शृंखला त्वरण

गणित में, श्रृंखला त्वरण एक श्रृंखला (गणित) के अभिसरण की दर में सुधार के लिए अनुक्रम परिवर्तनों के संग्रह में से एक है। श्रृंखला त्वरण की तकनीकों को अक्सर संख्यात्मक विश्लेषण में लागू किया जाता है, जहां उनका उपयोग संख्यात्मक एकीकरण की गति में सुधार करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, विशेष कार्यों पर विभिन्न प्रकार की पहचान प्राप्त करने के लिए श्रृंखला त्वरण तकनीकों का भी उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, हाइपरज्यामितीय श्रृंखला पर लागू यूलर परिवर्तन कुछ क्लासिक, प्रसिद्ध हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला पहचान देता है।

परिभाषा

एक क्रम दिया गया है

$S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$

किसी अनुक्रम की एक सीमा होना

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell ,$

एक त्वरित श्रृंखला दूसरा अनुक्रम है

$S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$

जो तेजी से एकत्रित होता है $\ell$ मूल अनुक्रम की तुलना में, इस अर्थ में

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.$

यदि मूल अनुक्रम अपसारी श्रृंखला है, तो अनुक्रम परिवर्तन एंटीलिमिट के लिए एक एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में कार्य करता है $\ell$.

मूल से रूपांतरित श्रृंखला तक की मैपिंग रैखिक मैपिंग (जैसा कि लेख अनुक्रम परिवर्तनों में परिभाषित है), या गैर-रैखिक हो सकती है। सामान्य तौर पर, गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अधिक शक्तिशाली होते हैं।

सिंहावलोकन

श्रृंखला त्वरण के लिए दो शास्त्रीय तकनीकें यूलर की श्रृंखला का परिवर्तन हैं और कुमेर की श्रृंखला का परिवर्तन। 20वीं सदी में बहुत तेजी से अभिसरण और विशेष-मामले वाले उपकरणों की एक किस्म विकसित की गई है, जिसमें रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन भी शामिल है, जिसे 20वीं सदी की शुरुआत में लुईस फ्राई रिचर्डसन द्वारा पेश किया गया था, लेकिन 1722 में केंको ताकेबे द्वारा भी जाना और उपयोग किया गया था; ऐटकेन डेल्टा-स्क्वेर्ड प्रक्रिया, जिसे 1926 में अलेक्जेंडर ऐटकेन द्वारा शुरू किया गया था, लेकिन 18वीं शताब्दी में सीटों की अधिक संख्या द्वारा भी जाना और इस्तेमाल किया गया था; 1956 में पीटर व्यान (गणितज्ञ) द्वारा दी गई एप्सिलॉन विधि; लेविन यू-ट्रांसफ़ॉर्म; और विल्फ-ज़ीलबर्गर-एखड विधि या WZ सिद्धांत।

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, कई शक्तिशाली तकनीकें, से अभिसरण दर की पेशकश $5.828^{-n}$ यहां तक $17.93^{-n}$ के सारांश के लिए $n$ शर्तें, कोहेन एट अल द्वारा वर्णित हैं।

यूलर का परिवर्तन

बेहतर अभिसरण की पेशकश करने वाले रैखिक अनुक्रम परिवर्तन का एक मूल उदाहरण, यूलर का परिवर्तन है। इसे एक वैकल्पिक श्रृंखला पर लागू करने का इरादा है; यह द्वारा दिया गया है

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}$

कहाँ $\Delta$ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है, जिसके लिए सूत्र मौजूद है

$(\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.$

यदि मूल श्रृंखला, बाईं ओर, केवल धीरे-धीरे परिवर्तित हो रही है, तो आगे के अंतर काफी तेजी से छोटे होते जाएंगे; दो की अतिरिक्त शक्ति दाहिनी ओर अभिसरण की दर को और बेहतर बनाती है।

यूलर ट्रांसफॉर्म का एक विशेष रूप से कुशल संख्यात्मक कार्यान्वयन वैन विजनगार्डन परिवर्तन है।

अनुरूप मानचित्रण

एक श्रृंखला

$S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

f(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां फ़ंक्शन (गणित) f को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.$

फ़ंक्शन f(z) में जटिल तल (शाखा बिंदु विलक्षणताएं, ध्रुव (जटिल विश्लेषण) या आवश्यक विलक्षणता) में सिंगुलैरिटी_(गणित)#कॉम्प्लेक्स_विश्लेषण हो सकता है, जो श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या को सीमित करता है। यदि बिंदु z = 1 अभिसरण डिस्क की सीमा के निकट या सीमा पर है, तो S के लिए श्रृंखला बहुत धीमी गति से अभिसरित होगी। फिर कोई अनुरूप मानचित्रण के माध्यम से श्रृंखला के अभिसरण में सुधार कर सकता है जो विलक्षणताओं को इस तरह से स्थानांतरित करता है कि जिस बिंदु को z = 1 पर मैप किया जाता है वह अभिसरण की नई डिस्क में अधिक गहराई तक समाप्त होता है।

अनुरूप परिवर्तन $z=\Phi (w)$ ऐसा चुनने की जरूरत है $\Phi (0)=0$, और कोई आमतौर पर एक ऐसा फ़ंक्शन चुनता है जिसका w = 0 पर एक परिमित व्युत्पन्न होता है। कोई ऐसा मान सकता है $\Phi (1)=1$ व्यापकता की हानि के बिना, क्योंकि कोई हमेशा w को पुनः परिभाषित करने के लिए पुनः स्केल कर सकता है $\Phi$. फिर हम फ़ंक्शन पर विचार करते हैं

$g(w)=f(\Phi (w)).$

तब से $\Phi (1)=1$, हमारे पास f(1) = g(1) है। हम लगाकर g(w) का श्रृंखला विस्तार प्राप्त कर सकते हैं $z=\Phi (w)$ f(z) के श्रृंखला विस्तार में क्योंकि $\Phi (0)=0$; f(z) के लिए श्रृंखला विस्तार के पहले n पद g(w) के लिए श्रृंखला विस्तार के पहले n पद प्राप्त करेंगे यदि $\Phi '(0)\neq 0$. उस श्रृंखला विस्तार में w = 1 डालने से इस प्रकार एक श्रृंखला प्राप्त होगी कि यदि यह अभिसरण होती है, तो यह मूल श्रृंखला के समान मान पर अभिसरण होगी।

गैर-रैखिक अनुक्रम परिवर्तन

ऐसे अरेखीय अनुक्रम परिवर्तनों के उदाहरण हैं पैडे सन्निकटन, शैंक्स परिवर्तन और लेविन-प्रकार अनुक्रम परिवर्तन।

विशेष रूप से गैर-रेखीय अनुक्रम परिवर्तन अक्सर अपसारी श्रृंखला या स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के योग के लिए शक्तिशाली संख्यात्मक तरीके प्रदान करते हैं जो उदाहरण के लिए गड़बड़ी सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं, और अत्यधिक प्रभावी एक्सट्रपलेशन विधियों के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं।

ऐटकेन विधि

Main article: Aitken's delta-squared process

एक सरल अरेखीय अनुक्रम परिवर्तन ऐटकेन एक्सट्रपलेशन या डेल्टा-स्क्वायर विधि है,

$\mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$

द्वारा परिभाषित

$s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.$

इस परिवर्तन का उपयोग आमतौर पर धीरे-धीरे परिवर्तित होने वाले अनुक्रम के अभिसरण की दर में सुधार करने के लिए किया जाता है; अनुमानतः, यह पूर्ण त्रुटि के सबसे बड़े हिस्से को समाप्त कर देता है।

यह भी देखें

• शैंक का परिवर्तन
• न्यूनतम बहुपद एक्सट्रपलेशन
• वैन विजनगार्डन परिवर्तन

संदर्भ

• C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991.
• G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, Padé Approximants, Cambridge U.P., 1996.
• Weisstein, Eric W. "Convergence Improvement". MathWorld.
• Herbert H. H. Homeier: Scalar Levin-Type Sequence Transformations, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, no. 1–2, p 81 (2000). Homeier, H. H. H. (2000). "Scalar Levin-type sequence transformations". Journal of Computational and Applied Mathematics. 122: 81. arXiv:math/0005209. Bibcode:2000JCoAM.122...81H. doi:10.1016/S0377-0427(00)00359-9., arXiv:math/0005209.
• Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela : "The genesis and early developments of Aitken's process, Shanks transformation, the $\epsilon$-algorithm, and related fixed point methods", Numerical Algorithms, Vol.80, No.1, (2019), pp.11-133.
• Delahaye J. P. : "Sequence Transformations", Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3540152835 (1988).
• Sidi Avram : "Vector Extrapolation Methods with Applications", SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
• Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela and Saad Yousef : "Shanks Sequence Transformations and Anderson Acceleration", SIAM Review, Vol.60, No.3 (2018), pp.646–669. doi:10.1137/17M1120725 .
• Brezinski Claude : "Reminiscences of Peter Wynn", Numerical Algorithms, Vol.80(2019), pp.5-10.
• Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela : "Extrapolation and Rational Approximation", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).

बाहरी संबंध

• Convergence acceleration of series
• GNU Scientific Library, Series Acceleration
• Digital Library of Mathematical Functions