स्वयंसिद्ध प्रणाली

गणित और तर्कशास्त्र में, एक स्वयंसिद्ध प्रणाली सिद्धांतों का कोई सेट (गणित) है जिसमें से कुछ या सभी स्वयंसिद्धों को तार्किक रूप से व्युत्पन्न प्रमेयों के संयोजन के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) ज्ञान का एक सुसंगत, अपेक्षाकृत आत्म-निहित शरीर है जिसमें आमतौर पर एक स्वयंसिद्ध प्रणाली और इसके सभी व्युत्पन्न प्रमेय शामिल होते हैं। एक स्वयंसिद्ध प्रणाली जो पूरी तरह से वर्णित है, एक विशेष प्रकार की औपचारिक प्रणाली है। एक औपचारिक सिद्धांत एक स्वयंसिद्ध प्रणाली है (आमतौर पर मॉडल सिद्धांत के भीतर तैयार की जाती है) जो तार्किक निहितार्थ के तहत बंद किए गए वाक्यों के एक सेट का वर्णन करती है। एक औपचारिक प्रमाण एक औपचारिक प्रणाली के भीतर एक गणितीय प्रमाण का पूर्ण प्रतिपादन है।

गुण

एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को संगति कहा जाता है यदि उसमें विरोधाभास का अभाव हो। अर्थात्, सिस्टम के स्वयंसिद्धों से एक कथन और उसके निषेध दोनों को प्राप्त करना असंभव है। अधिकांश स्वयंसिद्ध प्रणालियों के लिए संगति एक महत्वपूर्ण आवश्यकता है, क्योंकि विरोधाभास की उपस्थिति किसी भी कथन को सिद्ध करने की अनुमति देती है (विस्फोट का सिद्धांत)।

एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में, एक स्वयंसिद्ध को स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) कहा जाता है यदि यह प्रणाली में अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध या अप्रमाणित नहीं किया जा सकता है। एक प्रणाली को स्वतंत्र कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक अंतर्निहित स्वयंसिद्ध स्वतंत्र हैं। संगति के विपरीत, एक कार्यशील स्वयंसिद्ध प्रणाली के लिए स्वतंत्रता एक आवश्यक आवश्यकता नहीं है - हालांकि यह आमतौर पर प्रणाली में स्वयंसिद्धों की संख्या को कम करने के लिए मांगी जाती है।

एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को पूर्णता (तर्क) कहा जाता है यदि प्रत्येक कथन के लिए, या तो स्वयं या उसका निषेध प्रणाली के स्वयंसिद्धों से व्युत्पन्न होता है (समकक्ष रूप से, प्रत्येक कथन सत्य या असत्य सिद्ध होने में सक्षम है)।

सापेक्ष संगति

संगति से परे, सापेक्ष संगति भी एक सार्थक स्वयंसिद्ध प्रणाली की निशानी है। यह उस परिदृश्य का वर्णन करता है जहां पहले स्वयंसिद्ध प्रणाली की अपरिभाषित शर्तों को दूसरे से परिभाषाएं प्रदान की जाती हैं, जैसे कि पहले के सिद्धांत दूसरे के प्रमेय हैं।

एक अच्छा उदाहरण वास्तविक संख्या के सिद्धांत के संबंध में निरपेक्ष ज्यामिति की सापेक्ष संगति है। रेखा (ज्यामिति) और बिंदु (ज्यामिति) निरपेक्ष ज्यामिति में अपरिभाषित शब्द (जिन्हें आदिम धारणा भी कहा जाता है) हैं, लेकिन वास्तविक संख्या के सिद्धांत में निर्दिष्ट अर्थ इस तरह से हैं जो दोनों स्वयंसिद्ध प्रणालियों के अनुरूप है।

मॉडल

एक स्वैच्छिक प्रणाली के लिए एक मॉडल (गणितीय तर्क) एक अच्छी तरह से परिभाषित सेट (गणित) है, जो सिस्टम में प्रस्तुत अपरिभाषित शर्तों के लिए अर्थ प्रदान करता है, जो सिस्टम में परिभाषित संबंधों के साथ सही है। ए का अस्तित्व concrete model एक प्रणाली की स्थिरता प्रमाण साबित करता है. एक मॉडल को ठोस कहा जाता है यदि निर्दिष्ट अर्थ वास्तविक दुनिया से वस्तुएं और संबंध हैं, एक के विपरीत abstract model जो अन्य स्वयंसिद्ध प्रणालियों पर आधारित है।

सिस्टम में एक स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता दिखाने के लिए मॉडल का भी उपयोग किया जा सकता है। एक विशिष्ट स्वयंसिद्ध के बिना एक सबसिस्टम के लिए एक मान्य मॉडल का निर्माण करके, हम दिखाते हैं कि छोड़ा गया स्वयंसिद्ध स्वतंत्र है यदि इसकी शुद्धता आवश्यक रूप से सबसिस्टम से नहीं आती है।

दो मॉडलों को समाकृतिकता कहा जाता है यदि उनके तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार पाया जा सकता है, जो उनके रिश्ते को बनाए रखता है। एक स्वयंसिद्ध प्रणाली जिसके लिए प्रत्येक मॉडल दूसरे के लिए आइसोमॉर्फिक है, कहलाता है categorial (कभी-कभी categorical). श्रेणीबद्धता (श्रेणीबद्धता) की संपत्ति एक प्रणाली की पूर्णता सुनिश्चित करती है, हालांकि इसका विलोम सत्य नहीं है: पूर्णता किसी प्रणाली की श्रेणीबद्धता (श्रेणीबद्धता) सुनिश्चित नहीं करती है, क्योंकि दो मॉडल गुणों में भिन्न हो सकते हैं जिन्हें शब्दार्थ द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। प्रणाली।

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित स्वयंसिद्ध प्रणाली का निरीक्षण करें, पहले क्रम के तर्क के आधार पर, निम्नलिखित के अतिरिक्त शब्दार्थों के अतिरिक्त शब्दार्थों के साथ असीम रूप से कई स्वयंसिद्ध जोड़े गए हैं (इन्हें एक स्वयंसिद्ध स्कीमा के रूप में आसानी से औपचारिक रूप दिया जा सकता है):

$\exists x_{1}:\exists x_{2}:\lnot (x_{1}=x_{2})$ (अनौपचारिक रूप से, दो अलग-अलग आइटम मौजूद हैं)।

$\exists x_{1}:\exists x_{2}:\exists x_{3}:\lnot (x_{1}=x_{2})\land \lnot (x_{1}=x_{3})\land \lnot (x_{2}=x_{3})$ (अनौपचारिक रूप से, तीन अलग-अलग आइटम मौजूद हैं)।

$...$

अनौपचारिक रूप से, अभिगृहीतों के इस अनंत समुच्चय में कहा गया है कि अपरिमित रूप से अनेक भिन्न वस्तुएँ हैं। हालाँकि, एक अनंत सेट की अवधारणा को सिस्टम के भीतर परिभाषित नहीं किया जा सकता है - अकेले सेट की कार्डिनैलिटी को छोड़ दें।

सिस्टम में कम से कम दो अलग-अलग मॉडल हैं - एक प्राकृतिक संख्या है (किसी भी अन्य असीमित अनंत सेट के लिए आइसोमोर्फिक), और दूसरा वास्तविक संख्या है (सातत्य के कार्डिनैलिटी के साथ किसी अन्य सेट के लिए आइसोमोर्फिक)। वास्तव में, इसमें असीमित संख्या में मॉडल हैं, एक अनंत सेट के प्रत्येक कार्डिनैलिटी के लिए। हालाँकि, इन मॉडलों को अलग करने वाली संपत्ति उनकी प्रमुखता है - एक संपत्ति जिसे सिस्टम के भीतर परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार प्रणाली श्रेणीबद्ध नहीं है। हालांकि इसे पूरा दिखाया जा सकता है।

स्वयंसिद्ध विधि

परिभाषाओं और प्रस्तावों को इस तरह से बताते हुए कि प्रत्येक नए शब्द को पूर्व में पेश किए गए शब्दों से औपचारिक रूप से समाप्त किया जा सकता है, अनंत प्रतिगमन से बचने के लिए आदिम धारणाओं (सिद्धांतों) की आवश्यकता होती है। गणित करने की इस विधि को अभिगृहीत विधि कहते हैं। स्वयंसिद्ध पद्धति के प्रति एक सामान्य दृष्टिकोण तर्कवाद है। अपनी पुस्तक प्रिन्सिपिया मेथेमेटिका में, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड और बर्ट्रेंड रसेल ने यह दिखाने का प्रयास किया कि सभी गणितीय सिद्धांतों को स्वयंसिद्धों के कुछ संग्रह तक कम किया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, सिद्धांतों के एक विशेष संग्रह के प्रस्तावों के शरीर को कम करना गणितज्ञ के शोध कार्यक्रम के अंतर्गत आता है। बीसवीं शताब्दी के गणित में यह बहुत महत्वपूर्ण था, विशेष रूप से समजातीय बीजगणित पर आधारित विषयों में।

एक सिद्धांत में प्रयुक्त विशेष अभिगृहीतों की व्याख्या अमूर्तता के एक उपयुक्त स्तर को स्पष्ट करने में मदद कर सकती है जिसके साथ गणितज्ञ काम करना चाहेंगे। उदाहरण के लिए, गणितज्ञों ने चुना कि रिंग (गणित) को क्रमविनिमेय अंगूठी होना जरूरी नहीं है, जो एमी नोथेर के मूल सूत्रीकरण से भिन्न है। गणितज्ञों ने मूल रूप से तैयार किए गए फेलिक्स हॉसडॉर्फ द्वारा जुदाई स्वयंसिद्ध के बिना स्थलीय रिक्त स्थान पर विचार करने का निर्णय लिया।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत | ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, सेट सिद्धांत पर लागू स्वयंसिद्ध पद्धति का एक परिणाम, सेट-सिद्धांत समस्याओं के उचित सूत्रीकरण की अनुमति देता है और Naive set theory|naive set theory के विरोधाभासों से बचने में मदद करता है। ऐसी ही एक समस्या सातत्य परिकल्पना थी। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, ऐतिहासिक रूप से विवादास्पद पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ, आमतौर पर संक्षिप्त रूप से ZFC है, जहां C का मतलब पसंद है। कई लेखक ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का उपयोग ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के सिद्धांतों को संदर्भित करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ करते हैं। आज ZFC स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का मानक रूप है और इसलिए यह गणित का सबसे सामान्य आधार है।

इतिहास

Further information: History of Mathematics

गणितीय तरीके प्राचीन मिस्र, बेबीलोन, भारत और चीन में कुछ हद तक परिष्कृत रूप से विकसित हुए, जाहिरा तौर पर स्वयंसिद्ध पद्धति का उपयोग किए बिना।

सिकंदरिया के यूक्लिड ने यूक्लिडियन ज्यामिति और संख्या सिद्धांत की सबसे पुरानी मौजूदा स्वयंसिद्ध प्रस्तुति लिखी। उन्नीसवीं शताब्दी में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, वास्तविक विश्लेषण की नींव, जॉर्ज कैंटर के सेट सिद्धांत, नींव पर भगवान फ्रीज का शुक्र है के काम, और डेविड हिल्बर्ट के शोध उपकरण के रूप में स्वयंसिद्ध पद्धति के 'नए' उपयोग सहित कई स्वयंसिद्ध प्रणालियां विकसित की गईं। उदाहरण के लिए, समूह सिद्धांत को पहली बार उस सदी के अंत में एक स्वयंसिद्ध आधार पर रखा गया था। एक बार सिद्धांतों को स्पष्ट कर दिया गया (उदाहरण के लिए, विपरीत तत्वों की आवश्यकता होनी चाहिए), विषय उन अध्ययनों के परिवर्तन समूह मूल के संदर्भ के बिना स्वायत्त रूप से आगे बढ़ सकता है।

मुद्दे

अभिगृहीतों के वर्णनीय संग्रह द्वारा प्रस्तावों के प्रत्येक सुसंगत निकाय को ग्रहण नहीं किया जा सकता है। पुनरावर्तन सिद्धांत में, स्वयंसिद्धों के संग्रह को पुनरावर्ती सेट कहा जाता है यदि कोई कंप्यूटर प्रोग्राम यह पहचान सकता है कि भाषा में दिया गया प्रस्ताव एक प्रमेय है या नहीं। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय | गोडेल की पहली अपूर्णता प्रमेय तब हमें बताती है कि प्रस्तावों के कुछ सुसंगत निकाय हैं जिनमें कोई पुनरावर्ती स्वयंसिद्धता नहीं है। आमतौर पर, कंप्यूटर सिद्धांतों को प्राप्त करने के लिए सिद्धांतों और तार्किक नियमों को पहचान सकता है, और कंप्यूटर यह पहचान सकता है कि सबूत मान्य है या नहीं, लेकिन यह निर्धारित करने के लिए कि प्रमाण के लिए सबूत मौजूद है या नहीं, केवल प्रमाण के लिए इंतजार कर या उत्पन्न होने के लिए घुलनशील है। नतीजा यह है कि किसी को पता नहीं चलेगा कि कौन से प्रस्ताव प्रमेय हैं और स्वयंसिद्ध पद्धति टूट जाती है। प्रस्तावों के ऐसे निकाय का एक उदाहरण प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत है, जो केवल पीनो स्वयंसिद्धों (नीचे वर्णित) द्वारा आंशिक रूप से स्वयंसिद्ध है।

व्यवहार में, प्रत्येक प्रमाण स्वयंसिद्धों पर वापस नहीं जाता है। कभी-कभी, यह भी स्पष्ट नहीं होता है कि कौन से सिद्धांतों का संग्रह सबूत अपील करता है। उदाहरण के लिए, एक संख्या-सैद्धांतिक कथन अंकगणित की भाषा में अभिव्यक्त हो सकता है (अर्थात् पीनो सूक्तियों की भाषा) और एक प्रमाण दिया जा सकता है जो टोपोलॉजी या जटिल विश्लेषण के लिए अपील करता है। यह तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकता है कि क्या कोई अन्य प्रमाण पाया जा सकता है जो पूरी तरह से पीनो स्वयंसिद्धों से प्राप्त होता है।

अभिगृहीतों की अधिक-या-कम मनमाने ढंग से चुनी गई प्रणाली कुछ गणितीय सिद्धांत का आधार है, लेकिन इस तरह की एक मनमानी स्वयंसिद्ध प्रणाली आवश्यक रूप से विरोधाभासों से मुक्त नहीं होगी, और यदि है भी, तो यह किसी भी चीज़ पर प्रकाश डालने की संभावना नहीं है। गणित के दार्शनिक कभी-कभी जोर देकर कहते हैं कि गणितज्ञ मनमाने ढंग से स्वयंसिद्धों का चयन करते हैं, लेकिन यह संभव है कि हालांकि वे मनमाना दिखाई दे सकते हैं जब केवल कटौतीत्मक तर्क के सिद्धांत के दृष्टिकोण से देखा जाता है, यह उपस्थिति उन उद्देश्यों पर एक सीमा के कारण होती है जो निगमनात्मक तर्क कार्य करते हैं। .

उदाहरण: प्राकृतिक संख्याओं का पीनो स्वयंसिद्धीकरण

Main article: Peano axioms

प्राकृतिक संख्याओं की गणितीय प्रणाली 0, 1, 2, 3, 4, ... एक स्वयंसिद्ध प्रणाली पर आधारित है जिसे सबसे पहले 1889 में गणितज्ञ जोसेफ पीनो द्वारा तैयार किया गया था। (उत्तरवर्ती कार्य के लिए संक्षिप्त), प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए:

• एक प्राकृतिक संख्या 0 है।
• प्रत्येक प्राकृत संख्या a का एक परवर्ती होता है, जिसे Sa से निरूपित किया जाता है।
• ऐसी कोई प्राकृत संख्या नहीं है जिसका परवर्ती 0 हो।
• अलग-अलग प्राकृतिक संख्याओं के अलग-अलग उत्तराधिकारी होते हैं: यदि a ≠ b, तो Sa ≠ Sb।
• यदि कोई संपत्ति 0 के पास है और उसके पास मौजूद प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के उत्तराधिकारी के पास भी है, तो यह सभी प्राकृतिक संख्याओं (गणितीय प्रेरण # प्रेरण के सिद्धांत) के पास है।

स्वयंसिद्धकरण

गणित में, अभिगृहीतीकरण, ज्ञान का एक निकाय लेने और इसके स्वयंसिद्धों की ओर पीछे की ओर काम करने की प्रक्रिया है। यह कथनों की एक प्रणाली (अर्थात स्वयंसिद्ध) का सूत्रीकरण है जो कई आदिम शब्दों से संबंधित है - ताकि बूलियन-मूल्यवान फ़ंक्शन का एक सुसंगत प्रमाण निकाय इन कथनों से कटौतीत्मक तर्क प्राप्त कर सके। इसके बाद, किसी भी तर्कवाक्य का गणितीय प्रमाण, सिद्धांत रूप में, इन स्वयंसिद्धों पर वापस जाने योग्य होना चाहिए।

यह भी देखें

• Axiom schema
• Formalism
• Gödel's incompleteness theorems
• Hilbert-style deduction system
• History of logic
• List of logic systems
• Logicism
• Zermelo–Fraenkel set theoryसेट सिद्धांत के लिए एक स्वयंसिद्ध प्रणाली और गणित के लिए आज की सबसे आम नींव।

आगे की पढाई

• "Axiomatic method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein, Axiomatic System, From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Mathworld.wolfram.com & Answers.com