समुच्चय सिद्धांत में गणित का कार्यान्वयन

यह आलेख सेट सिद्धांत में गणितीय अवधारणाओं के कार्यान्वयन की जांच करता है। कई बुनियादी गणितीय अवधारणाओं का कार्यान्वयन ZFC (प्रमुख सेट सिद्धांत) और नई नींव में समानांतर रूप से किया जाता है, क्विन के न्यू फ़ाउंडेशन के संस्करण को 1969 में आर.

यहाँ जो कहा गया है वह सेट सिद्धांतों के दो परिवारों पर भी लागू होता है: एक तरफ, पैमाने के निचले सिरे के पास ज़र्मेलो सेट सिद्धांत सहित सिद्धांतों की एक श्रृंखला और बड़े कार्डिनल संपत्ति परिकल्पनाओं के साथ ZFC तक विस्तारित, जैसे कि एक मापने योग्य कार्डिनल है; और दूसरी ओर एनएफयू के विस्तार का एक पदानुक्रम जिसका सर्वेक्षण न्यू फ़ाउंडेशन लेख में किया गया है। ये सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांड कैसा है, इसके विभिन्न सामान्य विचारों के अनुरूप हैं, और यह इन दो सामान्य विचारों के तहत गणितीय अवधारणाओं के कार्यान्वयन के दृष्टिकोण हैं जिनकी तुलना और तुलना की जा रही है।

गणित की नींव के रूप में इन सिद्धांतों के सापेक्ष गुणों के बारे में कुछ भी कहना इस लेख का प्राथमिक उद्देश्य नहीं है। दो अलग-अलग सेट सिद्धांतों के उपयोग का कारण यह बताना है कि गणित के कार्यान्वयन के लिए कई दृष्टिकोण संभव हैं। ठीक इसी दृष्टिकोण के कारण, यह लेख किसी गणितीय अवधारणा की आधिकारिक परिभाषा का स्रोत नहीं है।

प्रारंभिक

निम्नलिखित अनुभाग दो सिद्धांतों ZFC और न्यू फ़ाउंडेशन में कुछ निर्माण करते हैं और कुछ गणितीय संरचनाओं (जैसे प्राकृतिक संख्या) के परिणामी कार्यान्वयन की तुलना करते हैं।

गणितीय सिद्धांत प्रमेयों को सिद्ध करते हैं (और कुछ नहीं)। तो यह कहने का मतलब है कि एक सिद्धांत एक निश्चित वस्तु के निर्माण की अनुमति देता है, इसका मतलब है कि यह उस सिद्धांत का एक प्रमेय है कि वह वस्तु मौजूद है। यह x के रूप की परिभाषा के बारे में एक कथन है जैसे कि $\phi$ मौजूद है, कहाँ $\phi$ हमारी औपचारिक भाषा का एक सुगठित सूत्र है: सिद्धांत x के अस्तित्व को इस प्रकार सिद्ध करता है $\phi$यदि यह एक प्रमेय है कि ऐसा एक और केवल एक x है $\phi$. (बर्ट्रेंड रसेल देखें। बर्ट्रेंड रसेल का विवरण का सिद्धांत।) शिथिल रूप से, सिद्धांत इस मामले में इस वस्तु को परिभाषित या निर्मित करता है। यदि कथन एक प्रमेय नहीं है, तो सिद्धांत यह नहीं दिखा सकता कि वस्तु मौजूद है; यदि कथन सिद्धांत में गलत साबित होता है, तो यह साबित होता है कि वस्तु का अस्तित्व नहीं हो सकता; शिथिल रूप से, वस्तु का निर्माण नहीं किया जा सकता है।

ZFC और NFU सेट सिद्धांत की भाषा साझा करते हैं, इसलिए x जैसी समान औपचारिक परिभाषाएँ हैं $\phi$दो सिद्धांतों में विचार किया जा सकता है। सेट सिद्धांत की भाषा में परिभाषा का एक विशिष्ट रूप सेट-बिल्डर नोटेशन है: $\{x\mid \phi \}$ इसका अर्थ है समुच्चय A इस प्रकार कि सभी x के लिए, $x\in A\leftrightarrow \phi$(ए में मुक्त चर और बाध्य चर नहीं हो सकते $\phi$). यह नोटेशन कुछ पारंपरिक विस्तारों को स्वीकार करता है: $\{x\in B\mid \phi \}$ का पर्यायवाची है $\{x\mid x\in B\wedge \phi \}$; $\{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi \}$ परिभाषित किया जाता है $\{z\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots ,x_{n})\wedge \phi )\}$, कहाँ $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ एक अभिव्यक्ति पहले से ही परिभाषित है.

सेट-बिल्डर नोटेशन में परिभाषित अभिव्यक्तियाँ ZFC और NFU दोनों में समझ में आती हैं: यह हो सकता है कि दोनों सिद्धांत साबित करते हैं कि दी गई परिभाषा सफल होती है, या दोनों में से कोई भी ऐसा नहीं करता है (अभिव्यक्ति $\{x\mid x\not \in x\}$ शास्त्रीय तर्क के साथ किसी भी सेट सिद्धांत में किसी भी चीज़ को संदर्भित करने में विफल रहता है; वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत जैसे वर्ग (सेट सिद्धांत) सिद्धांतों में यह संकेतन एक वर्ग को संदर्भित करता है, लेकिन इसे अलग तरह से परिभाषित किया जाता है), या कि एक करता है और दूसरा नहीं करता है। इसके अलावा, ZFC और NFU में एक ही तरह से परिभाषित एक वस्तु के दो सिद्धांतों में अलग-अलग गुण हो सकते हैं (या जहां उनके गुणों के बीच कोई सिद्ध अंतर नहीं है, वहां जो साबित किया जा सकता है उसमें अंतर हो सकता है)।

इसके अलावा, सेट सिद्धांत गणित की अन्य शाखाओं (इरादे में, गणित की सभी शाखाओं) से अवधारणाओं को आयात करता है। कुछ मामलों में, ZFC और NFU में अवधारणाओं को आयात करने के विभिन्न तरीके हैं। उदाहरण के लिए, पहली अनंत क्रमवाचक संख्या की सामान्य परिभाषा $\omega$ ZFC में NFU के लिए उपयुक्त नहीं है क्योंकि ऑब्जेक्ट (विशुद्ध रूप से सेट सैद्धांतिक भाषा में सभी परिमित वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स के सेट के रूप में परिभाषित) को NFU में मौजूद नहीं दिखाया जा सकता है। की सामान्य परिभाषा $\omega$ एनएफयू में (विशुद्ध रूप से सेट सैद्धांतिक भाषा में) सभी अनंत सु-क्रमों का सेट है, जिनके सभी उचित प्रारंभिक खंड परिमित हैं, एक वस्तु जिसे ZFC में मौजूद नहीं दिखाया जा सकता है। ऐसी आयातित वस्तुओं के मामले में, अलग-अलग परिभाषाएँ हो सकती हैं, एक ZFC और संबंधित सिद्धांतों में उपयोग के लिए, और एक NFU और संबंधित सिद्धांतों में उपयोग के लिए। आयातित गणितीय अवधारणाओं के ऐसे कार्यान्वयन को समझने के लिए, यह दिखाने में सक्षम होना आवश्यक है कि दो समानांतर व्याख्याओं में अपेक्षित गुण हैं: उदाहरण के लिए, ZFC और NFU में प्राकृतिक संख्याओं के कार्यान्वयन अलग-अलग हैं, लेकिन दोनों एक ही गणितीय संरचना के कार्यान्वयन हैं, क्योंकि दोनों में पीनो अंकगणित के सभी आदिमों के लिए परिभाषाएं शामिल हैं और पीनो सिद्धांतों को संतुष्ट (अनुवाद) करते हैं। तब यह तुलना करना संभव है कि दो सिद्धांतों में क्या होता है जब केवल सेट सैद्धांतिक भाषा का उपयोग किया जाता है, जब तक कि ZFC के लिए उपयुक्त परिभाषाओं को ZFC संदर्भ में उपयोग किया जाना समझा जाता है और NFU के लिए उपयुक्त परिभाषाओं को NFU संदर्भ में उपयोग किया जाना समझा जाता है।

किसी सिद्धांत में जो कुछ भी अस्तित्व में साबित होता है वह उस सिद्धांत के किसी भी विस्तार में स्पष्ट रूप से मौजूद होता है; इसके अलावा, इस प्रमाण का विश्लेषण कि किसी दिए गए सिद्धांत में कोई वस्तु मौजूद है, यह दिखा सकता है कि यह उस सिद्धांत के कमजोर संस्करणों में मौजूद है (उदाहरण के लिए, इस लेख में जो कुछ किया गया है, उसके लिए कोई ZFC के बजाय ज़र्मेलो सेट सिद्धांत पर विचार कर सकता है)।

खाली सेट, सिंगलटन, अव्यवस्थित जोड़े और टुपल्स

ये निर्माण सबसे पहले दिखाई देते हैं क्योंकि ये सेट सिद्धांत में सबसे सरल निर्माण हैं, इसलिए नहीं कि ये गणित में दिमाग में आने वाले पहले निर्माण हैं (हालांकि परिमित सेट की धारणा निश्चित रूप से मौलिक है)। हालांकि एनएफयू सेट यूराली|यूआर-तत्वों के निर्माण की भी अनुमति देता है जो अभी तक सेट के सदस्य नहीं बने हैं, खाली सेट बिना किसी सदस्य वाला अद्वितीय सेट है:

$\left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}$

प्रत्येक वस्तु के लिए $x$, एक सेट है $\{x\}$ साथ $x$ इसके एकमात्र तत्व के रूप में:

$\left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}$

वस्तुओं के लिए $x$ और $y$, एक सेट है $\{x,y\}$ युक्त $x$ और $y$ इसके एकमात्र तत्व के रूप में:

$\left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}$

दो सेटों के संघ (सेट सिद्धांत) को सामान्य तरीके से परिभाषित किया गया है:

$\left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\}$

यह अव्यवस्थित की पुनरावर्ती परिभाषा है $n$-किसी भी कंक्रीट के लिए टुपल्स $n$ (परिमित सेट उनके तत्वों की सूची के रूप में दिए गए हैं:)

$\left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}$

एनएफयू में, दी गई सभी निर्धारित परिभाषाएँ स्तरीकृत समझ द्वारा काम करती हैं; ZFC में, अव्यवस्थित युग्म का अस्तित्व युग्म के अभिगृहीत द्वारा दिया जाता है, खाली सेट का अस्तित्व किसी भी सेट के अस्तित्व से पृथक्करण के अभिगृहीत स्कीमा द्वारा दिया जाता है, और दो सेटों का द्विआधारी संघ युग्म के अभिगृहीत और मिलन के अभिगृहीत द्वारा मौजूद होता है ($x\cup y=\bigcup \{x,y\}$).

ऑर्डर किया गया जोड़ा

Main article: Ordered pair

सबसे पहले, ऑर्डर की गई जोड़ी पर विचार करें। इसके पहले आने का कारण तकनीकी है: रिलेशन (गणित) और फ़ंक्शन (गणित) को लागू करने के लिए ऑर्डर किए गए जोड़े की आवश्यकता होती है, जो अन्य अवधारणाओं को लागू करने के लिए आवश्यक होते हैं जो पहले प्रतीत हो सकते हैं। क्रमित युग्म की पहली परिभाषा परिभाषा थी $(x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}$ गणितीय सिद्धांत के प्रकार सिद्धांत के संदर्भ में 1914 में नॉर्बर्ट वीनर द्वारा प्रस्तावित। वीनर ने देखा कि इससे उस कार्य की प्रणाली से n > 1 के लिए n-एरी संबंधों के प्रकार को समाप्त करने की अनुमति मिल गई। परिभाषा का उपयोग करना अब अधिक सामान्य हो गया है $(x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}$, काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की के कारण। इनमें से कोई भी परिभाषा ZFC या NFU में काम करती है। एनएफयू में, इन दो परिभाषाओं में एक तकनीकी नुकसान है: कुराटोस्की द्वारा आदेशित जोड़ी अपने अनुमानों से दो प्रकार अधिक है, जबकि वीनर द्वारा आदेशित जोड़ी तीन प्रकार से अधिक है। एक प्रकार-स्तरीय क्रमित युग्म (एक युग्म) के अस्तित्व की परिकल्पना करना आम बात है $(x,y)$ जो एनएफयू में इसके प्रोजेक्शन (गणित) के समान प्रकार है। दोनों प्रणालियों में कुराटोस्की जोड़ी का उपयोग करना तब तक सुविधाजनक है जब तक कि प्रकार-स्तरीय जोड़े के उपयोग को औपचारिक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सके। इन परिभाषाओं के आंतरिक विवरण का उनके वास्तविक गणितीय कार्य से कोई लेना-देना नहीं है। किसी भी धारणा के लिए $(x,y)$ आदेशित जोड़ी में, जो बात मायने रखती है वह यह है कि यह परिभाषित शर्त को पूरा करती है

$(x,y)=(z,w)\ \equiv \ x=z\wedge y=w$

...और यह कि ऑर्डर किए गए जोड़े को सेट में इकट्ठा करना काफी आसान होगा।

संबंध

संबंध (गणित) वे सेट हैं जिनके सभी सदस्य क्रमित जोड़े हैं। जहां संभव हो, एक रिश्ता $R$ (एक द्विआधारी विधेय के रूप में समझा जाता है) के रूप में कार्यान्वित किया जाता है $\{(x,y)\mid xRy\}$ (जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $\{z\mid \pi _{1}(z)R\pi _{2}(z)\}$). कब $R$ एक संबंध है, संकेतन $xRy$ साधन $\left(x,y\right)\in R$.

ZFC में, कुछ संबंध (जैसे सामान्य समानता संबंध या सेट पर उपसमुच्चय संबंध) 'बहुत बड़े' हैं सेट होने के लिए (लेकिन उचित वर्गों के रूप में हानिरहित रूप से पुनरीक्षित किया जा सकता है)। एनएफयू में, कुछ संबंध (जैसे सदस्यता संबंध) सेट नहीं हैं क्योंकि उनकी परिभाषाएं स्तरीकृत नहीं हैं: में $\{(x,y)\mid x\in y\}$, $x$ और $y$ चाहेंगे समान प्रकार की आवश्यकता है (क्योंकि वे एक ही जोड़ी के प्रक्षेपण के रूप में दिखाई देते हैं), लेकिन यह भी क्रमिक प्रकार (क्योंकि $x$ का एक तत्व माना जाता है $y$).

संबंधित परिभाषाएँ

होने देना $R$ और $S$ द्विआधारी संबंध दिए जाएं। तब निम्नलिखित अवधारणाएँ उपयोगी हैं:

का विपरीत संबंध $R$ संबंध है $\left\{\left(y,x\right):xRy\right\}$.

का डोमेन $R$ सेट है $\left\{x:\exists y\left(xRy\right)\right\}$.

की सीमा $R$ के व्युत्क्रम का क्षेत्र है $R$. यानी सेट $\left\{y:\exists x\left(xRy\right)\right\}$.

का क्षेत्र $R$ के डोमेन और रेंज का संघ (सेट सिद्धांत) है $R$.

किसी सदस्य की पूर्वछवि $x$ के क्षेत्र का $R$ सेट है $\left\{y:yRx\right\}$ (नीचे 'अच्छी तरह से स्थापित' की परिभाषा में प्रयुक्त।)

किसी सदस्य का नीचे की ओर बंद होना $x$ के क्षेत्र का $R$ सबसे छोटा सेट है $D$ युक्त $x$, और प्रत्येक से युक्त $zRy$ प्रत्येक के लिए $y\in D$ (अर्थात्, इसके प्रत्येक तत्व की पूर्वछवि सहित $R$ एक उपसमुच्चय के रूप में।)

संबंध रचना $R|S$ का $R$ और $S$ संबंध है $\left\{\left(x,z\right):\exists y\,\left(xRy\wedge ySz\right)\right\}$.

ध्यान दें कि द्विआधारी संबंध की हमारी औपचारिक परिभाषा के साथ, किसी संबंध की सीमा और कोडोमेन को अलग नहीं किया जाता है। यह किसी रिश्ते का प्रतिनिधित्व करके किया जा सकता है $R$ कोडोमेन के साथ $B$ जैसा $\left(R,B\right)$, लेकिन हमारे विकास को इसकी आवश्यकता नहीं होगी।

ZFC में, कोई भी संबंध जिसका डोमेन किसी सेट का सबसेट है $A$ और जिसकी सीमा एक समुच्चय का उपसमुच्चय है $B$ कार्टेशियन उत्पाद के बाद से एक सेट होगा $A\times B=\left\{\left(a,b\right):a\in A\wedge b\in B\right\}$ एक समुच्चय है (उपवर्ग होने के नाते)। ${\mathcal {P}}\!\left(A\cup B\right)$), और पृथक्करण अस्तित्व का प्रावधान करता है $\left\{\left(x,y\right)\in A\times B:xRy\right\}$. एनएफयू में, वैश्विक दायरे (जैसे समानता और उपसमुच्चय) के साथ कुछ संबंधों को सेट के रूप में लागू किया जा सकता है। एनएफयू में, इसे ध्यान में रखें $x$ और $y$ से तीन प्रकार कम हैं $R$ में $xRy$ (यदि एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी का उपयोग किया जाता है तो एक प्रकार कम)।

संबंधों के गुण और प्रकार

एक द्विआधारी संबंध $R$ है:

• प्रतिवर्ती संबंध यदि $xRx$ हरएक के लिए $x$ के क्षेत्र में $R$.
• सममित संबंध यदि $\forall x,y\,(xRy\to yRx)$.
• सकर्मक संबंध यदि $\forall x,y,z\,(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)$.
• एंटीसिमेट्रिक संबंध यदि $\forall x,y\,(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)$.
• अच्छी तरह से स्थापित संबंध|अगर हर सेट के लिए अच्छी तरह से स्थापित $S$ जो के क्षेत्र से मिलता है $R$, $\ \exists x\in S$ जिसकी पूर्वछवि नीचे है $R$ मिलना नहीं होता $S$.
• विस्तारित यदि प्रत्येक के लिए $x,y$ के क्षेत्र में $R$, $x=y$ अगर और केवल अगर $x$ और $y$ नीचे एक ही पूर्वछवि है $R$.

उपरोक्त गुणों के कुछ संयोजन वाले संबंधों के मानक नाम होते हैं। एक द्विआधारी संबंध $R$ है:

• एक तुल्यता संबंध यदि $R$ प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है।
• आंशिक आदेश यदि $R$ रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है।
• एक रेखीय क्रम यदि $R$ एक आंशिक आदेश है और प्रत्येक के लिए $x,y$ के क्षेत्र में $R$, दोनों में से एक $xRy$ या $yRx$.
• एक सुव्यवस्थित यदि $R$ एक रेखीय क्रम है और अच्छी तरह से स्थापित है।
• एक सेट चित्र यदि $R$ अच्छी तरह से स्थापित और विस्तारित है, और का क्षेत्र $R$ या तो इसके सदस्यों में से एक के नीचे की ओर बंद होने के बराबर है (जिसे इसका शीर्ष तत्व कहा जाता है), या खाली है।

कार्य

एक कार्यात्मक संबंध एक द्विआधारी विधेय है $F$ ऐसा है कि $\forall x,y,z\,\left(xFy\wedge xFz\to y=z\right).$ इस तरह के संबंध (गणित) (विधेय (तर्क)) को एक संबंध (सेट) के रूप में लागू किया जाता है जैसा कि पिछले अनुभाग में वर्णित है। तो विधेय $F$ सेट द्वारा कार्यान्वित किया जाता है $\left\{\left(x,y\right):xFy\right\}$. एक रिश्ता $F$ एक फ़ंक्शन है यदि और केवल यदि $\forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right).$ इसलिए वैल्यू फ़ंक्शन को परिभाषित करना संभव है $F\!\left(x\right)$ अद्वितीय वस्तु के रूप में $y$ ऐसा है कि $xFy$- अर्थात।: $x$ है $F$-संदर्भ के $y$ ऐसा कि रिश्ता $f$ के बीच रखता है $x$ और $y$– या अद्वितीय वस्तु के रूप में $y$ ऐसा है कि $\left(x,y\right)\in F$. कार्यात्मक विधेय के दोनों सिद्धांतों में उपस्थिति जो सेट नहीं हैं, नोटेशन की अनुमति देना उपयोगी बनाती है $F\!\left(x\right)$ दोनों सेट के लिए $F$ और महत्वपूर्ण कार्यात्मक विधेय के लिए। जब तक कोई बाद के अर्थों में कार्यों की मात्रा निर्धारित नहीं करता है, तब तक ऐसे सभी उपयोग सैद्धांतिक रूप से समाप्त करने योग्य हैं।

औपचारिक सेट सिद्धांत के बाहर, हम आम तौर पर एक फ़ंक्शन को उसके डोमेन और कोडोमेन के संदर्भ में निर्दिष्ट करते हैं, जैसा कि वाक्यांश लेट में है $f:A\to B$ एक समारोह हो. किसी फ़ंक्शन का डोमेन एक संबंध के रूप में उसका डोमेन ही होता है, लेकिन हमने अभी तक किसी फ़ंक्शन के कोडोमेन को परिभाषित नहीं किया है। ऐसा करने के लिए हम उस शब्दावली का परिचय देते हैं जिससे कोई फ़ंक्शन बनता है $A$ को $B$यदि इसका डोमेन बराबर है $A$ और इसकी सीमा इसमें निहित है $B$. इस प्रकार, प्रत्येक फ़ंक्शन अपने डोमेन से लेकर अपनी सीमा तक एक फ़ंक्शन और एक फ़ंक्शन होता है $f$ से $A$ को $B$ से भी एक फ़ंक्शन है $A$ को $C$ किसी भी सेट के लिए $C$ युक्त $B$.

दरअसल, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस सेट को किसी फ़ंक्शन का कोडोमेन मानते हैं, फ़ंक्शन एक सेट के रूप में नहीं बदलता है क्योंकि परिभाषा के अनुसार यह केवल ऑर्डर किए गए जोड़े का एक सेट है। अर्थात्, कोई फ़ंक्शन हमारी परिभाषा के अनुसार अपना कोडोमेन निर्धारित नहीं करता है। यदि किसी को यह अरुचिकर लगता है तो वह किसी फ़ंक्शन को क्रमित जोड़ी के रूप में परिभाषित कर सकता है $(f,B)$, कहाँ $f$ एक कार्यात्मक संबंध है और $B$ इसका कोडोमेन है, लेकिन हम इस लेख में यह दृष्टिकोण नहीं अपनाते हैं (अधिक सुंदर ढंग से, यदि कोई पहले क्रमबद्ध त्रिगुणों को परिभाषित करता है - उदाहरण के लिए $(x,y,z)=(x,(y,z))$- तब कोई फ़ंक्शन को ऑर्डर किए गए ट्रिपल के रूप में परिभाषित कर सकता है $(f,A,B)$ ताकि डोमेन को भी शामिल किया जा सके)। ध्यान दें कि संबंधों के लिए भी यही मुद्दा मौजूद है: औपचारिक सेट सिद्धांत के बाहर हम आमतौर पर लेट कहते हैं $R\subseteq A\times B$ एक द्विआधारी संबंध हो, लेकिन औपचारिक रूप से $R$ इस प्रकार क्रमित युग्मों का एक सेट है ${\text{dom}}\,R\subseteq A$ और ${\text{ran}}\,R\subseteq B$.

एनएफयू में, $x$ के समान प्रकार है $F\!\left(x\right)$, और $F$ से तीन प्रकार अधिक है $F\!\left(x\right)$ (एक प्रकार उच्चतर, यदि एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी का उपयोग किया जाता है)। इस समस्या को हल करने के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है $F\left[A\right]$ जैसा $\left\{y:\exists x\,\left(x\in A\wedge y=F\!\left(x\right)\right)\right\}$ किसी भी सेट के लिए $A$, लेकिन इसे इस रूप में अधिक आसानी से लिखा जाता है $\left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}$. तो अगर $A$ एक सेट है और $F$ कोई भी कार्यात्मक संबंध है, प्रतिस्थापन का सिद्धांत यह आश्वासन देता है $F\left[A\right]$ ZFC में एक सेट है. एनएफयू में, $F\left[A\right]$ और $A$ अब एक ही प्रकार है, और $F$ से दो प्रकार अधिक है $F\left[A\right]$ (उसी प्रकार, यदि एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी का उपयोग किया जाता है)।

कार्यक्रम $I$ ऐसा है कि $I\!\left(x\right)=x$ यह ZFC में सेट नहीं है क्योंकि यह बहुत बड़ा है। $I$ हालाँकि एनएफयू में एक सेट है। फ़ंक्शन (विधेय) $S$ ऐसा है कि $S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}$ किसी भी सिद्धांत में न तो कोई फलन है और न ही कोई समुच्चय; ZFC में, यह सच है क्योंकि ऐसा सेट बहुत बड़ा होगा, और, NFU में, यह सच है क्योंकि इसकी परिभाषा सेट सिद्धांत में स्तरीकृत सूत्र नहीं होगी। इसके अतिरिक्त, $S$ यह साबित किया जा सकता है कि एनएफयू मौजूद नहीं है (न्यू फ़ाउंडेशन्स में कैंटर के विरोधाभास का समाधान देखें।)

कार्यों पर संचालन

होने देना $f$ और $g$ मनमाना कार्य हो. की कार्य संरचना $f$ और $g$, $g\circ f$, को सापेक्ष उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है $f\,|\,g$, लेकिन केवल तभी जब इसका परिणाम ऐसा कोई फ़ंक्शन हो $g\circ f$ के साथ भी एक फ़ंक्शन है $\left(g\circ f\right)\!\left(x\right)=g\!\left(f\!\left(x\right)\right)$, यदि की सीमा $f$ के डोमेन का एक उपसमुच्चय है $g$. का उलटा कार्य $f$, $f^{\left(-1\right)}$, को इसके विपरीत संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है $f$ यदि यह एक फ़ंक्शन है. कोई भी सेट दिया गया $A$, पहचान समारोह $i_{A}$ सेट है $\left\{\left(x,x\right)\mid x\in A\right\}$, और यह अलग-अलग कारणों से ZFC और NFU दोनों में एक सेट है।

विशेष प्रकार के कार्य

एक फ़ंक्शन एक इंजेक्शन है (जिसे द्विभाजन|वन-टू-वन भी कहा जाता है) यदि इसमें उलटा फ़ंक्शन है।

एक समारोह $f$ से $A$ को $B$ एक है:

• से इंजेक्शन समारोह $A$ को $B$ यदि छवि (गणित) नीचे है $f$ के विशिष्ट सदस्यों की $A$ के विशिष्ट सदस्य हैं $B$.
• से आपत्ति $A$ को $B$ यदि की सीमा $f$ है $B$.
• से आपत्ति $A$ को $B$ अगर $f$ यह एक इंजेक्शन और प्रक्षेपण दोनों है।

क्रमित युग्मों के रूप में कार्यों को परिभाषित करना $(f,B)$ या ट्रिपल का आदेश दिया $(f,A,B)$ इसके फायदे यह हैं कि हमें फ़ंक्शन होने की शब्दावली का परिचय नहीं देना पड़ता है $A$ को $B$, और यह कि हम केवल विशेषणात्मक होने की बात करने में सक्षम होने के विपरीत सीधे तौर पर विशेषणात्मक होने की बात कर सकते हैं $B$.

सेट का आकार

ZFC और न्यू फ़ाउंडेशन दोनों में, दो सेट A और B एक ही आकार के हैं (या 'समतुल्य' हैं) यदि और केवल तभी जब A से B तक कोई आपत्ति f हो। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $|A|=|B|$, लेकिन ध्यान दें कि (फिलहाल) यह अभी तक अपरिभाषित वस्तुओं के बीच संबंध के बजाय ए और बी के बीच संबंध व्यक्त करता है $|A|$ और $|B|$. इस संबंध को द्वारा निरूपित करें $A\sim B$ कार्डिनल संख्या की वास्तविक परिभाषा जैसे संदर्भों में जहां अनुमानित अमूर्त कार्डिनल्स की उपस्थिति से भी बचा जाना चाहिए।

इसी प्रकार परिभाषित करें $|A|\leq |B|$ यदि और केवल यदि ए से बी तक कोई इंजेक्टिव फ़ंक्शन है, तो उसे होल्ड करना।

यह दिखाना सीधा है कि समसंख्यता का संबंध एक समतुल्यता संबंध है: ए के साथ ए की समसंख्यकता देखी जाती है $i_{A}$; यदि एफ गवाह है $|A|=|B|$, तब $f^{-1}$ गवाहों $|B|=|A|$; और यदि एफ गवाह है $|A|=|B|$ और जी गवाह $|B|=|C|$, तब $g\circ f$ गवाहों $|A|=|C|$.

ऐसा दिखाया जा सकता है $|A|\leq |B|$ अमूर्त कार्डिनल्स पर एक रैखिक क्रम है, लेकिन सेट पर नहीं। रिफ्लेक्सिविटी स्पष्ट है और ट्रांज़िटिविटी समसंख्यता की तरह ही सिद्ध होती है। कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय | श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय, जो ZFC और न्यू फ़ाउंडेशन में पूरी तरह से मानक तरीके से सिद्ध है, यह स्थापित करता है

• $|A|\leq |B|\wedge |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|$

(यह कार्डिनल्स पर एंटीसिममेट्री स्थापित करता है), और

• $|A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|$

किसी भी सिद्धांत में पसंद के सिद्धांत से मानक तरीके से अनुसरण किया जाता है।

परिमित समुच्चय और प्राकृत संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याओं को या तो परिमित क्रमसूचक या परिमित कार्डिनल माना जा सकता है। यहां उन्हें परिमित कार्डिनल संख्या के रूप में मानें। यह पहली जगह है जहां ZFC और न्यू फ़ाउंडेशन के कार्यान्वयन के बीच एक बड़ा अंतर स्पष्ट हो जाता है।

ZFC के अनंत का अभिगृहीत हमें बताता है कि एक समुच्चय A है जिसमें शामिल है $\emptyset$ और शामिल है $y\cup \{y\}$ प्रत्येक के लिए $y\in A$. यह सेट ए विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है (इस क्लोजर प्रॉपर्टी को संरक्षित करते हुए इसे बड़ा बनाया जा सकता है): प्राकृतिक संख्याओं का सेट एन है

• $\{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}$

जो सभी सेटों का प्रतिच्छेदन है जिसमें खाली सेट होता है और उत्तराधिकारी ऑपरेशन के तहत बंद होता है $y\mapsto y\cup \{y\}$.

ZFC में, एक सेट $A$ यदि और केवल यदि है तो ही सीमित है $n\in N$ ऐसा है कि $|n|=|A|$: आगे, परिभाषित करें $|A|$ परिमित A के लिए यह n के रूप में। (यह साबित किया जा सकता है कि कोई भी दो अलग-अलग प्राकृतिक संख्याएँ समान आकार की नहीं हैं)।

अंकगणित की सामान्य संक्रियाओं को पुनरावर्ती रूप से और उस शैली के समान परिभाषित किया जा सकता है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं के सेट को परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, + (प्राकृतिक संख्याओं पर जोड़ संक्रिया) को सबसे छोटे सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $((x,\emptyset ),x)$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $x$ और शामिल है $((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})$ जब भी इसमें शामिल है $((x,y),z)$.

एनएफयू में, यह स्पष्ट नहीं है कि उत्तराधिकारी ऑपरेशन के बाद से इस दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है $y\cup \{y\}$ अस्थिर है और इसलिए ऊपर परिभाषित सेट एन को एनएफयू में मौजूद नहीं दिखाया जा सकता है (यह एनएफयू में मौजूद परिमित वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स के सेट के लिए सुसंगत है, लेकिन यह सिद्धांत को मजबूत करता है, क्योंकि इस सेट का अस्तित्व गणना के सिद्धांत का तात्पर्य है (जिसके लिए नीचे या न्यू फ़ाउंडेशन लेख देखें))।

प्राकृतिक संख्याओं की मानक परिभाषा, जो वास्तव में प्राकृतिक संख्याओं की सबसे पुरानी सेट-सैद्धांतिक परिभाषा है, समतुल्यता के तहत परिमित सेटों के समतुल्य वर्गों के रूप में है। मूल रूप से वही परिभाषा नई नींव के लिए उपयुक्त है (यह सामान्य परिभाषा नहीं है, लेकिन परिणाम समान हैं): फिन को परिभाषित करें, परिमित सेट का सेट, जैसे

$\{A\mid \forall F\,(\emptyset \in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A\in F)\}$

किसी भी सेट के लिए $A\in Fin$, परिभाषित करना $|A|$ जैसा $\{B\mid A\sim B\}$. N को समुच्चय के रूप में परिभाषित करें $\{|A|\mid A\in Fin\}$.

एनएफयू के अनंत के अभिगृहीत को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $V\not \in Fin$: यह स्थापित करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में एक गैर-रिक्त उत्तराधिकारी (उत्तराधिकारी) होता है $|A|$ प्राणी $|A\cup \{x\}|$ किसी के लिए $x\not \in A$) जो यह दिखाने का कठिन हिस्सा है कि अंकगणित के पीनो सिद्धांत संतुष्ट हैं।

अंकगणित की संक्रियाओं को ऊपर दी गई शैली के समान शैली में परिभाषित किया जा सकता है (अभी दी गई उत्तराधिकारी की परिभाषा का उपयोग करके)। उन्हें प्राकृतिक सेट सैद्धांतिक तरीके से भी परिभाषित किया जा सकता है: यदि ए और बी असंयुक्त परिमित सेट हैं, तो परिभाषित करें |ए|+|बी| जैसा $|A\cup B|$. अधिक औपचारिक रूप से, एम के लिए एम+एन और एन में एन को परिभाषित करें

$\{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset \wedge A=B\cup C)\}$

(लेकिन ध्यान दें कि परिभाषा की यह शैली ZFC अंकों के लिए भी संभव है, लेकिन अधिक घुमावदार: न्यू फ़ाउंडेशन परिभाषा का रूप सेट हेरफेर की सुविधा देता है जबकि ZFC परिभाषा का रूप पुनरावर्ती परिभाषाओं की सुविधा देता है, लेकिन कोई भी सिद्धांत परिभाषा की किसी भी शैली का समर्थन करता है)।

दोनों कार्यान्वयन काफी भिन्न हैं। ZFC में, प्रत्येक परिमित कार्डिनैलिटी का एक प्रतिनिधि (गणित) चुनें (समकक्ष वर्ग स्वयं सेट होने के लिए बहुत बड़े हैं); एनएफयू में समतुल्य वर्ग स्वयं सेट हैं, और इस प्रकार कार्डिनलिटी के लिए वस्तुओं के लिए एक स्पष्ट विकल्प हैं। हालाँकि, दोनों सिद्धांतों का अंकगणित समान है: एक ही अमूर्तता इन दो सतही रूप से भिन्न दृष्टिकोणों द्वारा कार्यान्वित की जाती है।

तुल्यता संबंध और विभाजन

सेट सिद्धांत में अमूर्तता को लागू करने की एक सामान्य तकनीक समतुल्य वर्गों का उपयोग है। यदि एक तुल्यता संबंध आर हमें बताता है कि इसके क्षेत्र ए के तत्व कुछ विशेष संबंध में समान हैं, तो किसी भी सेट एक्स के लिए, सेट पर विचार करें $[x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}$ केवल उन विशेषताओं का सम्मान करते हुए सेट x से एक अमूर्तता का प्रतिनिधित्व करते हुए (A से R तक के तत्वों की पहचान करें)।

किसी भी सेट ए के लिए, एक सेट $P$ ए का एक विभाजन है यदि पी के सभी तत्व गैर-रिक्त हैं, पी के कोई भी दो अलग-अलग तत्व असंयुक्त हैं, और $A=\bigcup P$.

फ़ील्ड ए के साथ प्रत्येक तुल्यता संबंध आर के लिए, $\{[x]_{R}\mid x\in A\}$ ए का एक विभाजन है। इसके अलावा, ए का प्रत्येक विभाजन पी एक तुल्यता संबंध निर्धारित करता है $\{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\wedge y\in A)\}$.

इस तकनीक की ZFC और न्यू फ़ाउंडेशन दोनों में सीमाएँ हैं। ZFC में, चूंकि ब्रह्मांड एक सेट नहीं है, इसलिए केवल छोटे डोमेन के तत्वों से सुविधाओं को अमूर्त करना संभव लगता है। दाना स्कॉट के कारण एक चाल का उपयोग करके इसे टाला जा सकता है: यदि आर ब्रह्मांड पर एक तुल्यता संबंध है, तो परिभाषित करें $[x]_{R}$ जैसे कि आप सभी का समुच्चय ऐसा है $yRx$ और y की रैंक (सेट सिद्धांत) किसी की रैंक से कम या उसके बराबर है $zRx$. यह काम करता है क्योंकि रैंक सेट हैं। बेशक, अभी भी एक उचित वर्ग हो सकता है $[x]_{R}$'एस। एनएफयू में, मुख्य कठिनाई यही है $[x]_{R}$ x से एक प्रकार अधिक है, उदाहरण के लिए मानचित्र $x\mapsto [x]_{R}$ सामान्य तौर पर यह एक (सेट) फ़ंक्शन नहीं है (हालाँकि $\{x\}\mapsto [x]_{R}$ एक सेट है) प्रतिस्थापित करने के लिए प्रत्येक समकक्ष वर्ग से एक प्रतिनिधि का चयन करने के लिए पसंद के सिद्धांत के उपयोग से इसे टाला जा सकता है $[x]_{R}$, जो x के समान प्रकार में होगा, या एक कैनोनिकल प्रतिनिधि चुनकर यदि चॉइस को लागू किए बिना ऐसा करने का कोई तरीका है (ZFC में प्रतिनिधियों का उपयोग शायद ही अज्ञात है)। एनएफयू में, सामान्य सेटों के अमूर्त गुणों के लिए समतुल्य वर्ग निर्माणों का उपयोग अधिक सामान्य है, उदाहरण के लिए नीचे कार्डिनल और क्रमिक संख्या की परिभाषाओं में।

क्रमिक संख्या

दो सुव्यवस्थित $W_{1}$ और $W_{2}$ समान हैं और लिखते हैं $W_{1}\sim W_{2}$ बस उस स्थिति में जब के क्षेत्र से कोई आपत्ति एफ हो $W_{1}$ के क्षेत्र में $W_{2}$ ऐसा है कि $xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)$ सभी x और y के लिए.

समानता को एक तुल्यता संबंध के रूप में दिखाया गया है ठीक उसी तरह जैसे ऊपर समतुल्यता को एक तुल्यता संबंध के रूप में दिखाया गया था।

न्यू फ़ाउंडेशन (NFU) में, एक वेल-ऑर्डरिंग W का 'ऑर्डर प्रकार' सभी वेल-ऑर्डरिंग का सेट है जो W के समान है। 'क्रमिक संख्याओं' का सेट सभी ऑर्डर प्रकार के वेल-ऑर्डरिंग का सेट है।

यह ZFC में काम नहीं करता, क्योंकि समतुल्य वर्ग बहुत बड़े हैं। अनिवार्य रूप से उसी तरह से ऑर्डिनल्स को परिभाषित करने के लिए स्कॉट की चाल का उपयोग करना औपचारिक रूप से संभव होगा, लेकिन जॉन वॉन न्यूमैन का एक उपकरण अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है।

किसी भी आंशिक आदेश के लिए $\leq$, संगत सख्त आंशिक क्रम < के रूप में परिभाषित किया गया है $\{(x,y)\mid x\leq y\wedge x\neq y\}$. सख्त रैखिक आदेश और सख्त सु-आदेश को समान रूप से परिभाषित किया गया है।

एक समुच्चय A को 'सकर्मक' कहा जाता है यदि $\bigcup A\subseteq A$: ए के तत्व का प्रत्येक तत्व भी ए का एक तत्व है। ए '(वॉन न्यूमैन) ऑर्डिनल' एक सकर्मक सेट है जिस पर सदस्यता एक सख्त सुव्यवस्थित है।

ZFC में, एक सुव्यवस्थित W के ऑर्डर प्रकार को तब अद्वितीय वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो W के क्षेत्र के साथ समतुल्य होता है और सदस्यता जिस पर W के साथ जुड़े सख्त सु-क्रम के लिए आइसोमॉर्फिक होता है। (समरूपता की स्थिति आकार 0 और 1 के क्षेत्रों के साथ सु-क्रमों के बीच अंतर करती है, जिनके संबंधित सख्त सु-क्रम अप्रभेद्य होते हैं)।

ZFC में सभी ऑर्डिनल्स का एक सेट नहीं हो सकता है। वास्तव में, वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स किसी भी सेट सिद्धांत में एक असंगत समग्रता हैं: इसे मामूली सेट सैद्धांतिक मान्यताओं के साथ दिखाया जा सकता है कि वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल का प्रत्येक तत्व एक वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल है और वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स सदस्यता द्वारा सख्ती से सुव्यवस्थित हैं। यह इस प्रकार है कि वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स का वर्ग एक वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल होगा यदि यह एक सेट होता: लेकिन यह तब स्वयं का एक तत्व होगा, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि सदस्यता वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स का एक सख्त सुव्यवस्थित क्रम है।

सभी सुव्यवस्थित ऑर्डरों के लिए ऑर्डर प्रकारों का अस्तित्व ज़र्मेलो सेट सिद्धांत का प्रमेय नहीं है: इसके लिए प्रतिस्थापन के सिद्धांत की आवश्यकता होती है। यहां तक ​​कि स्कॉट की चाल का उपयोग ज़र्मेलो सेट सिद्धांत में अतिरिक्त धारणा के बिना नहीं किया जा सकता है (जैसे कि यह धारणा कि प्रत्येक सेट एक रैंक (सेट सिद्धांत) से संबंधित है जो एक सेट है, जो अनिवार्य रूप से नहीं है ज़र्मेलो सेट सिद्धांत को मजबूत करें लेकिन यह उस सिद्धांत का प्रमेय नहीं है)।

एनएफयू में, सभी अध्यादेशों का संग्रह स्तरीकृत समझ द्वारा एक सेट है। बुराली-फोर्टी विरोधाभास को अप्रत्याशित तरीके से टाला गया है। द्वारा परिभाषित अध्यादेशों पर एक प्राकृतिक क्रम है $\alpha \leq \beta$ यदि और केवल यदि कुछ (और कोई भी) $W_{1}\in \alpha$ कुछ (और किसी भी) के प्रारंभिक खंड के समान है $W_{2}\in \beta$. इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि यह प्राकृतिक क्रम क्रमसूचकों का एक सुव्यवस्थित क्रम है और इसलिए इसमें एक क्रम प्रकार होना चाहिए $\Omega$. ऐसा प्रतीत होता है कि क्रमसूचकों का क्रम प्रकार कम से कम है $\Omega$ प्राकृतिक व्यवस्था के साथ होगा $\Omega$, इस तथ्य का खंडन करते हुए $\Omega$ क्रमसूचकों पर संपूर्ण प्राकृतिक क्रम का क्रम प्रकार है (और इसलिए इसके किसी भी उचित प्रारंभिक खंड का नहीं)। लेकिन यह किसी के अंतर्ज्ञान (जेडएफसी में सही) पर निर्भर करता है कि प्राकृतिक क्रम का क्रम प्रकार कम से कम होता है $\alpha$ है $\alpha$ किसी भी आदेश के लिए $\alpha$. यह दावा अव्यवस्थित है, क्योंकि दूसरे का प्रकार $\alpha$ पहले के प्रकार से चार अधिक है (यदि एक प्रकार के स्तर के जोड़े का उपयोग किया जाता है तो दो अधिक है)। एनएफयू में जो दावा सत्य और सिद्ध है, वह यह है कि ऑर्डिनल्स पर प्राकृतिक क्रम का क्रम प्रकार से कम है $\alpha$ है $T^{4}(\alpha )$ किसी भी आदेश के लिए $\alpha$, कहाँ $T(\alpha )$ का ऑर्डर प्रकार है $W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}$ किसी के लिए $W\in \alpha$ (यह दिखाना आसान है कि यह W की पसंद पर निर्भर नहीं करता है; ध्यान दें कि T एक-एक करके प्रकार बढ़ाता है)। इस प्रकार क्रमसूचकों का क्रम प्रकार इससे कम होता है $\Omega$ प्राकृतिक क्रम के साथ है $T^{4}(\Omega )$, और $T^{4}(\Omega )<\Omega$. के सभी उपयोग $T^{4}$ यहां से बदला जा सकता है $T^{2}$ यदि एक प्रकार-स्तरीय जोड़ी का उपयोग किया जाता है।

इससे पता चलता है कि टी ऑपरेशन गैर-तुच्छ है, जिसके कई परिणाम हैं। यह तुरंत सिंगलटन मानचित्र का अनुसरण करता है $x\mapsto \{x\}$ एक सेट नहीं है, क्योंकि अन्यथा इस मानचित्र के प्रतिबंध डब्ल्यू और की समानता स्थापित करेंगे $W^{\iota }$ किसी भी सुव्यवस्थित W. T के लिए (बाह्य रूप से) विशेषण और व्यवस्था-संरक्षण है। इस वजह से, तथ्य $T^{4}(\Omega )<\Omega$ उसे स्थापित करता है $\Omega >T(\Omega )>T^{2}(\Omega )\ldots$ क्रमसूचकों में एक अवरोही क्रम है जो समुच्चय नहीं हो सकता।

टी द्वारा निर्धारित ऑर्डिनल्स को कैंटोरियन ऑर्डिनल्स कहा जाता है, और जो ऑर्डिनल्स केवल कैंटोरियन ऑर्डिनल्स पर हावी होते हैं (जिन्हें आसानी से स्वयं कैंटोरियन दिखाया जाता है) उन्हें दृढ़ता से कैंटोरियन कहा जाता है। कैंटोरियन ऑर्डिनल्स का कोई सेट या दृढ़ता से कैंटोरियन ऑर्डिनल्स का कोई सेट नहीं हो सकता है।

विषयांतर: एनएफयू में वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स

न्यू फ़ाउंडेशन में वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स के बारे में तर्क करना संभव है। याद रखें कि वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल एक सकर्मक सेट ए है जैसे कि ए की सदस्यता का प्रतिबंध एक सख्त सुव्यवस्थित है। एनएफयू संदर्भ में यह काफी मजबूत स्थिति है, क्योंकि सदस्यता संबंध में प्रकार का अंतर शामिल है। वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल ए एनएफयू के अर्थ में एक ऑर्डिनल नहीं है, लेकिन $\in \lceil A$ एक क्रमसूचक से संबंधित है $\alpha$ जिसे ऑर्डर प्रकार (सदस्यता) ए कहा जा सकता है। यह दिखाना आसान है कि वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल ए का ऑर्डर प्रकार कैंटोरियन है: ऑर्डर प्रकार के किसी भी अच्छे ऑर्डर वाले डब्ल्यू के लिए $\alpha$, समावेशन द्वारा डब्ल्यू के प्रारंभिक खंडों के प्रेरित सुव्यवस्थित क्रम में ऑर्डर प्रकार होता है $T(\alpha )$ (यह एक प्रकार अधिक है, इस प्रकार टी का अनुप्रयोग): लेकिन सदस्यता के आधार पर वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल ए के वेल-ऑर्डरिंग के ऑर्डर प्रकार और समावेशन द्वारा इसके प्रारंभिक खंडों के वेल-ऑर्डरिंग स्पष्ट रूप से समान हैं क्योंकि दो वेल-ऑर्डरिंग वास्तव में एक ही संबंध हैं, इसलिए ए का ऑर्डर प्रकार टी के तहत तय किया गया है। इसके अलावा, यही तर्क किसी भी छोटे ऑर्डिनल पर लागू होता है (जो कि ए के प्रारंभिक खंड का ऑर्डर प्रकार होगा, वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल भी) इसलिए किसी का ऑर्डर प्रकार वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल दृढ़ता से कैंटोरियन है।

एकमात्र वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स जिन्हें अतिरिक्त मान्यताओं के बिना एनएफयू में मौजूद दिखाया जा सकता है, वे ठोस परिमित हैं। हालाँकि, क्रमपरिवर्तन विधि का अनुप्रयोग एनएफयू के किसी भी मॉडल को एक ऐसे मॉडल में परिवर्तित कर सकता है जिसमें प्रत्येक दृढ़ता से कैंटोरियन ऑर्डिनल वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल का ऑर्डर प्रकार है। इससे पता चलता है कि एनएफयू की दृढ़ता से कैंटोरियन ऑर्डिनल की अवधारणा एनएफयू के स्पष्ट एनालॉग ऑर्डिनल की तुलना में जेडएफसी के ऑर्डिनल का बेहतर एनालॉग हो सकती है।

कार्डिनल संख्या

न्यू फ़ाउंडेशन में कार्डिनल संख्याओं को इस तरह से परिभाषित किया गया है जो प्राकृतिक की परिभाषा को सामान्य बनाता है संख्या: किसी भी सेट ए के लिए, $|A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}$.

ZFC में, ये समतुल्य वर्ग हमेशा की तरह बहुत बड़े हैं। स्कॉट की चाल का उपयोग किया जा सकता है (और वास्तव में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में इसका उपयोग किया जाता है), $|A|$ आमतौर पर ए के सुव्यवस्थित क्रम के सबसे छोटे क्रम प्रकार (यहां एक वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल) के रूप में परिभाषित किया जाता है (कि प्रत्येक सेट को सुव्यवस्थित किया जा सकता है)। दोनों सिद्धांतों में सामान्य तरीके से पसंद का सिद्धांत)।

कार्डिनल संख्याओं पर प्राकृतिक क्रम को एक सुव्यवस्थित रूप में देखा जाता है: यह रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक (अमूर्त कार्डिनल्स पर, जो अब उपलब्ध हैं) और ट्रांजिटिव है, ऊपर दिखाया गया है। यह एक रैखिक क्रम है जो पसंद के सिद्धांत से अनुसरण करता है: अच्छी तरह से क्रमबद्ध दो सेट और एक एक सुव्यवस्थित क्रम का प्रारंभिक खंड दूसरे के लिए समरूपी होगा, इसलिए एक सेट की कार्डिनैलिटी दूसरे की तुलना में छोटी होगी। यह एक सुव्यवस्थित है जो पसंद के सिद्धांत से इसी तरह से अनुसरण करता है।

प्रत्येक अनंत कार्डिनल के साथ, कई ऑर्डर प्रकार सामान्य कारणों से जुड़े होते हैं (किसी भी सेट सिद्धांत में)।

कैंटर का प्रमेय दिखाता है (दोनों सिद्धांतों में) कि अनंत कार्डिनल संख्याओं के बीच गैर-तुच्छ अंतर हैं। ZFC में, एक साबित होता है $|A|<|P(A)|.$ नई नींव में, कैंटर के प्रमेय का सामान्य रूप गलत है (मामले ए = वी पर विचार करें), लेकिन कैंटर का प्रमेय एक गलत टाइप किया गया कथन है। न्यू फ़ाउंडेशन में प्रमेय का सही रूप है $|P_{1}(A)|<|P(A)|$, कहाँ $P_{1}(A)$ A के एक-तत्व उपसमुच्चय का समुच्चय है। $|P_{1}(V)|<|P(V)|$ दिखाता है कि सेट की तुलना में कम सिंगलटन हैं (स्पष्ट आक्षेप $x\mapsto \{x\}$ से $P_{1}(V)$ V को पहले ही देखा जा चुका है कि यह समुच्चय नहीं है)। यह वास्तव में एनएफयू + चॉइस में सिद्ध है $|P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|$ (कहाँ $\ll$ कई हस्तक्षेप करने वाले कार्डिनलों के अस्तित्व का संकेत देता है; वहाँ अनेक, अनेक मूत्र तत्व हैं!) ऑर्डिनल्स पर टी ऑपरेशन के अनुरूप कार्डिनल्स पर टाइप-रेज़िंग टी ऑपरेशन को परिभाषित करें: $T(|A|)=|P_{1}(A)|$; यह कार्डिनल्स का एक बाहरी एंडोमोर्फिज्म है, जैसे कि ऑर्डिनल्स पर टी ऑपरेशन, ऑर्डिनल्स का एक बाहरी एंडोमोर्फिज्म है।

एक सेट ए को केवल मामले में 'कैंटोरियन' कहा जाता है $|A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)$; कार्डिनल $|A|$ इसे कैंटोरियन कार्डिनल भी कहा जाता है। एक सेट ए को 'दृढ़ता से कैंटोरियन' कहा जाता है (और इसका कार्डिनल भी दृढ़ता से कैंटोरियन होता है) केवल उस स्थिति में जब ए पर सिंगलटन मानचित्र का प्रतिबंध होता है ($(x\mapsto \{x\})\lceil A$) एक समुच्चय है. दृढ़तापूर्वक कैंटोरियन सेटों का सुव्यवस्थित क्रम सदैव दृढ़तापूर्वक कैंटोरियन क्रमसूचक होता है; यह हमेशा कैंटोरियन सेटों के सुव्यवस्थित क्रम के बारे में सच नहीं है (हालाँकि कैंटोरियन सेट का सबसे छोटा सुक्रमण कैंटोरियन होगा)। कैंटोरियन सेट एक ऐसा सेट है जो कैंटोर के प्रमेय के सामान्य रूप को संतुष्ट करता है।

दोनों सिद्धांतों में कार्डिनल अंकगणित के संचालन को सेट-सैद्धांतिक रूप से प्रेरित तरीके से परिभाषित किया गया है। $|A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset \}$. कोई परिभाषित करना चाहेगा $|A|\cdot |B|$ जैसा $|A\times B|$, और कोई इसे ZFC में करता है, लेकिन कुराटोस्की जोड़ी का उपयोग करते समय नई नींव में एक बाधा होती है: एक परिभाषित करता है $|A|\cdot |B|$ जैसा $T^{-2}(|A\times B|)$ जोड़ी और उसके प्रक्षेपणों के बीच 2 के प्रकार के विस्थापन के कारण, जिसका तात्पर्य कार्टेशियन उत्पाद और उसके कारकों के बीच दो के प्रकार के विस्थापन से है। यह साबित करना सीधा है कि उत्पाद हमेशा मौजूद रहता है (लेकिन इस पर ध्यान देने की आवश्यकता है क्योंकि T का व्युत्क्रम कुल नहीं है)।

कार्डिनल्स पर घातीय ऑपरेशन को परिभाषित करने के लिए आवश्यक तरीके से टी की आवश्यकता होती है: यदि $B^{A}$ A से B तक फ़ंक्शंस के संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया था, यह A या B से तीन प्रकार अधिक है, इसलिए इसे परिभाषित करना उचित है $|B|^{|A|}$ जैसा $T^{-3}(|B^{A}|)$ ताकि यह A या B के समान प्रकार का हो ($T^{-1}$ के स्थान पर $T^{-3}$ टाइप-स्तरीय जोड़े के साथ)। इसका एक प्रभाव यह है कि घातांकीय संक्रिया आंशिक है: उदाहरण के लिए, $2^{|V|}$ अपरिभाषित है. ZFC में एक परिभाषित करता है $|B|^{|A|}$ जैसा $|B^{A}|$ कठिनाई के बिना।

घातीय ऑपरेशन कुल है और कैंटोरियन कार्डिनल्स पर बिल्कुल अपेक्षित व्यवहार करता है, क्योंकि टी ऐसे कार्डिनल्स को ठीक करता है और यह दिखाना आसान है कि कैंटोरियन सेटों के बीच एक फ़ंक्शन स्पेस कैंटोरियन है (जैसे पावर सेट, कार्टेशियन उत्पाद और अन्य सामान्य प्रकार के कंस्ट्रक्टर हैं)। इससे इस दृष्टिकोण को और प्रोत्साहन मिलता है कि न्यू फ़ाउंडेशन में मानक कार्डिनैलिटीज़ कैंटोरियन (वास्तव में, दृढ़ता से कैंटोरियन) कार्डिनैलिटी हैं, जैसे मानक ऑर्डिनल्स दृढ़ता से कैंटोरियन ऑर्डिनल्स प्रतीत होते हैं।

अब पसंद के स्वयंसिद्ध सहित कार्डिनल अंकगणित के सामान्य प्रमेयों को सिद्ध किया जा सकता है $\kappa \cdot \kappa =\kappa$. मामले से $|V|\cdot |V|=|V|$ एक प्रकार के स्तर पर क्रमित युग्म का अस्तित्व प्राप्त किया जा सकता है: $|V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)$ के बराबर है $|V|$ शायद ज़रुरत पड़े $|V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|$, जो कुराटोस्की जोड़ों के बीच एक-से-एक पत्राचार द्वारा देखा जाएगा $(a,b)$ और डबल सिंगलटन $\{\{c\}\}$: पुनः परिभाषित करें $(a,b)$ जैसा कि सी ऐसा है $\{\{c\}\}$ कुराटोव्स्की से जुड़ा है $(a,b)$: यह क्रमित युग्म की एक प्रकार-स्तरीय धारणा है।

स्तरीकरण की गिनती और तोड़फोड़ का सिद्धांत

इसलिए न्यू फ़ाउंडेशन में प्राकृतिक संख्याओं के दो अलग-अलग कार्यान्वयन हैं (हालाँकि वे ZFC में समान हैं): परिमित क्रमसूचक और परिमित कार्डिनल। इनमें से प्रत्येक न्यू फ़ाउंडेशन में एक टी ऑपरेशन (मूल रूप से वही ऑपरेशन) का समर्थन करता है। इसे साबित करना आसान है $T(n)$ एक प्राकृतिक संख्या है यदि न्यू फ़ाउंडेशन + इन्फिनिटी + चॉइस (और इसी तरह) में n एक प्राकृतिक संख्या है $|N|$ और पहला अनंत क्रमवाचक $\omega$ कैंटोरियन हैं) लेकिन इस सिद्धांत में यह साबित करना संभव नहीं है $T(n)=n$. हालाँकि, सामान्य ज्ञान इंगित करता है कि यह सच होना चाहिए, और इसलिए इसे एक स्वयंसिद्ध के रूप में अपनाया जा सकता है:

• रोसेर का गिनती का अभिगृहीत: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, $T(n)=n$.

इस स्वयंसिद्ध (और वास्तव में इसका मूल सूत्रीकरण) का एक स्वाभाविक परिणाम है

• $|\{1,\ldots ,n\}|=n$ प्रत्येक प्राकृत संख्या के लिए n.

न्यू फ़ाउंडेशन में वह सब कुछ बिना गिनती के सिद्ध किया जा सकता है $|\{1,\ldots ,n\}|=T^{2}(n)$.

काउंटिंग का एक परिणाम यह है कि एन एक दृढ़ता से कैंटोरियन सेट है (फिर से, यह एक समतुल्य दावा है)।

दृढ़ता से कैंटोरियन सेट के गुण

दृढ़ता से कैंटोरियन सेट ए तक सीमित किसी भी चर के प्रकार को संदर्भों को प्रतिस्थापित करके इच्छानुसार बढ़ाया या घटाया जा सकता है $a\in A$ के सन्दर्भ में $\bigcup f(a)$ (उठाए गए प्रकार का; यह माना जाता है कि यह ज्ञात है कि ए एक सेट है; अन्यथा किसी को का तत्व कहना होगा $f(a)$इस प्रभाव को पाने के लिए) या $f^{-1}(\{a\})$ (एक प्रकार का निचला भाग) कहाँ $f(a)=\{a\}$ सभी के लिए $a\in A$, इसलिए स्तरीकरण के प्रयोजनों के लिए ऐसे चरों को प्रकार निर्दिष्ट करना आवश्यक नहीं है।

दृढ़ता से कैंटोरियन सेट का कोई भी उपसमुच्चय दृढ़ता से कैंटोरियन होता है। दृढ़तापूर्वक कैंटोरियन सेट का पावर सेट दृढ़ता से कैंटोरियन होता है। दो दृढ़तापूर्वक कैंटोरियन सेटों का कार्टेशियन उत्पाद दृढ़ता से कैंटोरियन है।

गणना के सिद्धांत का परिचय देने का मतलब है कि प्रकारों को एन या पी (एन), आर (वास्तविकता का सेट) या वास्तव में सेट सिद्धांत के बाहर शास्त्रीय गणित में कभी भी विचार किए गए किसी भी सेट तक सीमित चर को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

ZFC में कोई समान घटना नहीं है। मजबूत सिद्धांतों के लिए मुख्य न्यू फ़ाउंडेशन लेख देखें जिन्हें परिचित गणितीय वस्तुओं के मानक व्यवहार को लागू करने के लिए एनएफयू से जोड़ा जा सकता है।

परिचित संख्या प्रणाली: सकारात्मक परिमेय, परिमाण, और वास्तविक

धनात्मक भिन्नों को धनात्मक प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े के रूप में निरूपित करें (0 को बाहर रखा गया है): ${\frac {p}{q}}$ जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है $(p,q)$. बनाने के लिए ${\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr$, संबंध का परिचय दें $\sim$ द्वारा परिभाषित $(p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr$. यह सिद्ध है कि यह एक समतुल्य संबंध है: इस संबंध के तहत सकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं को सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित करें। सकारात्मक परिमेय संख्याओं पर अंकगणितीय परिचालन और सकारात्मक परिमेय पर क्रम संबंध को प्राथमिक विद्यालय की तरह ही परिभाषित किया गया है और अपेक्षित गुणों को साबित किया गया है (कुछ प्रयासों के साथ)।

बिना किसी सबसे बड़े तत्व के सकारात्मक परिमेय के गैर-रिक्त उचित प्रारंभिक खंडों के रूप में परिमाण (सकारात्मक वास्तविक) का प्रतिनिधित्व करें। परिमाणों पर जोड़ और गुणन की संक्रियाओं को परिमाणों के सकारात्मक तर्कसंगत तत्वों के तत्ववार जोड़ द्वारा कार्यान्वित किया जाता है। आदेश को सेट समावेशन के रूप में लागू किया गया है।

वास्तविक संख्याओं को अंतर के रूप में निरूपित करें $m-n$ परिमाण का: औपचारिक रूप से कहें तो, एक वास्तविक संख्या जोड़ियों का एक तुल्यता वर्ग है $(m,n)$ तुल्यता संबंध के तहत परिमाण का $\sim$ द्वारा परिभाषित $(m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r$. वास्तविक संख्याओं पर जोड़ और गुणा की संक्रियाओं को वैसे ही परिभाषित किया गया है जैसे कोई अंतर जोड़ने और गुणा करने के लिए बीजगणितीय नियमों से अपेक्षा करता है। क्रम का उपचार भी प्रारंभिक बीजगणित के समान ही है।

यह निर्माणों का संक्षिप्त रेखाचित्र है। ध्यान दें कि प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण में अंतर को छोड़कर, ZFC और न्यू फ़ाउंडेशन में निर्माण बिल्कुल समान हैं: चूंकि सभी चर दृढ़ता से कैंटोरियन सेट तक सीमित हैं, इसलिए स्तरीकरण प्रतिबंधों के बारे में चिंता करने की कोई आवश्यकता नहीं है। गिनती के सिद्धांत के बिना, इन निर्माणों की पूरी चर्चा में टी के कुछ अनुप्रयोगों को पेश करना आवश्यक हो सकता है।

सेट के अनुक्रमित परिवारों पर संचालन

निर्माण के इस वर्ग में ऐसा प्रतीत होता है कि ZFC को नई नींव पर लाभ है: हालांकि नई नींव में निर्माण स्पष्ट रूप से व्यवहार्य हैं, स्तरीकरण से संबंधित कारणों से वे ZFC की तुलना में अधिक जटिल हैं।

इस पूरे खंड में एक प्रकार-स्तरीय क्रमित जोड़ी मान ली गई है। परिभाषित करना $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ जैसा $(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))$. कुराटोस्की जोड़ी का उपयोग करके सामान्य एन-टुपल की परिभाषा अधिक पेचीदा है, क्योंकि सभी अनुमानों के प्रकारों को समान रखने की आवश्यकता होती है, और एन-ट्यूपल और उसके अनुमानों के बीच प्रकार का विस्थापन n बढ़ने के साथ बढ़ता है। यहां, n-ट्यूपल का प्रकार उसके प्रत्येक प्रक्षेपण के समान है।

सामान्य कार्टेशियन उत्पादों को इसी तरह परिभाषित किया गया है: $A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})$ ZFC में परिभाषाएँ समान हैं लेकिन स्तरीकरण के बारे में कोई चिंता नहीं है (यहाँ दिया गया समूहीकरण आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले समूह के विपरीत है, लेकिन इसे आसानी से ठीक किया जा सकता है)।

अब अनंत कार्तीय गुणनफल पर विचार करें $\Pi _{i\in I}A_{i}$. ZFC में, इसे डोमेन I के साथ सभी फ़ंक्शन f के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $f(i)\in A_{i}$ (जहाँ A को स्पष्ट रूप से प्रत्येक i को ले जाने वाले फ़ंक्शन के रूप में समझा जाता है $A_{i}$).

एनएफयू में, इसके प्रकार पर ध्यान देने की आवश्यकता है। एक सेट I दिया गया है और मूल्यवान फ़ंक्शन A सेट किया गया है जिसका मान at है $\{i\}$ में $P_{1}(I)$ लिखा है $A_{i}$, परिभाषित करना $\Pi _{i\in I}A_{i}$ डोमेन I के साथ सभी फ़ंक्शंस f के सेट के रूप में ऐसा है $f(i)\in A_{i}$: नोटिस जो $f(i)\in A_{i}=A(\{i\})$ हमारे सम्मेलन के कारण स्तरीकृत किया गया है कि ए सूचकांकों के सिंगलटन पर मान वाला एक फ़ंक्शन है। ध्यान दें कि सेट के सबसे बड़े परिवारों (जिन्हें सिंगलटन के सेट द्वारा अनुक्रमित नहीं किया जा सकता) में इस परिभाषा के तहत कार्टेशियन उत्पाद नहीं होंगे। आगे ध्यान दें कि सेट $A_{i}$ सूचकांक सेट I के समान प्रकार के हैं (क्योंकि इसके तत्वों से एक प्रकार अधिक है); उत्पाद, डोमेन I के साथ फ़ंक्शंस के एक सेट के रूप में (इसलिए I के समान प्रकार पर) एक प्रकार उच्चतर है (एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी मानते हुए)।

अब उत्पाद पर विचार करें $\Pi _{i\in I}|A_{i}|$ इन सेटों के कार्डिनल्स की। कार्डिनैलिटी |$\Pi _{i\in I}A_{i}$| कार्डिनल्स से एक प्रकार ऊँचा है $|A_{i}|$, इसलिए कार्डिनल्स के अनंत उत्पाद की सही परिभाषा है $T^{-1}(|\Pi _{i\in I}A_{i}|)$ (चूँकि T का व्युत्क्रम पूर्ण नहीं है, यह संभव है कि इसका अस्तित्व ही न हो)।

सेट के परिवारों और कार्डिनल्स के परिवारों के योग के असंयुक्त संघों के लिए इसे दोहराएं। फिर से, A को डोमेन के साथ एक सेट-वैल्यू फ़ंक्शन होने दें $P_{1}(I)$: लिखना $A_{i}$ के लिए $A(\{i\})$. असंयुक्त संघ $\Sigma _{i\in I}A_{i}$ सेट है $\{(i,a)\mid a\in A_{i}\}$. यह सेट सेट के समान ही प्रकार का है $A_{i}$.

योग की सही परिभाषा $\Sigma _{i\in I}|A_{i}|$ इस प्रकार है $|\Sigma _{i\in I}A_{i}|$, चूँकि कोई प्रकार का विस्थापन नहीं है।

इंडेक्स सेट को संभालने के लिए इन परिभाषाओं का विस्तार करना संभव है जो सिंगलटन के सेट नहीं हैं, लेकिन यह एक अतिरिक्त प्रकार के स्तर का परिचय देता है और अधिकांश उद्देश्यों के लिए इसकी आवश्यकता नहीं होती है।

ZFC में असंयुक्त संघ को परिभाषित करें $\Sigma _{i\in I}A_{i}$ जैसा $\{(i,a)\mid a\in A_{i}\}$, कहाँ $A_{i}$ संक्षिप्तीकरण $A(i)$.

क्रमपरिवर्तन विधियों का उपयोग इस दावे के एनएफयू के साथ सापेक्ष स्थिरता दिखाने के लिए किया जा सकता है कि प्रत्येक दृढ़ता से कैंटोरियन सेट ए के लिए एक ही आकार का एक सेट I होता है जिसके तत्व स्व-सिंगलटन होते हैं: $i=\{i\}$ I में प्रत्येक i के लिए।

संचयी पदानुक्रम

ZFC में, संचयी पदानुक्रम को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले सेटों के क्रमिक-अनुक्रमित अनुक्रम के रूप में परिभाषित करें: $V_{0}=\emptyset$; $V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha })$; $V_{\lambda }=\bigcup \{V_{\beta }\mid \beta <\lambda \}$ सीमा अध्यादेशों के लिए $\lambda$. यह ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा निर्माण का एक उदाहरण है। सेट A की रैंक बताई गई है $\alpha$ अगर और केवल अगर $A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha }$. सेट के रूप में रैंकों का अस्तित्व प्रत्येक सीमा चरण पर प्रतिस्थापन के सिद्धांत पर निर्भर करता है (ज़र्मेलो सेट सिद्धांत में पदानुक्रम का निर्माण नहीं किया जा सकता है); नींव के सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक सेट किसी न किसी रैंक का होता है।

कार्डिनल $|P(V_{\omega +\alpha })|$ कहा जाता है $\beth _{\alpha }$.

यह निर्माण नई फ़ाउंडेशन में नहीं किया जा सकता क्योंकि पावर सेट ऑपरेशन नई फ़ाउंडेशन में एक सेट फ़ंक्शन नहीं है ($P(A)$ स्तरीकरण के प्रयोजनों के लिए ए से एक प्रकार अधिक है)।

कार्डिनल्स का क्रम $\beth _{\alpha }$ एनएफयू में लागू किया जा सकता है। याद करें कि $2^{|A|}$ परिभाषित किया जाता है $T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)$, कहाँ $\{0,1\}$ आकार 2 का एक सुविधाजनक सेट है, और $|\{0,1\}^{A}|=|P(A)|$. होने देना $\beth$ कार्डिनल्स का सबसे छोटा सेट हो जिसमें शामिल हो $|N|$ (प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की कार्डिनैलिटी), में कार्डिनल शामिल है $2^{|A|}$ जब भी इसमें शामिल है $|A|$, और जो कार्डिनल्स के सेट की सर्वोच्चता के तहत बंद है।

किसी भी सुव्यवस्थित क्रम के क्रमिक अनुक्रमण के लिए एक सम्मेलन $W_{\alpha }$ के क्षेत्र के तत्व x के रूप में परिभाषित किया गया है $W$ ऐसा है कि के प्रतिबंध का आदेश प्रकार $W$ को $\{y\mid yWx\}$ है $\alpha$; फिर परिभाषित करें $\beth _{\alpha }$ सूचकांक वाले तत्व के रूप में $\alpha$ के तत्वों पर प्राकृतिक क्रम में $\beth$. कार्डिनल $\aleph _{\alpha }$ सूचकांक वाला तत्व है $\alpha$ सभी अनंत कार्डिनल्स पर प्राकृतिक क्रम में (जो एक सुव्यवस्थित है, ऊपर देखें)। ध्यान दें कि $\aleph _{0}=|N|$ इस परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है। इन सभी निर्माणों में, ध्यान दें कि सूचकांक का प्रकार $\alpha$ के प्रकार से दो अधिक (प्रकार-स्तरीय क्रमित युग्म के साथ) है $W_{\alpha }$.

ZFC के प्रत्येक सेट A में एक सकर्मक समापन होता है $TC(A)$ (सभी सकर्मक समुच्चयों का प्रतिच्छेदन जिसमें A शामिल है)। नींव के सिद्धांत के अनुसार, ए के सकर्मक समापन के लिए सदस्यता संबंध का प्रतिबंध एक अच्छी तरह से स्थापित संबंध है। रिश्ता $\in \lceil TC(A)$ या तो खाली है या इसका शीर्ष तत्व A है, इसलिए यह संबंध एक सेट चित्र है। ZFC में यह सिद्ध किया जा सकता है कि प्रत्येक सेट चित्र कुछ के लिए समरूपी है $\in \lceil TC(A)$.

इससे पता चलता है कि (एक प्रारंभिक खंड) संचयी पदानुक्रम का अध्ययन सेट चित्रों के समरूपता वर्गों पर विचार करके किया जा सकता है। ये समरूपता वर्ग सेट हैं और नई नींव में एक सेट बनाते हैं। सेट चित्रों के समरूपता वर्गों पर सदस्यता के अनुरूप एक प्राकृतिक सेट संबंध है: यदि $x$ एक सेट चित्र है, लिखो $[x]$ इसके समरूपता वर्ग के लिए और परिभाषित करें $[x]E[y]$ यदि धारण किये हुए हो $[x]$ वाई के शीर्ष तत्व के वाई के तहत प्रीइमेज के तत्वों में से एक के नीचे की ओर बंद होने के लिए वाई के प्रतिबंध का समरूपता वर्ग है। संबंध ई एक सेट संबंध है, और यह साबित करना आसान है कि यह अच्छी तरह से स्थापित और विस्तारित है। यदि ई की परिभाषा भ्रमित करने वाली है, तो इस अवलोकन से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि यह ठीक उस संबंध से प्रेरित है जो ए से जुड़े सेट चित्र और बी से जुड़े सेट चित्र के बीच होता है। $A\in B$ सामान्य सेट सिद्धांत में.

सेट चित्रों के समरूपता वर्गों पर एक टी ऑपरेशन होता है, जो ऑर्डिनल्स पर टी ऑपरेशन के अनुरूप होता है: यदि x एक सेट चित्र है, तो यह भी है $x^{\iota }=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}$. परिभाषित करना $T([x])$ जैसा $[x^{\iota }]$. यह देखना आसान है $[x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])$.

इस सिम्युलेटेड सेट सिद्धांत के लिए विस्तारशीलता का एक सिद्धांत ई की विस्तारशीलता से अनुसरण करता है। इसकी सुगठितता से नींव का सिद्धांत अनुसरण करता है। यह प्रश्न बना हुआ है कि स्वयंसिद्ध E की क्या समझ हो सकती है। सेट चित्रों के किसी भी संग्रह पर विचार करें $\{x^{\iota }\mid x\in S\}$ (सेट चित्रों का संग्रह जिनके क्षेत्र पूरी तरह से सिंगलटन से बने हैं)। प्रत्येक के बाद से $x^{\iota }$ x से एक प्रकार अधिक है (एक प्रकार-स्तर क्रमित युग्म का उपयोग करके), प्रत्येक तत्व को प्रतिस्थापित करता है $\{a\}$ प्रत्येक के क्षेत्र का $x^{\iota }$ के साथ संग्रह में $(x,\{a\})$ परिणामस्वरूप सेट चित्रों का एक संग्रह मूल संग्रह से समरूप होता है लेकिन उनके क्षेत्र असंबद्ध होते हैं। इन सेट का मिलन एक नए शीर्ष तत्व के साथ चित्र एक सेट चित्र उत्पन्न करते हैं जिसका समरूपता प्रकार ई के तहत इसकी पूर्वछवियों के रूप में मूल संग्रह के बिल्कुल तत्व होंगे। अर्थात्, समरूपता प्रकार के किसी भी संग्रह के लिए $[x^{\iota }]=T([x])$, एक समरूपता प्रकार है $[y]$ E के अंतर्गत जिसका पूर्वचित्र बिल्कुल यही संग्रह है।

विशेष रूप से, एक समरूपता प्रकार [v] होगा जिसकी E के अंतर्गत पूर्वछवि सभी T[x] (T[v] सहित) का संग्रह है। चूँकि T[v] E v और E अच्छी तरह से स्थापित है, $T[v]\neq v$. यह ऊपर और न्यू फ़ाउंडेशन लेख में चर्चा किए गए बुराली-फोर्टी विरोधाभास के समाधान जैसा दिखता है, और वास्तव में सभी अच्छी तरह से स्थापित सेटों के सेट के मिरिमैनॉफ के विरोधाभास का स्थानीय समाधान है।

सेट चित्रों के समरूपता वर्गों के रैंक होते हैं जैसे सामान्य सेट सिद्धांत में सेट के रैंक होते हैं। सेट चित्रों ए के किसी भी संग्रह के लिए, एस (ए) को सेट चित्रों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के रूप में परिभाषित करें जिनकी ई के तहत प्रीइमेज ए का सबसेट है; यदि A का प्रत्येक उपसमुच्चय E के अंतर्गत एक पूर्वछवि है, तो A को पूर्ण सेट कहें। रैंकों का संग्रह सबसे छोटा संग्रह है जिसमें खाली सेट होता है और S ऑपरेशन (जो एक प्रकार का पावर सेट निर्माण है) और इसके उपसंग्रहों के संघों के तहत बंद होता है। यह सिद्ध करना सरल है (सामान्य सेट सिद्धांत की तरह) कि समावेशन द्वारा रैंकों को सुव्यवस्थित किया जाता है, और इसलिए इस सुव्यवस्थित क्रम में रैंकों का एक सूचकांक होता है: सूचकांक के साथ रैंक को देखें $\alpha$ जैसा $R_{\alpha }$. यह बात सिद्ध है $|R_{\alpha }|=\beth _{\alpha }$ पूर्ण रैंक के लिए $R_{\alpha }$. संबंध E के साथ पूर्ण रैंकों (जो पहली अपूर्ण रैंक होगी) का मिलन ज़र्मेलो-शैली सेट सिद्धांत के ब्रह्मांड के प्रारंभिक खंड जैसा दिखता है (जरूरी नहीं कि ZFC के पूर्ण ब्रह्मांड की तरह हो क्योंकि यह पर्याप्त बड़ा नहीं हो सकता है)। यह सिद्ध है कि यदि $R_{\alpha }$ तो, पहली अपूर्ण रैंक है $R_{T(\alpha )}$ एक पूर्ण रैंक है और इस प्रकार $T(\alpha )<\alpha$. तो बाहरी ऑटोमोर्फिज्म टी के साथ संचयी पदानुक्रम की एक रैंक है जो रैंक को नीचे की ओर ले जा रही है, बिल्कुल संचयी पदानुक्रम में एक रैंक के गैर-मानक मॉडल की स्थिति जिसके तहत न्यू फ़ाउंडेशन लेख में एनएफयू का एक मॉडल बनाया गया है। सत्यापित करने के लिए तकनीकी विवरण हैं, लेकिन इस संरचना में न केवल ZFC के एक टुकड़े की बल्कि न्यू फ़ाउंडेशन की भी व्याख्या है। $[x]\in _{NFU}[y]$ के रूप में परिभाषित $T([x])E[y]\wedge [y]\in R_{T(\alpha )+1}$: यह संबंध $E_{NFU}$ यह एक निर्धारित संबंध नहीं है, लेकिन इसके तर्कों के बीच सामान्य सदस्यता संबंध के समान ही विस्थापन होता है $\in$.

तो सेट के संचयी पदानुक्रम के एनएफयू के अंदर एक प्राकृतिक निर्माण होता है जो ज़र्मेलो-शैली सेट सिद्धांत में एनएफयू के एक मॉडल के प्राकृतिक निर्माण को आंतरिक बनाता है।

न्यू फ़ाउंडेशन लेख में वर्णित कैंटोरियन सेट्स के एक्सिओम के तहत, सदस्यता के रूप में ई संबंध के साथ सेट चित्रों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों के सेट का दृढ़ता से कैंटोरियन भाग ZFC का एक (उचित वर्ग) मॉडल बन जाता है (जिसमें प्रत्येक n के लिए n-Mahlo कार्डिनल्स होते हैं; NFU का यह विस्तार ZFC से सख्ती से मजबूत है)। यह एक उचित वर्ग मॉडल है क्योंकि दृढ़ता से कैंटोरियन समरूपता वर्ग एक सेट नहीं बनाते हैं।

एनएफयू के किसी भी मॉडल से एक मॉडल बनाने के लिए क्रमपरिवर्तन विधियों का उपयोग किया जा सकता है जिसमें सेट चित्रों के प्रत्येक दृढ़ता से कैंटोरियन आइसोमोर्फिज्म प्रकार को वास्तव में एक सेट के संक्रमणीय समापन के लिए वास्तविक सदस्यता संबंध के प्रतिबंध के रूप में महसूस किया जाता है।

यह भी देखें

• स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत

संदर्भ

• Keith Devlin, 1994. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
• Holmes, Randall, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and its Philosophy, 2nd ed. Oxford Univ. Press.
• Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover.
• Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

बाहरी संबंध

• Metamath: A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Quine's New Foundations—by Thomas Forster.
  • Alternative axiomatic set theories—by Randall Holmes.
• Randall Holmes: New Foundations Home Page