त्रुटि विश्लेषण (गणित)

गणित में, त्रुटि विश्लेषण त्रुटि के प्रकार और मात्रा, या अनिश्चितता का अध्ययन है, जो किसी समस्या के समाधान में उपस्थित हो सकता है। यह उद्देश्य संख्यात्मक विश्लेषण और सांख्यिकी जैसे व्यावहारिक क्षेत्रों में विशेष रूप से प्रमुख है।

संख्यात्मक मॉडलिंग में त्रुटि विश्लेषण

संख्यात्मक सिमुलेशन या वास्तविक प्रणालियों के मॉडलिंग में, त्रुटि विश्लेषण मॉडल के आउटपुट में माध्य के बारे में मॉडल भिन्नता के मापदंड के रूप में परिवर्तन से संबंधित है।

उदाहरण के लिए, दो वेरिएबल्स के एक फलन के रूप में तैयार की गई प्रणाली में $z\,=\,f(x,y).$ त्रुटि विश्लेषण $x$ और $y$ में संख्यात्मक त्रुटियों के प्रसार से संबंधित है (लगभग औसत मान ${\bar {x}}$ और ${\bar {y}}$)) से $z$ में त्रुटि (लगभग एक माध्य ${\bar {z}}$).

संख्यात्मक विश्लेषण में, त्रुटि विश्लेषण में अग्र त्रुटि विश्लेषण और पश्च त्रुटि विश्लेषण दोनों सम्मिलित होते हैं।

अग्रेषित त्रुटि विश्लेषण

अग्रेषित त्रुटि विश्लेषण में एक फलन $z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})$ का विश्लेषण सम्मिलित होता है जो सन्निकटन में त्रुटि की सीमा निर्धारित करने के लिए एक फलन $z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})$ का एक सन्निकटन (सामान्यतः एक परिमित बहुपद) होता है; अर्थात, $\epsilon$ को इस तरह खोजना कि $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ मान्य संख्याओं में आगे की त्रुटियों का मूल्यांकन वांछित होता है।

बैकवर्ड त्रुटि विश्लेषण

बैकवर्ड त्रुटि विश्लेषण में पैरामीटर्स पर सीमाएं निर्धारित करने के लिए सन्निकटन फलन $z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),$ का विश्लेषण सम्मिलित है। $a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}$ ऐसा कि परिणाम $z'\,=\,z.$

बैकवर्ड त्रुटि विश्लेषण, जिसका सिद्धांत जेम्स एच. विल्किंसन द्वारा विकसित और लोकप्रिय बनाया गया था, का उपयोग यह स्थापित करने के लिए किया जा सकता है कि संख्यात्मक फलन को कार्यान्वित करने वाला एल्गोरिदम संख्यात्मक रूप से स्थिर है। मूल दृष्टिकोण यह दिखाना है कि यद्यपि राउंडऑफ़ त्रुटियों के कारण गणना परिणाम पुर्णतः सही नहीं होगा, यह थोड़ा परेशान इनपुट डेटा के साथ निकट समस्या का स्पष्ट समाधान है। यदि इनपुट डेटा में अनिश्चितता के क्रम पर आवश्यक अस्तव्यस्तता छोटी है, तो परिणाम कुछ अर्थों में उतने ही स्पष्ट होंगे जितने डेटा के योग्य हैं। फिर एल्गोरिदम को संख्यात्मक स्थिरता आगे, पीछे और मिश्रित स्थिरता के रूप में परिभाषित किया गया है। स्थिरता किसी दी गई संख्यात्मक प्रक्रिया की पूर्णांक त्रुटियों के प्रति संवेदनशीलता का माप है; इसके विपरीत, किसी दी गई समस्या के लिए किसी फलन की स्थिति संख्या उसके इनपुट में छोटी अस्तव्यस्तता के प्रति फलन की अंतर्निहित संवेदनशीलता को संकेत करती है और समस्या को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्यान्वयन से स्वतंत्र होती है।

अनुप्रयोग

ग्लोबल पोजिशनिंग प्रणाली

Main article: वैश्विक पोजीशनिंग प्रणाली

ग्लोबल पोजिशनिंग प्रणाली का उपयोग करके गणना की गई त्रुटियों का विश्लेषण यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि जीपीएस कैसे कार्य करता है, और यह जानने के लिए कि किस परिमाण की त्रुटियों की अपेक्षा की जानी चाहिए। ग्लोबल पोजिशनिंग प्रणाली रिसीवर घड़ी त्रुटियों और अन्य प्रभावों के लिए सुधार करता है किन्तु अभी भी अवशिष्ट त्रुटियां हैं जिन्हें ठीक नहीं किया गया है। ग्लोबल पोजिशनिंग प्रणाली (जीपीएस) 1970 के दशक में संयुक्त राज्य अमेरिका के रक्षा विभाग (डीओडी) द्वारा बनाया गया था। अमेरिकी सेना और सामान्य जनता दोनों द्वारा नेविगेशन के लिए इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा है।

आण्विक गतिशीलता सिमुलेशन

आणविक गतिशीलता (एमडी) सिमुलेशन में, चरण स्थान के अपर्याप्त नमूने या कभी-कभार होने वाली घटनाओं के कारण त्रुटियां होती हैं, इससे माप में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के कारण सांख्यिकीय त्रुटि होती है।

उतार-चढ़ाव वाली गुण A के M माप की श्रृंखला के लिए, औसत मान है:

$$\langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.$$

जब ये M माप स्वतंत्र हैं, माध्य का विचरण ⟨A⟩ है:

$$\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),$$

किन्तु अधिकांश एमडी सिमुलेशन में, अलग-अलग समय पर मात्रा A के बीच सहसंबंध होता है, इसलिए माध्य ⟨A⟩ का विचरण कम आंका जाएगा क्योंकि स्वतंत्र माप की प्रभावी संख्या वास्तव में M से कम है। ऐसी स्थितियों में हम विचरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

$$\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],$$

जहाँ $\phi _{\mu }$ द्वारा परिभाषित ऑटोसहसंबंध फलन है

$$\phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.$$

फिर हम त्रुटि बार का अनुमान लगाने के लिए ऑटो सहसंबंध फलन का उपयोग कर सकते हैं। सामान्यतः, हमारे पास ब्लॉक औसत पर आधारित बहुत सरल विधि है।

वैज्ञानिक डेटा सत्यापन

Main article: वैज्ञानिक मिसकंडक्ट § धोखाधड़ी वाले डेटा का प्रदर्शन

मापों में सामान्यतः थोड़ी मात्रा में त्रुटि होती है, और आइटम के निरंतर माप से सामान्यतः रीडिंग में थोड़ा अंतर होता है। इन अंतरों का विश्लेषण किया जा सकता है, और कुछ ज्ञात गणितीय और सांख्यिकीय गुणों का पालन किया जा सकता है। यदि डेटा का सेट परिकल्पना के प्रति बहुत वफादार प्रतीत होता है, अर्थात, त्रुटि की मात्रा जो सामान्य रूप से ऐसे मापों में होती है वह प्रकट नहीं होती है, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि डेटा हो सकता है। इस प्रकार त्रुटि विश्लेषण सामान्यतः यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि डेटा को गलत सिद्ध किया गया है, किन्तु यह मिसकंडक्ट के संदेह की पुष्टि करने के लिए आवश्यक सहायक साक्ष्य प्रदान कर सकता है।

यह भी देखें

• त्रुटि विश्लेषण (भाषाविज्ञान)
• त्रुटि पट्टी
• आँकड़ों में त्रुटियाँ एवं अवशेष
• अनिश्चितता का प्रसार
• मान्य संख्याएँ

बाहरी संबंध

• [1] All about error analysis.