स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल या फिस्क-स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल (रुस्लान स्ट्रैटोनोविच और डोनाल्ड मछली द्वारा एक साथ विकसित) एक स्टोकेस्टिक इंटीग्रल है, जो इटो कैलकुलस|इटो इंटीग्रल का सबसे आम विकल्प है। यद्यपि इटो इंटीग्रल व्यावहारिक गणित में सामान्य पसंद है, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल का उपयोग अक्सर भौतिकी में किया जाता है।

कुछ परिस्थितियों में, स्ट्रैटोनोविच परिभाषा में अभिन्नों में हेरफेर करना आसान होता है। इटो कैलकुलस के विपरीत, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल्स को इस तरह परिभाषित किया गया है कि साधारण कैलकुलस का श्रृंखला नियम लागू होता है।

शायद सबसे आम स्थिति जिसमें इनका सामना किया जाता है वह स्ट्रैटोनोविच स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण (एसडीई) का समाधान है। ये आईटीओ एसडीई के समतुल्य हैं और जब भी एक परिभाषा अधिक सुविधाजनक हो तो दोनों के बीच परिवर्तित करना संभव है।

परिभाषा

स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल को रीमैन अभिन्न के समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जो कि रीमैन योग की एक सीमा (गणित) के रूप में है। लगता है कि $W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ एक वीनर प्रक्रिया है और $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ वीनर प्रक्रिया के प्राकृतिक निस्पंदन (अमूर्त बीजगणित) के लिए एक सेमीमार्टिंगेल्स अनुकूलित प्रक्रिया है। फिर स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल

$\int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}$

एक यादृच्छिक चर है $:\Omega \to \mathbb {R}$ माध्य में अभिसरण#के माध्य में अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है

$\sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)$

विभाजन के एक अंतराल के विभाजन के रूप में $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ का $[0,T]$ 0 की ओर प्रवृत्त होता है (रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल की शैली में)।

गणना

साधारण कैलकुलस की कई एकीकरण तकनीकों का उपयोग स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: यदि $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ तो फिर यह एक सुचारु कार्य है

$\int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})$

और अधिक सामान्यतः, यदि $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ तो फिर यह एक सुचारु कार्य है

$\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).$

यह बाद वाला नियम साधारण कैलकुलस के श्रृंखला नियम के समान है।

संख्यात्मक विधियाँ

स्टोकेस्टिक इंटीग्रल्स को शायद ही कभी विश्लेषणात्मक रूप में हल किया जा सकता है, जिससे स्टोकेस्टिक कैलकुलस संख्यात्मक एकीकरण स्टोकेस्टिक इंटीग्रल्स के सभी उपयोगों में एक महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। विभिन्न संख्यात्मक सन्निकटन स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल में परिवर्तित होते हैं, और इनमें से विविधताओं का उपयोग स्ट्रैटोनोविच एसडीई को हल करने के लिए किया जाता है (Kloeden & Platen 1992). हालाँकि ध्यान दें कि लैंग्विन समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली यूलर योजना (यूलर-मारुयामा विधि) के लिए समीकरण को इटो फॉर्म में होना आवश्यक है।

विभेदक संकेतन

अगर $X_{t},Y_{t}$, और $Z_{t}$ ऐसी स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं हैं

$X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t$

सभी के लिए $T>0$, हम भी लिखते हैं

$\mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.$

इस नोटेशन का उपयोग अक्सर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण (एसडीई) तैयार करने के लिए किया जाता है, जो वास्तव में स्टोकेस्टिक इंटीग्रल्स के बारे में समीकरण हैं। उदाहरण के लिए, यह सामान्य कैलकुलस के अंकन के साथ संगत है

$\mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.$

इटो इंटीग्रल के साथ तुलना

Main article: Itô calculus

इटो कैलकुलस|इटो प्रक्रिया का अभिन्न अंग $X$ वीनर प्रक्रिया के संबंध में $W$ द्वारा निरूपित किया जाता है

$$\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}$$

(सर्कल के बिना). इसकी परिभाषा के लिए, प्रक्रिया के मूल्य को चुनने के अलावा, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल की परिभाषा में ऊपर दी गई समान प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है $X$ प्रत्येक उपअंतराल के बाएँ हाथ के समापन बिंदु पर, अर्थात,

$X_{t_{i}}$ की जगह $(X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2$

यह इंटीग्रल सामान्य श्रृंखला नियम का पालन नहीं करता है जैसा कि स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल करता है; इसके बजाय किसी को थोड़ा अधिक जटिल इटो लेम्मा का उपयोग करना होगा।

इटो और स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल्स के बीच रूपांतरण सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है

$\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},$

कहाँ $f$ दो चरों का कोई निरंतर अवकलनीय फलन है $W$ और $t$ और अंतिम इंटीग्रल एक इटो इंटीग्रल है (Kloeden & Platen 1992, p. 101).

लैंग्विन समीकरण किसी दी गई समस्या में व्याख्या (स्ट्रैटोनोविच या इटो) को निर्दिष्ट करने के महत्व का उदाहरण देते हैं। कल्पना करना $X_{t}$ निरंतर भिन्न प्रसार गुणांक के साथ एक समय-सजातीय इटो प्रसार है $\sigma$, यानी यह स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है $\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$. संबंधित स्ट्रैटोनोविच संस्करण प्राप्त करने के लिए, शब्द $\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ (इसकी व्याख्या में) का अनुवाद करना चाहिए $\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}$ (स्ट्रेटोनोविच व्याख्या में) जैसे

$\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.$

जाहिर है, अगर $\sigma$ से स्वतंत्र है $X_{t}$, दोनों व्याख्याएं लैंग्विन समीकरण के लिए एक ही रूप की ओर ले जाएंगी। उस स्थिति में, शोर शब्द को एडिटिव कहा जाता है (शोर शब्द के बाद से)। $dW_{t}$ केवल एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है)। अन्यथा, यदि $\sigma =\sigma (X_{t})$, इटो फॉर्म में लैंग्विन समीकरण आम तौर पर स्ट्रैटोनोविच फॉर्म से भिन्न हो सकता है, जिस स्थिति में शोर शब्द को गुणक कहा जाता है (यानी, शोर $dW_{t}$ के एक फलन से गुणा किया जाता है $X_{t}$ वह है $\sigma (X_{t})$).

अधिक सामान्यतः, किन्हीं दो सेमीमार्टिंगेल्स के लिए $X$ और $Y$

$\int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},$

कहाँ $[X,Y]_{T}^{c}$ द्विघात भिन्नता का सतत भाग है।

अनुप्रयोगों में स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल्स

स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल में इटो इंटीग्रल की महत्वपूर्ण संपत्ति का अभाव है, जो भविष्य पर ध्यान नहीं देता है। कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में, जैसे कि स्टॉक की कीमतों को मॉडलिंग करना, किसी को केवल पिछली घटनाओं के बारे में जानकारी होती है, और इसलिए इटो व्याख्या अधिक स्वाभाविक है। वित्तीय गणित में आमतौर पर इटो व्याख्या का उपयोग किया जाता है।

हालाँकि, भौतिकी में, स्टोकेस्टिक इंटीग्रल लैंग्विन समीकरणों के समाधान के रूप में होते हैं। लैंग्विन समीकरण एक अधिक सूक्ष्म मॉडल का मोटे दाने वाला संस्करण है; विचाराधीन समस्या के आधार पर, स्ट्रैटोनोविच या इटो व्याख्या या इससे भी अधिक विदेशी व्याख्याएं जैसे इज़ोटेर्मल व्याख्या उपयुक्त हैं। स्ट्रेटोनोविच व्याख्या भौतिक विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली व्याख्या है।

वोंग-ज़काई प्रमेय में कहा गया है कि गैर-सफेद शोर स्पेक्ट्रम वाले भौतिक सिस्टम एक सीमित शोर सहसंबंध समय की विशेषता रखते हैं $\tau$ सीमा में स्ट्रैटनोविच व्याख्या में सफेद शोर के साथ लैंग्विन समीकरणों द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है $\tau$ शून्य हो जाता है.

क्योंकि स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस सामान्य श्रृंखला नियम को संतुष्ट करता है, स्ट्रैटोनोविच अर्थ में स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण (एसडीई) केवल विभेदक मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित करने के लिए अधिक सरल हैं, न कि केवल $\mathbb {R} ^{n}$. इटो कैलकुलस का पेचीदा श्रृंखला नियम इसे मैनिफोल्ड्स के लिए अधिक अजीब विकल्प बनाता है।

एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या और सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत

Main article: Supersymmetric theory of stochastic dynamics

एसडीई के सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, कोई एसडीई द्वारा निर्धारित स्टोकेस्टिक प्रवाह द्वारा चरण स्थान के बाहरी बीजगणित पर प्रेरित पुलबैक के औसत से प्राप्त विकास ऑपरेटर पर विचार करता है। इस संदर्भ में, एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या का उपयोग करना स्वाभाविक है।

संदर्भ

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1.
• Gardiner, Crispin W. (2004). Handbook of Stochastic Methods (3 ed.). Springer, Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-20882-8.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: The early years, 1880–1970". IMS Lecture Notes Monograph. 45: 1–17. CiteSeerX 10.1.1.114.632.
• Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54062-5..