ इस प्रकार, सभी परिमित अध्यादेशों और आदेश-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी है $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$, कहाँ $[-1]=\emptyset$. तदनुसार, इस श्रेणी को फिनऑर्ड भी दर्शाया जा सकता है। संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी को कभी-कभी बीजगणितज्ञों की सिम्प्लेक्स श्रेणी के रूप में जाना जाता है और उपरोक्त संस्करण को टोपोलॉजिस्ट की सिम्प्लेक्स श्रेणी कहा जाता है।

एक कॉन्ट्रावेरिएंट फ़ैक्टर पर परिभाषित किया गया है $\Delta _{+}$ एक संवर्धित सरल वस्तु और एक सहसंयोजक फ़ैक्टर कहा जाता है $\Delta _{+}$ संवर्धित सहसरलीकृत वस्तु कहलाती है; उदाहरण के लिए, जब कोडोमेन श्रेणी सेटों की श्रेणी होती है, तो इन्हें क्रमशः संवर्धित सरल सेट और संवर्धित सहसरल सेट कहा जाता है।

संवर्धित सिंप्लेक्स श्रेणी, सिंप्लेक्स श्रेणी के विपरीत, एक प्राकृतिक मोनोइडल श्रेणी को स्वीकार करती है। मोनोइडल उत्पाद रैखिक आदेशों के संयोजन द्वारा दिया जाता है, और इकाई खाली क्रमसूचक है $[-1]$ (एक इकाई की कमी इसे एक मोनोइडल संरचना के रूप में अर्हता प्राप्त करने से रोकती है $\Delta$). वास्तव में, $\Delta _{+}$ द्वारा दी गई एकल मोनोइड वस्तु द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मोनोइडल श्रेणी है $[0]$ अद्वितीय संभावित इकाई और गुणन के साथ। यह विवरण यह समझने के लिए उपयोगी है कि मोनोइडल श्रेणी में कोई भी कोमोनॉइड वस्तु एक सरल वस्तु को कैसे जन्म देती है क्योंकि इसे तब से एक फ़नकार की छवि के रूप में देखा जा सकता है $\Delta _{+}^{\text{op}}$ कोमोनॉइड युक्त मोनोइडल श्रेणी में; संवर्द्धन को भूलकर हम एक सरल वस्तु प्राप्त करते हैं। इसी तरह, यह मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) (और इसलिए सहायक फ़ैक्टर) से सरल वस्तुओं के निर्माण पर भी प्रकाश डालता है क्योंकि मोनाड को फ़ैक्टर श्रेणी में मोनॉइड ऑब्जेक्ट के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें

• सरल श्रेणी (बहुविकल्पी)
• PROP (श्रेणी सिद्धांत)
• सार सरल जटिल

संदर्भ

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Simplicial Homotopy Theory. Progress in Mathematics. Vol. 174. Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-7643-6064-1. MR 1711612.

बाहरी संबंध

• Simplex category at the nLab
• What's special about the Simplex category?