गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन

गोम्पर्ट्ज़ वक्र या गोम्पर्ट्ज़ फलन समय श्रृंखला के लिए गणितीय प्रारूप का मुख्य प्रकार है, जिसका नाम बेंजामिन गोम्पर्ट्ज़ (1779-1865) के नाम पर रखा गया है। यह सिग्मॉइड फलन है जो निश्चित समय अवधि के प्रारंभ और अंत में विकास को सबसे धीमा होने के रूप में वर्णित करता है। इस प्रकार के फलन के दाईं ओर या भविष्य के अनंतस्पर्शी को बाईं ओर या कम मूल्यवान एसिम्प्टोट की तुलना में वक्र द्वारा बहुत धीरे-धीरे संपर्क किया जाता है। यह लॉजिस्टिक फलन के विपरीत है, जिसमें दोनों एसिम्प्टोट्स को वक्र द्वारा सममित रूप से संपर्क किया जाता है। यह सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फलन का विशेष स्थिति है। इस प्रकार फलन को मूल रूप से मानव मृत्यु दर का वर्णन करने के लिए डिज़ाइन किया गया था, लेकिन बाद में आबादी का विवरण देने के संबंध में इसे जीव विज्ञान में लागू करने के लिए संशोधित किया गया है।

इतिहास

बेंजामिन गोम्पर्ट्ज़ (1779-1865) लंदन में मुंशी थे, जो मुख्य रूप से बहुत शिक्षित थे। उन्हें 1819 में रॉयल सोसाइटी का साथी चुना गया था। यह फलन पहली बार उनके 16 जून, 1825 के पेपर में पृष्ठ 518 के निचले भाग में प्रस्तुत किया गया था। इस प्रकार गोम्पर्ट्ज़ फलन ने इसके समय-सूची में डेटा के महत्वपूर्ण संग्रह को एकल फलन में घटा दिया गया था। यह इस धारणा पर आधारित है कि मृत्यु दर व्यक्ति की आयु के रूप में तेजी से बढ़ती है। इसके परिणामी गोम्पर्ट्ज़ फलन किसी दिए गए उम्र में रहने वाले व्यक्तियों की संख्या के लिए उम्र के कार्य के रूप में है।

मृत्यु दर के कार्यात्मक प्रारूप के निर्माण पर पहले का कार्य फ्रांसीसी गणितज्ञ अब्राहम डी मोइवरे (1667-1754) ने 1750 के दशक में किया था। चूंकि, डी मोइवर ने माना कि मृत्यु दर स्थिर थी। जिसके कारण 1860 में अंग्रेजी अभ्यारण्य और गणितज्ञ विलियम मेकहैम (1826-1891) के द्वारा गोम्पर्ट्ज़ के कार्य का विस्तार प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने गोम्पर्ट्ज़ की तेजी से बढ़ती निरंतर पृष्ठभूमि मृत्यु दर को जोड़ते हैं।

गोम्पर्ट्ज़ वक्रों के ग्राफ़, दूसरों को स्थिर रखते हुए ए, बी, सी में से एक को अलग करने का प्रभाव दिखाते हैं

Varying $a$

Varying $b$

Varying $c$

सूत्र

$$f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}$$

जहाँ

• a स्पर्शोन्मुख है, क्योंकि ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• b विस्थापन को x-अक्ष के साथ प्रदर्शित करता है, जहाँ पर ग्राफ़ को बाएँ या दाएँ अनुवाद करता है।
• c विकास दर (y स्केलिंग) को प्रदर्शित करता है।
• ई ई (गणितीय स्थिरांक) या यूलर की संख्या (ई = 2.71828 ...) है।

गुण

इस प्रकार इसे हल करके टी के लिए ${\textstyle f(t)=a/2}$ अर्ध बिंदु पाया जाता है ।

$$t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}$$

वृद्धि की अधिकतम दर का बिंदु टी के लिए ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$ (${\textstyle 0.368a}$) को हल करके पाया जाता है ।

$$t_{max}=\ln(b)/c$$

${\textstyle t_{max}}$ वृद्धि है।

$$\max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}$$

व्युत्पत्ति

फलन वक्र को मृत्यु दर के गोम्पर्ट्ज़-मेखम नियम से प्राप्त किया जा सकता है, जो बताता है कि पूर्ण मृत्यु दर (क्षय) वर्तमान आकार के साथ तेजी से गिरती है। गणितीय रूप से,

$$k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}$$

जहाँ

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$ विकास दर है
• k मनमाना स्थिरांक है।

उदाहरण

गोम्पर्ट्ज़ वलय के उपयोग के उदाहरणों में उपस्थित हैं:

• चल दूरभाष का उपयोग, जहां प्रारंभ में लागत अधिक थी, इसलिए तेजी धीमी थी, इसके पश्चात तेजी से विकास की अवधि, इसके बाद संतृप्ति तक पहुंचने की गति धीमी हो गई
• एक सीमित स्थान में जनसंख्या, जैसे-जैसे जन्म दर पहले बढ़ती है और फिर धीमी होती है क्योंकि संसाधन की सीमा समाप्त हो जाती है
• ट्यूमर के विकास का प्रारूपीकरण हैं।
• वित्त में प्रारूपीकरण बाजार प्रभाव और इस प्रकार समग्र उप-राष्ट्रीय ऋण गतिशील रहती हैं।
• शिकार-शिकार संबंधों के संबंध में शिकार के जानवरों में जनसंख्या वृद्धि का विवरण हैं।
• इस आबादी के भीतर जीवाणु कोशिकाओं की प्रारूपीकरण करना होता हैं।
• बीमारी के प्रसार की जाँच करता हैं।
• अंग्रेजी विकिपीडिया के आकार को गोम्पर्ट्ज़ फलन और कुछ हद तक संशोधित फलन के साथ प्रारूप किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

गोम्पर्ट्ज़ वक्र

जनसंख्या जीव विज्ञान विशेष रूप से गोम्पर्ट्ज़ फलन से संबंधित है। यह कार्य विशेष रूप से जीवों की निश्चित आबादी के तेजी से विकास का वर्णन करने में उपयोगी होता है, जबकि वहन क्षमता (पठार सेल / जनसंख्या संख्या) निर्धारित होने के बाद इसके अंतिम क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के लिए भी सक्षम होने के कारण प्राप्त होता हैं।

इसे निम्नानुसार प्रारूपीकरण किया गया है:

$$N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))$$

जहाँ:

• ${\textstyle t}$ यह समय है।
• ${\textstyle N_{0}}$ कोशिकाओं का प्रारंभिक घनत्व है।
• ${\textstyle N_{I}}$ पठारी कोशिका/जनसंख्या घनत्व है।
• ${\textstyle b}$ ट्यूमर के विकास की प्रारंभिक दर है।

पठार सेल संख्या का यह कार्य विचार वास्तविक जीवन जनसंख्या गतिशीलता की सटीक नकल करने में उपयोगी बनाता है। फलन सिग्मॉइड फलन का भी पालन करता है, जो आम तौर पर जनसंख्या वृद्धि का विवरण देने का सबसे व्यापक रूप से स्वीकृत सम्मेलन है। इसके अतिरिक्त, कार्य प्रारंभिक विकास दर का उपयोग करता है, जो सामान्यतः बैक्टीरिया और कैंसर कोशिकाओं की आबादी में देखा जाता है, जो लॉग चरण से गुजरते हैं और संख्या में तेजी से बढ़ते हैं। इसकी लोकप्रियता के अतिरिक्त, जनसंख्या जीव विज्ञान की स्थिति में मरीज के साथ उपस्थित अलग-अलग सूक्ष्म जगत, या अलग-अलग पर्यावरणीय कारकों को देखते हुए, ट्यूमर के विकास की प्रारंभिक दर का कार्य पूर्व निर्धारित करना कठिन है। कैंसर रोगियों में, आयु, आहार, जातीयता, आनुवंशिक पूर्व-स्वभाव, मेटाबोलिक, जीवन शैली और रूप-परिवर्तन की उत्पत्ति जैसे कारक ट्यूमर के विकास दर को निर्धारित करने में भूमिका निभाते हैं। इस प्रकार वहन क्षमता भी इन कारकों के आधार पर बदलने की उम्मीद है, और इसलिए ऐसी घटनाओं का वर्णन करना कठिन होता है।

मेटाबोलिक वक्र

मेटाबोलिक वक्र विशेष रूप से जीव के भीतर मेटाबोलिक की दर के लिए लेखांकन से संबंधित है। यह फलन ट्यूमर कोशिकाओं की निगरानी के लिए लागू किया जा सकता है, इस प्रकार मेटाबोलिक दर गतिशील रहती है और बहुत तन्यता युक्त होता है, जिससे यह कैंसर के विकास का विवरण देने में अधिक सटीक हो जाता है। इस प्रकार की उपापचयी वक्र उस ऊर्जा को ध्यान में रखता है जो शरीर ऊतक को बनाए रखने और बनाने में प्रदान करता है। इस ऊर्जा को मेटाबोलिक के रूप में माना जा सकता है और कोशिकीय विभाजन में विशिष्ट पैटर्न का अनुसरण करता है। इसके अलग-अलग द्रव्यमान और विकास के समय के अतिरिक्त, इस तरह के विकास को प्रारूप करने के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग किया जा सकता है। सभी टैक्सोन समान विकास पैटर्न साझा करते हैं और इसके परिणामस्वरूप यह प्रारूप सेलुलर डिवीजन को ट्यूमर के विकास की नींव मानता है।

$$B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)$$

• ${\textstyle B}$ = ऊर्जा जीव आराम पर उपयोग करता है।
• ${\textstyle N_{C}}$ = दिए गए जीव में कोशिकाओं की संख्या को प्रदर्शित करता हैं।
• ${\textstyle B_{C}}$= व्यक्तिगत कोशिका की मेटाबोलिक दर को प्रदर्शित करता हैं।
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= उपस्थिता ऊतक (जीव विज्ञान) को बनाए रखने के लिए आवश्यक ऊर्जा को दर्शाता हैं।
• ${\textstyle E_{C}}$= व्यक्तिगत कोशिका से नए ऊतक बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का उपयोग करता हैं।

आराम और मेटाबोलिक दर के कार्य में उपयोग की जाने वाली ऊर्जा के बीच का अंतर प्रारूप को विकास की दर को अधिक सटीक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस प्रकार की ऊर्जा के लिए ऊतक को बनाए रखने के लिए उपयोग की जाने वाली ऊर्जा से कम होती है, और साथ में उपस्थिता ऊतक को बनाए रखने के लिए आवश्यक ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। इन दो कारकों का उपयोग, नए ऊतक बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा के साथ, विकास की दर को व्यापक रूप से मानचित्रित करता है, और इसके अतिरिक्त, अंतराल चरण का सटीक प्रतिनिधित्व करता है।

ट्यूमर का बढ़ना

1960 के दशक में ए.के. ठाकुर ने ट्यूमर के विकास के आंकड़ों को फिट करने के लिए पहली बार सफलतापूर्वक गोम्पर्ट्ज़ वक्र का उपयोग किया था। वास्तव में, ट्यूमर सीमित स्थान में बढ़ने वाली सेलुलर आबादी है जहां पोषक तत्वों की उपलब्धता सीमित है। ट्यूमर के आकार को एक्स (टी) के रूप में नकारते हुए गोम्पर्ट्ज़ वक्र को निम्नानुसार लिखना उपयोगी होता है:

$X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)$

जहाँ:

• ${\textstyle X(0)}$ प्रारंभिक अवलोकन समय पर ट्यूमर का आकार है,
• ${\textstyle K}$ वहन क्षमता है, अर्ताथ उपलब्ध पोषक तत्वों के साथ अधिकतम आकार तक पहुंचा जा सकता है। वास्तव में यह है:
  $$\lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K$$

X (0)> 0 पर स्वतंत्र रूप से। ध्यान दें कि, चिकित्सा आदि के अभाव में सामान्यतः यह X(0) <K होता है, जबकि, उपचारों की उपस्थिति में, यह X(0)> K हो सकता है,

• ${\textstyle \alpha }$ कोशिकाओं की प्रसार क्षमता से संबंधित निरंतर है।
• ${\textstyle \log()}$ प्राकृतिक लॉग को संदर्भित करता है।

यह दिखाया जा सकता है कि X (t) की गतिशीलता गोम्पर्ट्ज़ अंतर समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है:

$$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)$$

अर्ताथ फॉर्म का है जब टूटा हुआ है:

$$X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,$$

F(X) सेलुलर आबादी की तात्कालिक प्रसार दर है, जिसकी घटती प्रकृति सेलुलर आबादी में वृद्धि के कारण पोषक तत्वों के लिए प्रतिस्पर्धा के कारण होती है, इसी प्रकार रसद विकास दर के लिए यह उपयोगी हैं। चूंकि, मूलभूत अंतर है: लॉजिस्टिक स्थिति में छोटी सेलुलर आबादी के लिए प्रसार दर परिमित है:

$$F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty$$

जबकि गोम्पर्ट्ज़ मामले में प्रसार दर असीम है:

$$\lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty$$

जैसा कि स्टील ने देखा था और व्हील्डन द्वारा, कोशिकीय आबादी की प्रसार दर अंततः कोशिका विभाजन समय से बंधी होती है। इस प्रकार, यह प्रमाण हो सकता है कि छोटे ट्यूमर के विकास को प्रारूप करने के लिए गोम्पर्ट्ज़ समीकरण अच्छा नहीं है। इसके अतिरिक्त, हाल ही में यह देखा गया है कि प्रतिरक्षा प्रणाली के साथ बातचीत सहित, गोम्पर्ट्ज़ और असीमित एफ (0) की विशेषता वाले अन्य कानून प्रतिरक्षा निगरानी की संभावना को समाप्त कर देंगे।

फ़ोर्नाल्स्की एट अल द्वारा सैद्धांतिक अध्ययन करते हैं। इसके कारण बहुत से प्रारंभिक चरणों को छोड़कर जहां परवलयिक कार्य अधिक उपयुक्त है, इसके कारण कैंसर के विकास के लिए गोम्पर्ट्ज़ वक्र का जैव-भौतिक आधार दिखाया गया है। उन्होंने यह भी पाया कि गोम्पर्ट्ज़ वक्र कैंसर की गतिशीलता के कार्यों के व्यापक परिवार के बीच सबसे विशिष्ट स्थिति का वर्णन करता है।

गोम्पर्ट्ज़ विकास और रसद विकास

गोम्पर्ट्ज़ अंतर समीकरण

$$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)$$

सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फलन को सामान्यीकृत लॉजिस्टिक डिफ़रेंशियल समीकरण की सीमित स्थिति है।

$$X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)$$

(जहाँ $\nu >0$ धनात्मक वास्तविक संख्या है) चूंकि

$$\lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)$$

.

इसके अतिरिक्त, सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फलन के ग्राफ़ में विभक्ति बिंदु होता है,

जब

$$X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K$$

और गोम्पर्ट्ज़ फलन के ग्राफ़ में इस प्रकार उपलब्ध होता हैं,

जब

$$X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }$$

.

गोम्प-पूर्व विकास का नियम

उपरोक्त विचारों के आधार पर, व्हील्डन ट्यूमर के विकास का गणितीय प्रारूप प्रस्तावित किया था, जिसे गोम्प-एक्स प्रारूप कहा जाता है, जो गोम्पर्ट्ज़ कानून को थोड़ा संशोधित करता है। गोम्प-एक्स प्रारूप में यह माना जाता है कि प्रारंभ में संसाधनों के लिए कोई प्रतिस्पर्धा नहीं है, जिससे कि घातीय कानून का पालन करते हुए सेलुलर आबादी का विस्तारित होता हैं। चूंकि महत्वपूर्ण आकार सीमा $X_{C}$ है, यह इस प्रकार हैं कि इसके लिए $X>X_{C}$ के समान हैं। इसकी यह धारणा हैं कि संसाधनों के लिए कोई प्रतिस्पर्धा नहीं है, अधिकांश परिदृश्यों में सही है। चूंकि यह कारकों को सीमित करने से प्रभावित हो सकता है, जिसके लिए उप-कारक चर के निर्माण की आवश्यकता होती है।

विकास गोम्पर्ट्ज़ नियम का पालन करता है:

$$F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)$$

जिससे कि:

$$X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).$$

यहाँ कुछ संख्यात्मक अनुमान हैं जिसके लिए $X_{C}$:

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$ मानव ट्यूमर के लिए
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$ मुरीन (माउस) ट्यूमर के लिए

व्युत्क्रम गोम्पर्ट्ज़ फलन

गोम्पर्ट्ज़ फलन के लिए पत्राचार इस प्रकार है, जिसे द्विभाजन के रूप में भी जाना जाता है और इसलिए इसका व्युत्क्रम फलन स्पष्ट रूप से पारंपरिक कार्यात्मक संकेतन में एकल निरंतर कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रपत्र के गोम्पर्ट्ज़ फलन को देखते हुए:

$$f(t)=a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d$$

जहाँ

• d आधार क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है, क्योंकि ${\textstyle \lim _{t\to -\infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{-\infty }+d=d}$
• a, आधार से दूसरे स्पर्शोन्मुख तक की दूरी है, क्योंकि ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{0}+d=a+d}$
• b विस्थापन को x-अक्ष के साथ स्थित करता है, जिसे ग्राफ़ द्वारा बाएँ या दाएँ ओर अनुवाद करता है)।
• c विकास दर (y स्केलिंग) स्थित करता है।
• ई ई है (गणितीय स्थिरांक) या यूलर की संख्या (ई = 2.71828 ...) के समान हैं।

इसका व्युत्क्रम फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$f^{-1}(t)={\frac {1}{c}}\left[b-\ln \left(\ln \left({\frac {a}{t-d}}\right)\right)\right]$$

व्युत्क्रम फलन केवल वास्तविक संख्या के लिए इस स्थिति में इसके दो स्पर्शोन्मुखों के बीच संख्यात्मक मान उत्पन्न करता है, जो अब फ़ॉरवर्ड गोम्पर्ट्ज़ फलन के समान क्षैतिज के अतिरिक्त लंबवत रहता हैं। इस प्रकार ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख द्वारा परिभाषित सीमा के बाहर, व्युत्क्रम फलन को ऋणात्मक संख्याओं के लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता होती है। इसके लिए और अन्य कारणों से यह अधिकांशतः अव्यावहारिक होता है कि व्युत्क्रम गोम्पर्ट्ज़ फलन को सीधे डेटा में फिट करने का प्रयास करें, खासकर यदि किसी के पास केवल अपेक्षाकृत कुछ डेटा बिंदु उपलब्ध हों जिससे फिट की गणना की जा सके। इसके अतिरिक्त कोई डेटा के ट्रांसपोज़्ड रिलेशनशिप को फ़ॉरवर्ड गोम्पर्ट्ज़ फलन में फिट कर सकता है, और फिर ऊपर दिए गए दोनों के बीच के संबंध का उपयोग करके इसे समतुल्य व्युत्क्रम फलन में परिवर्तित कर सकता है।

इस प्रकार प्रतिलोम फलन के अनेक उपयोग हैं। उदाहरण के लिए कुछ एलिसा में मानक वक्र होता है, जिसकी सांद्रता गोम्पर्ट्ज़ फलन द्वारा उनके ऑप्टिकल घनत्व के लिए बहुत अच्छी तरह से फिट हो सकती है। इसके कारम मानकों के गोम्पर्ट्ज़ फलन के लिए फिट होने के पश्चात उनके मापा ऑप्टिकल घनत्व से परख में प्रमाणों की अज्ञात एकाग्रता की गणना गोम्पर्ट्ज़ फलन के व्युत्क्रम का उपयोग करके प्राप्त की जाती है जो मानक वक्र को फ़िट करते समय उत्पन्न हुई थी।

यह भी देखें

• गोम्पर्ट्ज़ वितरण
• विकास वक्र (सांख्यिकी)
• वॉन बर्टलान्फ़ी फलन
• सिग्मॉइड फलन

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Gompertz Curve". MathWorld.
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth