उपव्युत्पन्न

एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ $x_{0}$ (लाल)।

गणित में, सबयौगिक , सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल फलन के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल फलन का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में उपयोग किया जाता है।

माना $f:I\to \mathbb {R}$ वास्तविक रेखा के संवृत अंतराल पर परिभाषित वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फलन बनें थे। ऐसे फलन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन $f(x)=|x|$ जब यह गैर-विभेदित $x=0$ होता है चूँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ $f(x)$ नीले रंग में निरपेक्ष मान फलन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए $x_{0}$ फलन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु $(x_{0},f(x_{0}))$ से होकर जाती है और जो प्रत्येक समिष्ट या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की स्लोप को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा

कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न $f:I\to \mathbb {R}$ बिंदु पर $x_{0}$ संवृत अंतराल में $I$ वास्तविक संख्या $c$ है ऐसा है कि

$$f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})$$

सभी के लिए $x\in I$. माध्य मान प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित) $x_{0}$ उत्तल फलन के लिए खाली समुच्चय विवृत अंतराल है $[a,b]$, जहाँ $a$ और $b$ एकतरफ़ा सीमाएँ हैं

$$a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$$

$$b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.$$

समुच्चय $[a,b]$ सभी उपअवकलन को फलन $f$ पर $x_{0}$, द्वारा चिह्नित $\partial f(x_{0})$ का उपविभेदक कहा जाता है. यदि $f$ उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अतिरिक्त, यदि यह उपविभेदक $x_{0}$ है इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न सम्मिलित है इस प्रकार $\partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}$ और $f$ पर भिन्न $x_{0}$ है

उदाहरण

फलन $f(x)=|x|$ पर विचार करें जो उत्तल है. फिर $[-1,1]$ मूल पर उपविभेदक अंतराल है . किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $x_{0}<0$ सिंगलटन समुच्चय $\{-1\}$ है , जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $x_{0}>0$ सिंगलटन समुच्चय $\{1\}$ है यह साइन फलन के समान है, किन्तु एकल-मूल्यवान $0$ नहीं है , इसके अतिरिक्त सभी संभावित उप-व्युत्पन्न सम्मिलित हैं।

गुण

• एक उत्तल कार्य $f:I\to \mathbb {R}$ पर भिन्न $x_{0}$ है यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन समुच्चय है, जो $\{f'(x_{0})\}$ है .
• एक बिंदु $x_{0}$ उत्तल फलन का वैश्विक न्यूनतम $f$ है यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए क्षैतिज उपस्पर्शरेखा $f$ पर $(x_{0},f(x_{0}))$ रेखा खींच सकता है यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि समिष्टीय न्यूनतम पर अवकलनीय फलन का व्युत्पन्न शून्य है।
• यदि $f$ और $g$ उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं इस प्रकार $\partial f(x)$ और $\partial g(x)$ साथ $x$ कार्यों में से किसी का आंतरिक बिंदु होते है, फिर उपविभेदक $f+g$ है $\partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)$ (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।

उपग्रेडिएंट

उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि $f:U\to \mathbb {R}$ यूक्लिडियन समिष्ट में उत्तल समुच्चय खुला समुच्चय पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फलन $\mathbb {R} ^{n}$ है , वेक्टर $v$ उस समिष्ट को उपग्रेडिएंट $x_{0}\in U$ कहा जाता है यदि किसी के लिए $x\in U$ के पास वह है

$f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0}),$

जहां डॉट डॉट उत्पाद को दर्शाता है। सभी उपग्रेडिएंट्स का समुच्चय $x_{0}$ x₀ पर उपविभेदक कहा जाता है और $\partial f(x_{0})$ द्वारा दर्शाया गया है . उपविभेदक सदैव गैर-रिक्त उत्तल कॉम्पैक्ट समुच्चय होता है।

ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों $f:U\to \mathbb {R}$ को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं समिष्टीय रूप से उत्तल समिष्ट में उत्तल समुच्चय पर $V$. कार्यात्मक $v^{*}$ दोहरे समिष्ट में $V^{*}$ को उपग्रेडिएंट $x_{0}$ $U$ कहा जाता है यदि सभी के लिए $x\in U$,

$f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).$

सभी उपग्रेडिएंट्स का समुच्चय $x_{0}$ पर उपविभेदक $x_{0}$ कहा जाता है और फिर $\partial f(x_{0})$ से दर्शाया गया है . उपविभेदक सदैव उत्तल विवृत समुच्चय होता है। यह खाली समुच्चय हो सकता है; उदाहरण के लिए अनबाउंड ऑपरेटर पर विचार करें, जो उत्तल है, किन्तु उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। यदि $f$ सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।

इतिहास

उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की प्रारंभ 1960 के दशक की प्रारंभ में जीन-जैक्स मोरो और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा प्रस्तुत किया गया था। 1980 के दशक की प्रारंभ में रॉकफेलर आया था।

यह भी देखें

• अशक्त व्युत्पन्न
• उपग्रेडिएंट विधि

संदर्भ

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Convex Analysis and Nonlinear Optimization : Theory and Examples (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

बाहरी संबंध

• "Uses of $\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}$". Stack Exchange. September 18, 2011.