एकल मान

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के एकल मान, या s-संख्याएँ $T:X\rightarrow Y$ हिल्बर्ट स्थानों के बीच अभिनय $X$ और $Y$, स्व-सहायक ऑपरेटर के (आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक) eigenvalues ​​​​के वर्गमूल हैं $T^{*}T$ (कहाँ $T^{*}$ के सहायक संचालक को दर्शाता है $T$).

एकवचन मान गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, जिन्हें आमतौर पर घटते क्रम (σ) में सूचीबद्ध किया जाता है₁(टी), पी₂(टी), …)। सबसे बड़ा एकवचन मान σ₁(टी) टी के ऑपरेटर मानदंड के बराबर है (एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत देखें|न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय)।

दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।

यदि T यूक्लिडियन समष्टि पर कार्य करता है $\mathbb {R} ^{n}$, एकवचन मानों के लिए एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है: छवि पर विचार करें $T$ एन-क्षेत्र का; यह एक दीर्घवृत्ताकार है, और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई एकवचन मान हैं $T$ (आंकड़ा एक उदाहरण प्रदान करता है $\mathbb {R} ^{2}$).

एकवचन मान एक सामान्य मैट्रिक्स ए के eigenvalues ​​​​के पूर्ण मान हैं, क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है $A$ जैसा $A=U\Lambda U^{*}$. इसलिए, ${\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}$.

हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को एस-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकवचन मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकवचन मानों का योग है, और स्कैटन मानदंड एकवचन मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के एक विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है, इसलिए एस-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।

परिमित-आयामी मामले में, एक मैट्रिक्स (गणित) को हमेशा रूप में विघटित किया जा सकता है $\mathbf {U\Sigma V^{*}}$, कहाँ $\mathbf {U}$ और $\mathbf {V^{*}}$ एकात्मक मैट्रिक्स हैं और $\mathbf {\Sigma }$ एक आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण पर एकवचन मान स्थित हैं। यह विलक्षण मूल्य अपघटन है.

मूल गुण

के लिए $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$, और $i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}$.

न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम सिद्धांत|एकवचन मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। यहाँ $U:\dim(U)=i$ का एक उपस्थान है $\mathbb {C} ^{n}$ आयाम का $i$.

${\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}$

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ और कंजुगेट एकवचन मानों में परिवर्तन नहीं करते हैं।

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).$

किसी एकात्मक के लिए $U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.$

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).$

स्वदेशी मूल्यों से संबंध:

$\sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).$

ट्रेस से संबंध (रैखिक बीजगणित):

$\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A$.

अगर $A^{\top }A$ पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है ${\sqrt {\det A^{\top }A}}$.

अगर $AA^{\top }$ पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है ${\sqrt {\det AA^{\top }}}$.

अगर $A$ पूर्ण रैंक है, एकवचन मूल्यों का उत्पाद है $|\det A|$.

एकवचन मानों के बारे में असमानताएँ

यह सभी देखें।

उप-आव्यूहों का एकवचन मान

के लिए $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.$

1. होने देना $B$ निरूपित $A$ इसकी एक पंक्ति या स्तंभ हटा दिया गया है। तब
   $$\sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
2. होने देना $B$ निरूपित $A$ इसकी एक पंक्ति और स्तंभ हटा दिया गया है। तब
   $$\sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
3. होने देना $B$ एक को निरूपित करें $(m-k)\times (n-l)$ का सबमैट्रिक्स $A$. तब
   $$\sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$

ए + बी का एकवचन मान

के लिए $A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

1. $$\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}$$
2. $$\sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}$$

AB का एकवचन मान

के लिए $A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

1. $${\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}$$
2. $$\sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

के लिए $A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

$$2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

एकवचन मान और eigenvalues

के लिए $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$.

1. देखना
   $$\lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$
2. मान लीजिए $\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$. फिर के लिए $k=1,2,\ldots ,n$:
   1. वेइल की असमानता#मैट्रिक्स सिद्धांत में वेइल की असमानता|वेइल का प्रमेय
      $$\prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).$$
   2. के लिए $p>0$.
      $$\sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).$$

इतिहास

यह अवधारणा 1907 में एरहार्ड श्मिट द्वारा पेश की गई थी। श्मिट ने उस समय एकवचन मूल्यों को आइगेनवैल्यू कहा था। नाम एकवचन मान को पहली बार 1937 में स्मिथीज़ द्वारा उद्धृत किया गया था। 1957 में, अल्लाह्वरडीव ने nवें s-संख्या के निम्नलिखित लक्षण वर्णन को साबित किया: : $s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.$ इस सूत्रीकरण ने बैनाच क्षेत्र में ऑपरेटरों के लिए एस-नंबरों की धारणा का विस्तार करना संभव बना दिया।

यह भी देखें

• शर्त क्रमांक
• न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय#कॉची इंटरलेसिंग प्रमेय या पोंकारे पृथक्करण प्रमेय
• शूर-हॉर्न प्रमेय
• विलक्षण मान अपघटन