विल्सन आव्यूह

विल्सन मैट्रिक्स निम्नलिखित है $4\times 4$ तत्वों के रूप में पूर्णांक वाले मैट्रिक्स:

$W={\begin{bmatrix}5&7&6&5\\7&10&8&7\\6&8&10&9\\5&7&9&10\end{bmatrix}}$

यह 1946 में प्रकाशित जे. मॉरिस के पेपर में विचारित रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का गुणांक मैट्रिक्स है:

${\text{(S1)}}\quad {\begin{aligned}5x+7y+6z+5u&=23\\7x+10y+8z+7u&=32\\6x+8y+10z+9u&=33\\5x+7y+9z+10u&=31\end{aligned}}$

मॉरिस समीकरणों के सेट का स्रोत टी.एस. विल्सन को बताते हैं लेकिन विल्सन के बारे में कोई विवरण नहीं दिया गया है। समीकरणों की विशेष प्रणाली का उपयोग मॉरिस द्वारा समीकरणों की खराब स्थिति वाली प्रणाली की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए किया गया था। गणित का सवाल $W$ वर्षों से कई शोध पत्रों और पुस्तकों में उदाहरण के रूप में और परीक्षण उद्देश्यों के लिए उपयोग किया गया है। जॉन टोड ने उल्लेख किया है $W$ "टी.एस. विल्सन के कुख्यात मैट्रिक्स डब्ल्यू" के रूप में।

गुण

1. $W$ सममित मैट्रिक्स है.
2. $W$ सकारात्मक निश्चित है.
3. के निर्धारक $W$ है $1$.
4. उलटा मैट्रिक्स $W$ है $W^{-1}={\begin{bmatrix}68&-41&-17&10\\-41&25&10&-6\\-17&10&5&-3\\10&-6&-3&2\end{bmatrix}}$
5. की विशेषता बहुपद $W$ है $\lambda ^{4}-35\lambda ^{3}+146\lambda ^{2}-100\lambda +1$.
6. के स्वदेशी मूल्य $W$ हैं $\quad 0.01015004839789187,\quad 0.8431071498550294,\quad 3.858057455944953,\quad 30.28868534580213$.
7. तब से $W$ सममित है, 2-मानदंड स्थिति संख्या $W$ है $\kappa _{2}(W)=({\text{max eigen value}})/({\text{min eigen value}})=30.28868534580213/0.01015004839789187=2984.09270167549$.
8. समीकरणों की प्रणाली का समाधान $(S1)$ है $x=y=z=u=1$.
9. चॉलेस्की गुणनखंडन $W$ है $W=R^{T}R$ कहाँ $R={\begin{bmatrix}{\sqrt {5}}&{\frac {7}{\sqrt {5}}}&{\frac {6}{\sqrt {5}}}&{\sqrt {5}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&-{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}&{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$.
10. $W$ गुणनखंडन है $W=LDL^{T}$ कहाँ $L={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\{\frac {7}{5}}&1&0&0\\{\frac {6}{5}}&-2&1&0\\1&0&{\frac {3}{2}}&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$.
11. $W$ गुणनखंडन है $W=Z^{T}Z$ साथ $Z$ पूर्णांक मैट्रिक्स के रूप में $Z={\begin{bmatrix}2&3&2&2\\1&1&2&1\\0&0&1&2\\0&0&1&1\end{bmatrix}}$.

विल्सन मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न अनुसंधान समस्याएं

विल्सन मैट्रिक्स की स्थिति संख्या पर विचार करने से विल्सन मैट्रिक्स की कुछ या सभी विशेष विशेषताओं वाले मैट्रिक्स के कुछ विशेष वर्गों में मैट्रिक्स की स्थिति संख्या से संबंधित कई दिलचस्प शोध समस्याएं पैदा हुई हैं। विशेष रूप से, मैट्रिक्स के निम्नलिखित विशेष वर्गों का अध्ययन किया गया है:

1. $S=$ के समुच्चय $4\times 4$ 1 और 10 के बीच पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ गैर-वचन, सममित आव्यूह।
2. $P=$ के समुच्चय $4\times 4$ 1 और 10 के बीच पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ सकारात्मक निश्चित, सममित आव्यूह।

उपरोक्त सेटों में आव्यूहों की स्थिति संख्याओं की विस्तृत गणना से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए हैं:

1. के तत्वों के बीच $S$, अधिकतम शर्त संख्या है $7.6119\times 10^{4}$ और यह अधिकतम मैट्रिक्स द्वारा प्राप्त किया जाता है ${\begin{bmatrix}2&7&10&10\\7&10&10&9\\10&10&10&1\\10&9&1&10\end{bmatrix}}$.
2. के तत्वों के बीच $P$, अधिकतम शर्त संख्या है $3.5529\times 10^{4}$ और यह अधिकतम मैट्रिक्स द्वारा प्राप्त किया जाता है ${\begin{bmatrix}9&1&1&5\\1&10&1&9\\1&1&10&1\\5&9&1&10\end{bmatrix}}$.