त्रुटि विश्लेषण (गणित)

गणित में, त्रुटि विश्लेषण त्रुटि के प्रकार और मात्रा, या अनिश्चितता का अध्ययन है, जो किसी समस्या के समाधान में मौजूद हो सकता है। यह मुद्दा संख्यात्मक विश्लेषण और सांख्यिकी जैसे व्यावहारिक क्षेत्रों में विशेष रूप से प्रमुख है।

संख्यात्मक मॉडलिंग में त्रुटि विश्लेषण

संख्यात्मक सिमुलेशन या वास्तविक प्रणालियों के मॉडलिंग में, त्रुटि विश्लेषण मॉडल के आउटपुट में माध्य के बारे में मॉडल भिन्नता के पैरामीटर के रूप में परिवर्तन से संबंधित है।

उदाहरण के लिए, दो चरों के एक फ़ंक्शन के रूप में तैयार की गई प्रणाली में $z\,=\,f(x,y).$ त्रुटि विश्लेषण संख्यात्मक त्रुटियों के प्रसार से संबंधित है $x$ और $y$ (लगभग औसत मान ${\bar {x}}$ और ${\bar {y}}$) त्रुटि करना $z$ (एक माध्य के आसपास ${\bar {z}}$). संख्यात्मक विश्लेषण में, त्रुटि विश्लेषण में अग्र त्रुटि विश्लेषण और पश्च त्रुटि विश्लेषण दोनों शामिल होते हैं।

अग्रेषित त्रुटि विश्लेषण

फॉरवर्ड एरर विश्लेषण में किसी फ़ंक्शन का विश्लेषण शामिल होता है $z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})$ जो किसी फलन का एक सन्निकटन (आमतौर पर एक परिमित बहुपद) होता है $z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})$ सन्निकटन में त्रुटि की सीमा निर्धारित करने के लिए; यानी, ढूंढना $\epsilon$ ऐसा है कि $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ मान्य संख्याओं में आगे की त्रुटियों का मूल्यांकन वांछित है।

पिछड़ा त्रुटि विश्लेषण

बैकवर्ड त्रुटि विश्लेषण में सन्निकटन फ़ंक्शन का विश्लेषण शामिल है $z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),$ मापदंडों पर सीमाएं निर्धारित करने के लिए $a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}$ ऐसा कि परिणाम $z'\,=\,z.$ बैकवर्ड त्रुटि विश्लेषण, जिसका सिद्धांत जेम्स एच. विल्किंसन द्वारा विकसित और लोकप्रिय बनाया गया था, का उपयोग यह स्थापित करने के लिए किया जा सकता है कि संख्यात्मक फ़ंक्शन को कार्यान्वित करने वाला एल्गोरिदम संख्यात्मक रूप से स्थिर है। मूल दृष्टिकोण यह दिखाना है कि यद्यपि राउंडऑफ़ त्रुटियों के कारण गणना परिणाम बिल्कुल सही नहीं होगा, यह थोड़ा परेशान इनपुट डेटा के साथ नजदीकी समस्या का सटीक समाधान है। यदि इनपुट डेटा में अनिश्चितता के क्रम पर आवश्यक गड़बड़ी छोटी है, तो परिणाम कुछ अर्थों में उतने ही सटीक होंगे जितने डेटा के योग्य हैं। फिर एल्गोरिदम को संख्यात्मक स्थिरता#आगे, पीछे और मिश्रित स्थिरता के रूप में परिभाषित किया गया है। स्थिरता किसी दी गई संख्यात्मक प्रक्रिया की पूर्णांक त्रुटियों के प्रति संवेदनशीलता का एक माप है; इसके विपरीत, किसी दी गई समस्या के लिए किसी फ़ंक्शन की स्थिति संख्या उसके इनपुट में छोटी गड़बड़ी के प्रति फ़ंक्शन की अंतर्निहित संवेदनशीलता को इंगित करती है और समस्या को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्यान्वयन से स्वतंत्र होती है।

अनुप्रयोग

ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम

Main article: Global positioning system

ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम का उपयोग करके गणना की गई त्रुटियों का विश्लेषण यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि जीपीएस कैसे काम करता है, और यह जानने के लिए कि किस परिमाण की त्रुटियों की अपेक्षा की जानी चाहिए। ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम रिसीवर घड़ी त्रुटियों और अन्य प्रभावों के लिए सुधार करता है लेकिन अभी भी अवशिष्ट त्रुटियां हैं जिन्हें ठीक नहीं किया गया है। ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम (जीपीएस) 1970 के दशक में संयुक्त राज्य अमेरिका के रक्षा विभाग (डीओडी) द्वारा बनाया गया था। अमेरिकी सेना और आम जनता दोनों द्वारा नेविगेशन के लिए इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा है।

आण्विक गतिशीलता सिमुलेशन

आणविक गतिशीलता (एमडी) सिमुलेशन में, चरण स्थान के अपर्याप्त नमूने या कभी-कभार होने वाली घटनाओं के कारण त्रुटियां होती हैं, इससे माप में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के कारण सांख्यिकीय त्रुटि होती है।

की एक श्रृंखला के लिए M उतार-चढ़ाव वाली संपत्ति का माप A, माध्य मान है:

$$\langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.$$

जब ये M माप स्वतंत्र हैं, माध्य का विचरण ⟨A⟩ है:

$$\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),$$

लेकिन अधिकांश एमडी सिमुलेशन में, मात्रा के बीच सहसंबंध होता है A अलग-अलग समय पर, इसलिए माध्य का प्रसरण ⟨A⟩ को कम करके आंका जाएगा क्योंकि स्वतंत्र मापों की प्रभावी संख्या वास्तव में इससे कम है M. ऐसी स्थितियों में हम विचरण को इस प्रकार पुनः लिखते हैं:

$$\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],$$

कहाँ $\phi _{\mu }$ द्वारा परिभाषित ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन है

$$\phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.$$

फिर हम त्रुटि बार का अनुमान लगाने के लिए ऑटो सहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं। सौभाग्य से, हमारे पास ब्लॉक औसत पर आधारित एक बहुत सरल विधि है।

वैज्ञानिक डेटा सत्यापन

Main article: Scientific misconduct § Exposure of fraudulent data

मापों में आम तौर पर थोड़ी मात्रा में त्रुटि होती है, और एक ही आइटम के बार-बार माप से आम तौर पर रीडिंग में थोड़ा अंतर आएगा। इन अंतरों का विश्लेषण किया जा सकता है, और कुछ ज्ञात गणितीय और सांख्यिकीय गुणों का पालन किया जा सकता है। यदि डेटा का एक सेट परिकल्पना के प्रति बहुत वफादार प्रतीत होता है, यानी, त्रुटि की मात्रा जो सामान्य रूप से ऐसे मापों में होती है वह प्रकट नहीं होती है, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि डेटा जाली हो सकता है। अकेले त्रुटि विश्लेषण आम तौर पर यह साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि डेटा को गलत ठहराया गया है या गढ़ा गया है, लेकिन यह कदाचार के संदेह की पुष्टि करने के लिए आवश्यक सहायक साक्ष्य प्रदान कर सकता है।

यह भी देखें

• त्रुटि विश्लेषण (भाषाविज्ञान)
• त्रुटि पट्टी
• आँकड़ों में त्रुटियाँ एवं अवशेष
• अनिश्चितता का प्रसार
• मान्य संख्याएँ

बाहरी संबंध

• [1] All about error analysis.