नैश फलन

वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति में, एक खुले अर्धबीजगणितीय उपसमुच्चय U ⊂ R पर एक नैश फ़ंक्शनⁿ एक विश्लेषणात्मक कार्य है एफ: यू → 'आर' यू में सभी एक्स के लिए एक गैर-तुच्छ बहुपद समीकरण पी (एक्स, एफ (एक्स)) = 0 को संतुष्ट करता है ('आर' का एक अर्ध-बीजगणितीय सेट)ⁿ 'R' में {x' रूप के उपसमुच्चय से प्राप्त एक उपसमुच्चय हैⁿ : P(x)=0} या {x 'R' मेंⁿ : P(x) > 0}, जहां P एक बहुपद है, परिमित संघों, परिमित प्रतिच्छेदों और पूरकों को लेकर)। नैश फ़ंक्शंस के कुछ उदाहरण:

• बहुपद और नियमित तर्कसंगत कार्य नैश फ़ंक्शन हैं।
• $x\mapsto {\sqrt {1+x^{2}}}$ आर पर नैश है.
• वह फ़ंक्शन जो एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स के साथ अपने i-th eigenvalue (बढ़ते क्रम में) को जोड़ता है, वह सममित मैट्रिक्स के खुले उपसमुच्चय पर नैश है, जिसमें कोई एकाधिक eigenvalue नहीं है।

नैश फ़ंक्शन वे फ़ंक्शन हैं जो वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति में एक अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय के लिए आवश्यक होते हैं।

नैश मैनिफ़ोल्ड्स

नैश फ़ंक्शंस के साथ-साथ नैश मैनिफ़ोल्ड्स को भी परिभाषित किया जाता है, जो कुछ आर के अर्ध-बीजगणितीय विश्लेषणात्मक सबमैनिफ़ोल्ड्स हैंⁿ. एक नैश मैपिंग नैश मैनिफोल्ड्स के बीच अर्धबीजगणितीय ग्राफ के साथ एक विश्लेषणात्मक मानचित्रण होता है। नैश फ़ंक्शंस और मैनिफ़ोल्ड्स का नाम जॉन फोर्ब्स नैश, जूनियर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने साबित किया (1952) कि कोई भी कॉम्पैक्ट विभेदक अनेक गुना नैश मैनिफ़ोल्ड संरचना को स्वीकार करता है, यानी, कुछ नैश मैनिफ़ोल्ड से भिन्न होता है। अधिक आम तौर पर, एक स्मूथ मैनिफोल्ड एक नैश मैनिफोल्ड संरचना को स्वीकार करता है यदि और केवल तभी जब यह संभवतः सीमा के साथ कुछ कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड के इंटीरियर से भिन्न हो। नैश का परिणाम बाद में (1973) अल्बर्टो टोगनोली द्वारा पूरा किया गया, जिन्होंने साबित किया कि कोई भी कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड कुछ एफ़िन वास्तविक बीजगणितीय मैनिफोल्ड से भिन्न होता है; वास्तव में, कोई भी नैश मैनिफोल्ड एक वास्तविक बीजगणितीय मैनिफोल्ड के लिए नैश भिन्नरूपी है। ये परिणाम इस तथ्य का उदाहरण देते हैं कि नैश श्रेणी चिकनी और बीजगणितीय श्रेणियों के बीच कुछ हद तक मध्यवर्ती है।

स्थानीय गुण

नैश फ़ंक्शंस के स्थानीय गुणों को अच्छी तरह से समझा जाता है। नैश के रोगाणु का वलय (गणित) एन आयाम के नैश मैनिफोल्ड के एक बिंदु पर कार्य करता है, जो एन चर में बीजगणितीय शक्ति श्रृंखला के वलय के समरूपी है (यानी, वे श्रृंखला एक गैर-तुच्छ बहुपद समीकरण को संतुष्ट करती है), जो कि हेन्सल का लेम्मा है तर्कसंगत कार्यों के रोगाणुओं की अंगूठी. विशेष रूप से, यह आयाम n का एक नियमित स्थानीय वलय है।

वैश्विक गुण

वैश्विक संपत्तियों को प्राप्त करना अधिक कठिन है। तथ्य यह है कि नैश की अंगूठी नैश मैनिफोल्ड (यहां तक ​​कि गैर-कॉम्पैक्ट) पर काम करती है, नोथेरियन अंगूठी है, जीन-जैक्स रिस्लर और गुस्ताव एफ्रॉयमसन द्वारा स्वतंत्र रूप से (1973) साबित किया गया था। नैश मैनिफोल्ड्स में स्टीन मैनिफोल्ड्स पर कार्टन के प्रमेय ए और बी के समान लेकिन कमजोर गुण हैं। होने देना ${\mathcal {N}}$ नैश फ़ंक्शन रोगाणुओं के ढेर को निरूपित करें एक नैश मैनिफोल्ड एम, और ${\mathcal {I}}$ का एक सुसंगत शीफ बनें ${\mathcal {N}}$-आदर्श. मान लीजिए ${\mathcal {I}}$ परिमित है, अर्थात, एक परिमित खुला अर्धबीजगणितीय आवरण मौजूद है $\{U_{i}\}$ एम का ऐसा कि, प्रत्येक i के लिए, ${\mathcal {I}}|_{U_{i}}$ नैश फ़ंक्शंस द्वारा उत्पन्न होता है $U_{i}$. तब ${\mathcal {I}}$ विश्व स्तर पर एम और प्राकृतिक मानचित्र पर नैश फ़ंक्शंस द्वारा उत्पन्न होता है

$H^{0}(M,{\mathcal {N}})\to H^{0}(M,{\mathcal {N}}/{\mathcal {I}})$

विशेषण है. हालाँकि

$H^{1}(M,{\mathcal {N}})\neq 0,\ {\text{if}}\ \dim(M)>0,$

स्टीन मैनिफोल्ड्स के मामले के विपरीत।

सामान्यीकरण

नैश फ़ंक्शंस और मैनिफोल्ड्स को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के बजाय किसी भी वास्तविक बंद फ़ील्ड पर परिभाषित किया जा सकता है, और उपरोक्त कथन अभी भी मान्य हैं। सार नैश फ़ंक्शंस को किसी भी क्रमविनिमेय रिंग के वास्तविक स्पेक्ट्रम पर भी परिभाषित किया जा सकता है।

स्रोत

1. जे। बोचनक, एम. कोस्टे और एम-एफ। रॉय: वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति। स्प्रिंगर, 1998.
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7. एक। टोगनोली: नैश पर आपका एक समूह। ऐन. स्कुओला नॉर्म. सुपर. पीसा 27 (1973), 167-185.

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