नैश फलन

वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति में, एक खुले अर्ध-बीजगणितीय उपसमुच्चय U ⊂ Rⁿ पर एक नैश फलन एक विश्लेषणात्मक कार्य f: U → R है, U में सभी x के लिए एक गैर-तुच्छ बहुपद समीकरण P(x,f(x)) = 0 को संतुष्ट करता है (Rn का एक अर्धबीजगणितीय उपसमुच्चय एक उपसमुच्चय है जो फॉर्म {Rn में x: P(x)=0} या {Rn में x: P(x) > 0} के उपसमुच्चय से प्राप्त होता है। जहां परिमित संघों, परिमित प्रतिच्छेदों और पूरकों को लेते हुए, P एक बहुपद है)। नैश फलन के कुछ उदाहरण:

• बहुपद और नियमित तर्कसंगत कार्य नैश फलन हैं।
• $x\mapsto {\sqrt {1+x^{2}}}$ R पर नैश है।
• वह फलन जो एक वास्तविक सममित आव्यूह के साथ अपने i-th आइजेनवैल्यू (बढ़ते क्रम में) को जोड़ता है, वह सममित आव्यूह के विवृत उपसमुच्चय पर नैश है, जिसमें कोई एकाधिक आइजेनवैल्यू नहीं है।

नैश फलन वे फलन हैं जो वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति में एक अंतर्निहित फलन प्रमेय के लिए आवश्यक होते हैं।

नैश बहुविध

नैश फलन के साथ-साथ नैश बहुविध को भी परिभाषित किया जाता है, जो कुछ Rⁿ के अर्ध-बीजगणितीय विश्लेषणात्मक उपबहुविध हैं। एक नैश प्रतिचित्रण नैश बहुविध के बीच अर्धबीजगणितीय आरेख के साथ एक विश्लेषणात्मक मानचित्रण होता है। नैश फलन और बहुविध का नाम जॉन फोर्ब्स नैश, जूनियर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सिद्ध किया (1952) कि कोई भी सघन के वृत्त विभेदक बहुविध नैश बहुविध संरचना को स्वीकार करता है, यानी, कुछ नैश बहुविध से भिन्न होता है। अधिक सामान्यतः, एक निर्बाध बहुविध एक नैश बहुविध संरचना को स्वीकार करता है यदि और केवल तभी जब यह संभवतः सीमा के साथ कुछ सघन निर्बाध बहुविध के अंतःस्थ से भिन्न हो। नैश का परिणाम बाद में (1973) अल्बर्टो टोगनोली द्वारा पूरा किया गया, जिन्होंने सिद्ध किया कि कोई भी सघन निर्बाध बहुविध कुछ एफ़िन वास्तविक बीजगणितीय बहुविध से भिन्न होता है; वास्तव में, कोई भी नैश बहुविध एक वास्तविक बीजगणितीय बहुविध के लिए नैश भिन्नरूपी है। ये परिणाम इस तथ्य का उदाहरण देते हैं कि नैश निर्बाध निर्बाध और बीजगणितीय श्रेणियों के बीच कुछ हद तक मध्यवर्ती है।

स्थानीय गुण

नैश फलन के स्थानीय गुणों को अच्छी तरह से समझा जाता है। नैश के रोगाणु का वलय (गणित) एन आयाम के नैश बहुविध के एक बिंदु पर कार्य करता है, जो एन चर में बीजगणितीय शक्ति श्रृंखला के वलय के समरूपी है (यानी, वे श्रृंखला एक गैर-तुच्छ बहुपद समीकरण को संतुष्ट करती है), जो कि हेन्सल का लेम्मा है तर्कसंगत कार्यों के रोगाणुओं की अंगूठी. विशेष रूप से, यह आयाम n का एक नियमित स्थानीय वलय है।

वैश्विक गुण

वैश्विक संपत्तियों को प्राप्त करना अधिक कठिन है। तथ्य यह है कि नैश की अंगूठी नैश बहुविध (यहां तक ​​कि गैर-सघन) पर काम करती है, नोथेरियन अंगूठी है, जीन-जैक्स रिस्लर और गुस्ताव एफ्रॉयमसन द्वारा स्वतंत्र रूप से (1973) सिद्ध किया गया था। नैश बहुविध में स्टीन बहुविध पर कार्टन के प्रमेय A और B के समान लेकिन कमजोर गुण हैं। होने देना ${\mathcal {N}}$ नैश फलन रोगाणुओं के ढेर को निरूपित करें। एक नैश बहुविध M, और ${\mathcal {I}}$ का एक सुसंगत शीफ ${\mathcal {N}}$-आदर्श बनता है। मान लीजिए ${\mathcal {I}}$ परिमित है, अर्थात, M के \{U_{i}\} को कवर करने वाला एक परिमित विवृत अर्ध-बीजगणित उपस्थित है, जैसे कि, प्रत्येक i के लिए, $\{U_{i}\}$ पर नैश फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न होता है। तब एम पर नैश फलन द्वारा विश्व स्तर पर {मैथकल {I}} उत्पन्न होता है

$H^{0}(M,{\mathcal {N}})\to H^{0}(M,{\mathcal {N}}/{\mathcal {I}})$${\mathcal {I}}|_{U_{i}}$$U_{i}$

विशेषण है। हालाँकि

$H^{1}(M,{\mathcal {N}})\neq 0,\ {\text{if}}\ \dim(M)>0,$

स्टीन बहुविध की स्थिति के विपरीत।

सामान्यीकरण

नैश फलन और बहुविध को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के बजाय किसी भी वास्तविक बंद फ़ील्ड पर परिभाषित किया जा सकता है, और उपरोक्त कथन अभी भी मान्य हैं। सार नैश फलन को किसी भी क्रमविनिमेय रिंग के वास्तविक स्पेक्ट्रम पर भी परिभाषित किया जा सकता है।

स्रोत

1. जे। बोचनक, एम. कोस्टे और एम-एफ। रॉय: वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति। स्प्रिंगर, 1998.
2. एम। कोस्टे, जे.एम. रुइज़ और एम. शियोटा: नैश फलन पर वैश्विक समस्याएं। रेविस्टा मैटेम'एटिका कॉम्प्लुटेंस 17 (2004), 83--115।
3. जी। एफ्रोयमसन: नैश रिंग्स के लिए एक नलस्टेलेंसत्ज़। प्रशांत जे. मठ. 54 (1974), 101--112.
4. जे.एफ. नैश: वास्तविक बीजगणितीय बहुविध। गणित के इतिहास 56 (1952), 405--421।
5. जे-जे. रिस्लर: नैश ग्लोबल्स के फ़ोंक्शंस का सुर एल'अनेउ डेस। सी. आर. अकैड. विज्ञान. पेरिस सेर. ए-बी 276 (1973), ए1513--ए1516।
6. एम। शिओटा: नैश बहुविध। स्प्रिंगर, 1987.
7. एक। टोगनोली: नैश पर आपका एक समूह। ऐन. स्कुओला नॉर्म. सुपर. पीसा 27 (1973), 167-185.

श्रेणी:वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति