अर्ध-घातांकीय फलन

गणित में, अर्ध-घातांकीय फलन किसी घातांकीय फलन का कार्यात्मक वर्गमूल होता है। यानी फ़ंक्शन (गणित) $f$ ऐसा है कि $f$ फ़ंक्शन संरचना स्वयं के साथ घातांकीय फ़ंक्शन में परिणत होती है:

$$f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},$$

कुछ स्थिरांक के लिए $a$ and $b$.

बंद-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता

यदि कोई फ़ंक्शन $f$ मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और वास्तविक संख्या-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर $f{\bigl (}f(x){\bigr )}$ या तो सबएक्सपोनेंशियल या सुपरएक्सपोनेंशियल है। इस प्रकार, हार्डी फ़ील्ड#उदाहरण|हार्डी L-फ़ंक्शन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता.

निर्माण

किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है $f(f(x))$ के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए $f$. विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए $A$ खुले अंतराल में $(0,1)$ और प्रत्येक सतत कार्य के लिए मोनोटोनिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन $g$ से $[0,A]$ विशेषण फलन $[A,1]$, इस फ़ंक्शन का निरंतर सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन तक विस्तार है $f$ वास्तविक संख्याओं पर जैसे कि $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x$. कार्यक्रम $f$ कार्यात्मक समीकरण का अद्वितीय समाधान है

$$f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}$$

अर्ध-घातांकीय फलन का उदाहरण

सरल उदाहरण, जो की ओर ले जाता है $f$ सर्वत्र सतत् प्रथम व्युत्पत्ति का होना, लेना है $A={\tfrac {1}{2}}$ और $g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}$, देना

$$f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}{-\log _{e}2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}$$

आवेदन

बहुपद और घातांक के बीच मध्यवर्ती विकास दर के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है। समारोह $f$ यदि यह मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, तो कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फ़ंक्शन के रूप में तेजी से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तेजी से बढ़ती है) | गैर-घटती नहीं है और $f^{-1}(x^{C})=o(\log x)$, के लिए every $C>0$.

यह भी देखें

• Iterated function
• Schröder's equation
• Abel equation

बाहरी संबंध

• Does the exponential function have a (compositional) square root?
• “Closed-form” functions with half-exponential growth