उपव्युत्पन्न

एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ $x_{0}$ (लाल)।

गणित में, सबयौगिक , सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल कार्यों का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में।

होने देना $f:I\to \mathbb {R}$ वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन $f(x)=|x|$ जब यह गैर-विभेदित होता है $x=0$. हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ $f(x)$ नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए $x_{0}$ फ़ंक्शन के डोमेन में कोई एक रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है $(x_{0},f(x_{0}))$ और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की ढलान को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा

कठोरता से, उत्तल फलन का एक उपव्युत्पन्न $f:I\to \mathbb {R}$ एक बिंदु पर $x_{0}$ खुले अंतराल में $I$ एक वास्तविक संख्या है $c$ ऐसा है कि

$$f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})$$

सभी के लिए $x\in I$. माध्य मान प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। $x_{0}$ उत्तल फ़ंक्शन के लिए एक खाली सेट बंद अंतराल है $[a,b]$, कहाँ $a$ और $b$ एकतरफ़ा सीमाएँ हैं

$$a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$$

$$b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.$$

सेट $[a,b]$ सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है $f$ पर $x_{0}$, द्वारा चिह्नित $\partial f(x_{0})$. अगर $f$ उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है $x_{0}$ तो, इसमें बिल्कुल एक उप-व्युत्पन्न शामिल है $\partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}$ और $f$ पर भिन्न है $x_{0}$.

उदाहरण

फ़ंक्शन पर विचार करें $f(x)=|x|$ जो उत्तल है. फिर, मूल पर उपविभेदक अंतराल है $[-1,1]$. किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $x_{0}<0$ सिंगलटन सेट है $\{-1\}$, जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $x_{0}>0$ सिंगलटन सेट है $\{1\}$. यह साइन फ़ंक्शन के समान है, लेकिन एकल-मूल्यवान नहीं है $0$, इसके बजाय सभी संभावित उप-व्युत्पन्न शामिल हैं।

गुण

• एक उत्तल कार्य $f:I\to \mathbb {R}$ पर भिन्न है $x_{0}$ यदि और केवल यदि उपविभेदक एक सिंगलटन सेट है, जो है $\{f'(x_{0})\}$.
• एक बिंदु $x_{0}$ उत्तल फलन का वैश्विक न्यूनतम है $f$ यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए एक क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है $f$ पर $(x_{0},f(x_{0}))$. यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
• अगर $f$ और $g$ उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं $\partial f(x)$ और $\partial g(x)$ साथ $x$ कार्यों में से किसी एक का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक $f+g$ है $\partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)$ (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।

उपग्रेडिएंट

उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर $f:U\to \mathbb {R}$ यूक्लिडियन स्थान में उत्तल सेट खुला सेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है $\mathbb {R} ^{n}$, एक वेक्टर $v$ उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है $x_{0}\in U$ यदि किसी के लिए $x\in U$ एक के पास वह है

$f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0}),$

जहां डॉट डॉट उत्पाद को दर्शाता है। सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट $x_{0}$ x पर उपविभेदक कहा जाता है₀ और दर्शाया गया है $\partial f(x_{0})$. उपविभेदक हमेशा एक गैर-रिक्त उत्तल कॉम्पैक्ट सेट होता है।

ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं $f:U\to \mathbb {R}$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में उत्तल सेट पर $V$. एक कार्यात्मक $v^{*}$ दोहरे स्थान में $V^{*}$ को उपग्रेडिएंट कहा जाता है $x_{0}$ में $U$ यदि सभी के लिए $x\in U$,

$f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).$

सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट $x_{0}$ पर उपविभेदक कहा जाता है $x_{0}$ और फिर से दर्शाया गया है $\partial f(x_{0})$. उपविभेदक हमेशा एक उत्तल बंद सेट होता है। यह एक खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए एक अनबाउंड ऑपरेटर पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर $f$ सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।

इतिहास

उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में जीन-जैक्स मोरो और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।

यह भी देखें

• कमजोर व्युत्पन्न

उपग्रेडिएंट विधि विधि

संदर्भ

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Convex Analysis and Nonlinear Optimization : Theory and Examples (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

बाहरी संबंध

• "Uses of $\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}$". Stack Exchange. September 18, 2011.