एकल मान

गणित में विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में कॉम्पैक्ट ऑपरेटर $T:X\rightarrow Y$ के एकल मान या s-संख्याएँ हिल्बर्ट स्थानों $X$ और $Y$ के मध्य एक्टर स्व-सहायक ऑपरेटर $T^{*}T$ के (आवश्यक रूप से गैर- ऋणात्मक) eigenvalues ​​​​के वर्गमूल हैं (जहाँ $T^{*}$, $T$ के सहायक संचालक को दर्शाता है)।

एकल मान गैर- ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्य रूप से घटते क्रम (σ₁(T), σ₂(T), …) में सूचीबद्ध किया जाता है। सबसे बड़ा एकल मान σ₁(T), T के ऑपरेटर मानदंड के बराबर है (न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय देखें)।

दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष।

यदि T यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$ पर कार्य करता है एवं एकल मानों के लिए सरल ज्यामितीय व्याख्या है: इकाई वृत्त की $T$ द्वारा छवि पर विचार करें; यह एक दीर्घवृत्ताकार है और इसके अर्ध-अक्षों की लंबाई, $T$ का एकल मान हैं (आंकड़ा $\mathbb {R} ^{2}$ में एक उदाहरण प्रदान करता है)।

एकल मान सामान्य मैट्रिक्स A के eigenvalues ​​​​के पूर्ण मान हैं क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय को एकात्मक विकर्ण प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है $A$ जैसा $A=U\Lambda U^{*}$

इसलिए, ${\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}$.

हिल्बर्ट स्पेस ऑपरेटरों पर अध्ययन किए गए अधिकांश मानक रैखिक स्थान को s-संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, Ky फैन-k-मानदंड पहले k एकल मानों का योग है, ट्रेस मानदंड सभी एकल मानों का योग है और स्कैटन मानदंड एकल मानों की pth शक्तियों के योग का pth मूल है। ध्यान दें कि प्रत्येक मानदंड केवल ऑपरेटरों के विशेष वर्ग पर परिभाषित किया गया है इसलिए s-नंबर विभिन्न ऑपरेटरों को वर्गीकृत करने में उपयोगी होते हैं।

परिमित-आयामी स्थितियों में मैट्रिक्स (गणित) को हमेशा $\mathbf {U\Sigma V^{*}}$ रूप में विघटित किया जा सकता है जहाँ $\mathbf {U}$ और $\mathbf {V^{*}}$ एकात्मक मैट्रिक्स हैं और $\mathbf {\Sigma }$ आयताकार विकर्ण मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण पर एकल मान स्थित हैं। यह एकल मूल्य अपघटन है।

मूल गुण

$A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$, और $i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}$ के लिए

एकल मानों के लिए न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय। जहाँ $U:\dim(U)=i$ आयाम $i$, $\mathbb {C} ^{n}$का उपस्थान है।

${\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}$

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ और कंजुगेट एकल मानों में परिवर्तन नहीं करते हैं।

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).$

किसी एकात्मक $U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ के लिए,

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).$

आइगेनवैल्यू से संबंध:

$\sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).$

ट्रेस से संबंध (रैखिक बीजगणित):

$\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A$.

यदि $A^{\top }A$ पूर्ण रैंक है, एकल मूल्यों का उत्पाद ${\sqrt {\det A^{\top }A}}$ है।

यदि $AA^{\top }$ पूर्ण रैंक है, एकल मूल्यों का उत्पाद ${\sqrt {\det AA^{\top }}}$ है।

यदि $A$ पूर्ण रैंक है, एकल मूल्यों का उत्पाद $|\det A|$ है।

एकल मानों के विषय में असमानताएँ

यह सभी देखें।

उप-आव्यूहों का एकल मान

$A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ के लिए,

1. माना कि $B$, $A$ को निरूपित करता है एवं इसकी एक पंक्ति या स्तंभ हटा दिया गया है। तब
   $$\sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
2. माना कि $B$, $A$ को निरूपित करता है एवं इसकी एक पंक्ति और स्तंभ हटा दिया गया है। तब
   $$\sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$
3. माना कि $B$ को $A$ का सबमैट्रिक्स $(m-k)\times (n-l)$ निरूपित करें, तब
   $$\sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$$

A + B का एकल मान

$A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ के लिए

1. $$\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}$$
2. $$\sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}$$

AB का एकल मान

के लिए $A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

1. $${\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}$$
2. $$\sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

के लिए $A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

$$2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$

एकल मान और आइगेनवैल्यू

$A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$. के लिए

1. देखना
   $$\lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.$$
2. मान लीजिए $\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$ इसके पश्चात $k=1,2,\ldots ,n$ के लिए:
   1. मैट्रिक्स सिद्धांत में वेइल की असमानता (वेइल का प्रमेय)
      $$\prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).$$
   2. $p>0$ के लिए
      $$\sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).$$

इतिहास

यह अवधारणा सन1907 में एरहार्ड श्मिट द्वारा प्रस्तुत की गई थी। श्मिट ने उस समय एकल मूल्यों को आइगेनवैल्यू कहा था। एकल मान नाम को प्रथम बार सन 1937 में स्मिथीज़ द्वारा उद्धृत किया गया था। सन 1957 में अल्लाह्वरडीव ने nवें s-संख्या के निम्नलिखित लक्षण वर्णन को सिद्ध किया:

$s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.$

इस सूत्रीकरण ने बैनाच क्षेत्र में ऑपरेटरों के लिए s-नंबरों की धारणा का विस्तार करना संभव बना दिया।

यह भी देखें

• स्थिति क्रमांक
• कॉची इंटरलेसिंग प्रमेय (न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय) या पोंकारे पृथक्करण प्रमेय
• शूर-हॉर्न प्रमेय
• एकल मान अपघटन