कॉनवे बहुपद (परिमित क्षेत्र)
गणित में, कॉनवे बहुपद Cp,n परिमित क्षेत्र F के लिएpn 'F' के ऊपर घात n का एक विशेष अपरिवर्तनीय बहुपद हैp इसका उपयोग एफ के मानक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता हैpn सी के विभाजन क्षेत्र के रूप मेंp,n. कॉनवे बहुपदों का नाम रिचर्ड ए. पार्कर द्वारा जॉन एच. कॉनवे के नाम पर रखा गया था, जो उन्हें परिभाषित करने और उदाहरणों की गणना करने वाले पहले व्यक्ति थे। कॉनवे बहुपद एक निश्चित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं जो कॉनवे द्वारा एक क्षेत्र के प्रतिनिधित्व और उसके उपक्षेत्रों के प्रतिनिधित्व के बीच प्रस्तावित की गई थी। वे कंप्यूटर बीजगणित में महत्वपूर्ण हैं जहां वे विभिन्न गणितीय डेटाबेस और कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के बीच पोर्टेबिलिटी प्रदान करते हैं। चूंकि कॉनवे बहुपद की गणना करना महंगा है, इसलिए उन्हें व्यवहार में उपयोग करने के लिए संग्रहीत किया जाना चाहिए। कॉनवे बहुपदों के डेटाबेस कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली GAP कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में उपलब्ध हैं,[1] विनोदी,[2] मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली,[3] सेजमैथ,[4] और फ़्रैंक ल्यूबेक की वेब साइट पर।[5]
पृष्ठभूमि
एफ के तत्वpn फॉर्म ए के योग के रूप में दर्शाया जा सकता हैn−1βn−1 + ... + a1बी + ए0 जहां β 'F' के ऊपर घात n वाले एक अप्रासंगिक बहुपद का मूल हैp और एj F के तत्व हैंp. इस प्रतिनिधित्व में फ़ील्ड तत्वों का जोड़ केवल वेक्टर जोड़ है। जबकि क्रम p का एक अद्वितीय परिमित क्षेत्र हैnसमरूपता तक, क्षेत्र तत्वों का प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय बहुपद की पसंद पर निर्भर करता है। कॉनवे बहुपद इस विकल्प को मानकीकृत करने का एक तरीका है।
एक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व गुणन के तहत एक चक्रीय समूह बनाते हैं। 'F' का एक आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र), α,pn एक तत्व है जो इस समूह को उत्पन्न करता है। गैर-शून्य क्षेत्र तत्वों को α की शक्तियों के रूप में प्रस्तुत करने से क्षेत्र में गुणन कुशलतापूर्वक किया जा सकता है। α के लिए आदिम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) 'एफ' में गुणांक के साथ सबसे छोटी संभव डिग्री का मोनिक बहुपद हैp 'F' में मूल के रूप में α हैpn (α के लिए न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत))। यह आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है. कॉनवे बहुपद को आदिम होने के लिए चुना गया है, ताकि इसकी प्रत्येक जड़ संबंधित परिमित क्षेत्र के गुणक समूह को उत्पन्न कर सके।
'एफ' के उपक्षेत्रpn फ़ील्ड F हैंpm एम को एन से विभाजित करने के साथ। 'F' के अशून्य तत्वों से बना चक्रीय समूहpm F के चक्रीय समूह का एक उपसमूह हैpn. यदि α उत्तरार्द्ध उत्पन्न करता है, तो α की सबसे छोटी शक्ति जो पूर्व उत्पन्न करती है वह α हैr जहां r = (p)n - 1)/(पीम - 1). यदि एफn F के लिए एक आदिम बहुपद हैpn जड़ α के साथ, और यदि fm F के लिए एक आदिम बहुपद हैpm, फिर कॉनवे की परिभाषा के अनुसार, एफm और एफn संगत हैं यदि αrf का मूल हैm. इसके लिए आवश्यक है कि एफm(x) f को विभाजित करेंn(एक्सर). अनुकूलता की इस धारणा को कुछ लेखक 'मानक-संगतता' कहते हैं। एक परिमित क्षेत्र के लिए कॉनवे बहुपद को चुना जाता है ताकि वह इसके प्रत्येक उपक्षेत्र के कॉनवे बहुपद के साथ संगत हो सके। इस तरह से चुनाव करना संभव है, यह वर्नर निकेल ने साबित किया था।[6]
परिभाषा
कॉनवे बहुपद सीp,n इसे 'F' के ऊपर डिग्री n के शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम मोनिक आदिम बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया हैp यह C के साथ संगत हैp,m सभी m को n से विभाजित करने के लिए। यह n पर एक आगमनात्मक परिभाषा है: आधार मामला C हैp,1(x) = x − α जहां α 'F' का शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम आदिम तत्व हैp. प्रयुक्त शब्दावली क्रम की धारणा निम्नलिखित है:
- एफ के तत्वp 0 < 1 < 2 < ... < p - 1 का आदेश दिया गया है।
- 'एफ' में डिग्री डी का एक बहुपदp[x] लिखा है adxघ - एd−1xd−1 + ... + (−1)घa0 और फिर शब्द ए के रूप में व्यक्त किया गयाdad−1... ए0. घात d वाले दो बहुपदों को उनके संगत शब्दों के शाब्दिक क्रम के अनुसार क्रमबद्ध किया गया है।
चूँकि ऐसा कोई प्राकृतिक गणितीय मानदंड प्रतीत नहीं होता है जो अन्य सभी पर अनुकूलता की शर्तों को पूरा करने वाले एक राक्षसी आदिम बहुपद को अलग कर देगा, कॉनवे बहुपद की परिभाषा में शब्दकोषीय क्रम लगाने को एक सम्मेलन के रूप में माना जाना चाहिए।
गणना
कॉनवे बहुपद की गणना के लिए एल्गोरिदम जो जानवर-बल खोज से अधिक कुशल हैं, हीथ और लोहर द्वारा विकसित किए गए हैं।[7] लुबेक इंगित करता है[5]कि उनका एल्गोरिदम पार्कर की पद्धति की पुनः खोज है।
टिप्पणियाँ
- ↑ "Chapter 59". GAP 4 Manual. The GAP Group. Retrieved 8 February 2011.
- ↑ Grayson, Daniel R.; Stillman, Michael E. "Macaulay2, a software system for research in algebraic geometry". Archived from the original on 20 July 2011. Retrieved 9 February 2011.
- ↑ Bosma, W.; Steel, A. "Magma handbook: finite fields". Computational Algebra Group, School of Mathematics and Statistics, University of Sydney. Retrieved 8 February 2011.
- ↑ "Frank Luebeck's tables of Conway polynomials over finite fields". The Sage Development Team. Retrieved 18 March 2013.
- ↑ 5.0 5.1 Lübeck, Frank. "Conway polynomials for finite fields". Retrieved 8 February 2011.
- ↑ Nickel, Werner (1988), Endliche Körper in dem gruppentheoretischen Programmsystem GAP, Diploma thesis, RWTH Aachen, retrieved 10 February 2011.
- ↑ Heath, Lenwood S.; Loehr, Nicholas A. (1998). "New algorithms for generating Conway polynomials over finite fields". Virginia Polytechnic Institute and State University. Technical Report ncstrl.vatech_cs//TR-98-14, Computer Science. Retrieved 8 February 2011.
संदर्भ
- Holt, Derek F.; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn A. (2005), Handbook of computational group theory, Discrete mathematics and its applications, vol. 24, CRC Press, ISBN 978-1-58488-372-2
