अत्यंत न्यूनतम सिद्धांत
मॉडल सिद्धांत में - गणितीय तर्क की एक शाखा - एक न्यूनतम संरचना एक अनंत संरचना (गणितीय तर्क) है | एक-क्रमबद्ध संरचना, जैसे कि इसके डोमेन का प्रत्येक उपसमुच्चय जो निश्चित सेट है, या तो परिमित या सह-परिमित है। एक सशक्त न्यूनतम सिद्धांत एक संपूर्ण सिद्धांत है जिसके सभी मॉडल न्यूनतम हैं। एक दृढ़तापूर्वक न्यूनतम संरचना एक ऐसी संरचना है जिसका सिद्धांत दृढ़ता से न्यूनतम है।
इस प्रकार एक संरचना केवल तभी न्यूनतम होती है जब उसके डोमेन के पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय को टाला नहीं जा सकता है, क्योंकि समानता की शुद्ध भाषा में वे पहले से ही पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित हैं। मजबूत न्यूनतमता वर्गीकरण सिद्धांत और स्थिर सिद्धांत के नए क्षेत्र में शुरुआती धारणाओं में से एक थी जिसे मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय द्वारा खोला गया था। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध संरचनाओं पर मॉर्ले की प्रमेय।
दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांतों के गैर-तुच्छ मानक उदाहरण अनंत-आयामी वेक्टर स्थानों के एक-क्रमबद्ध सिद्धांत और सिद्धांत एसीएफ हैंp विशेषता (क्षेत्र) पी के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों की। उदाहरण के तौर पर ACFp दिखाता है, न्यूनतम संरचना के डोमेन के वर्ग के पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय अपेक्षाकृत जटिल (बीजगणितीय वक्र) हो सकते हैं।
अधिक आम तौर पर, किसी संरचना का एक उपसमुच्चय जिसे सूत्र φ(x) की प्राप्ति के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, उसे 'न्यूनतम सेट' कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित उपसमुच्चय या तो परिमित या सह-परिमित है। यदि यह सभी प्रारंभिक एक्सटेंशनों में भी सत्य है तो इसे 'दृढ़ता से न्यूनतम सेट' कहा जाता है।
मॉडल-सैद्धांतिक अर्थ में बीजगणितीय क्लोजर द्वारा दिए गए बंद करने वाला ऑपरेटर से सुसज्जित एक दृढ़ता से न्यूनतम सेट, एक अनंत मैट्रोइड, या प्रीजियोमेट्री (मॉडल सिद्धांत) है। एक दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांत का एक मॉडल मैट्रोइड के रूप में इसके आयाम द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांतों को दृढ़ता से न्यूनतम सेट द्वारा नियंत्रित किया जाता है; यह तथ्य मॉर्ले के प्रमेय की व्याख्या करता है (और इसके प्रमाण में उपयोग किया जाता है)। बोरिस ज़िल्बर ने अनुमान लगाया कि एकमात्र प्रीजियोमेट्री जो दृढ़ता से न्यूनतम सेट से उत्पन्न हो सकती हैं, वे वेक्टर रिक्त स्थान, प्रक्षेप्य स्थान, या बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं। इस अनुमान का खंडन एहुद ह्रुशोव्स्की ने किया था, जिन्होंने परिमित संरचनाओं से नई दृढ़ता से न्यूनतम संरचनाएं बनाने के लिए ह्रुशोव्स्की निर्माण के रूप में ज्ञात एक विधि विकसित की थी।
यह भी देखें
संदर्भ
- Baldwin, John T.; Lachlan, Alistair H. (1971), "On Strongly Minimal Sets", The Journal of Symbolic Logic, The Journal of Symbolic Logic, Vol. 36, No. 1, 36 (1): 79–96, doi:10.2307/2271517, JSTOR 2271517
- Hrushovski, Ehud (1993), "A new strongly minimal set", Annals of Pure and Applied Logic, 62 (2): 147, doi:10.1016/0168-0072(93)90171-9
