एकरमैन सेट सिद्धांत

This article is about the mathematical theory of sets. For other uses, see Ackermann (disambiguation).

गणित और तर्कशास्त्र में, एकरमैन सेट सिद्धांत (एएसटी) 1956 में विल्हेम एकरमैन द्वारा प्रस्तावित एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत है।

भाषा

एएसटी प्रथम-क्रम तर्क में तैयार किया गया है। औपचारिक भाषा $L_{\{\in ,V\}}$ एएसटी में एक द्विआधारी संबंध शामिल है $\in$ सेट सदस्यता और एक स्थिरांक को निरूपित करना (गणित) $V$ वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को दर्शाते हुए (एकरमैन ने एक विधेय का उपयोग किया $M$ बजाय)।

अभिगृहीत

एएसटी के अभिगृहीत निम्नलिखित हैं:

1. विस्तारता का सिद्धांत
2. आनुवंशिकता का सिद्धांत: $(x\in y\lor x\subseteq y)\land y\in V\to x\in V$
3. समझ का सिद्धांत $V$: किसी भी सूत्र के लिए $\phi$ कहाँ $x$ मुक्त चर नहीं है, $\exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow y\in V\land \phi )$
4. एकरमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए $\phi$ निःशुल्क चर के साथ $a_{1},\ldots ,a_{n},x$ और कोई घटना नहीं $V$, $a_{1},\ldots ,a_{n}\in V\land \forall x(\phi \to x\in V)\to \exists y{\in }V\forall x(x\in y\leftrightarrow \phi )$

एक वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण निम्नलिखित स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है:

1. विस्तारता
2. वंशागति
3. समझ
4. प्रतिबिंब सिद्धांत: किसी भी सूत्र के लिए $\phi$ निःशुल्क चर के साथ $a_{1},\ldots ,a_{n}$, $a_{1},\ldots ,a_{n}{\in }V\to (\phi \leftrightarrow \phi ^{V})$
5. नियमितता का सिद्धांत

$\phi ^{V}$ के सापेक्षीकरण को दर्शाता है $\phi$ को $V$, जो सभी परिमाणक (तर्क)तर्क) को प्रतिस्थापित करता है $\phi$ रूप का $\forall x$ और $\exists x$ द्वारा $\forall x{\in }V$ और $\exists x{\in }V$, क्रमश।

जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से संबंध

होने देना $L_{\{\in \}}$ उन सूत्रों की भाषा बनें जिनका उल्लेख नहीं है $V$.

1959 में, अज्रिएल लेवी ने यह साबित कर दिया कि यदि $\phi$ का एक सूत्र है $L_{\{\in \}}$ और एएसटी सिद्ध होता है $\phi ^{V}$, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत साबित होता है $\phi$. 1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि $\phi$ का एक सूत्र है $L_{\{\in \}}$ और ZF साबित करता है $\phi$, तो एएसटी सिद्ध होता है $\phi ^{V}$. इसलिए, एएसटी और जेडएफ एक दूसरे के रूढ़िवादी विस्तार में परस्पर व्याख्यात्मक हैं। इस प्रकार वे समसंगत हैं।

एएसटी की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत और इसके वेरिएंट के विपरीत, एक उचित वर्ग दूसरे उचित वर्ग का एक तत्व हो सकता है।

एएसटी और श्रेणी सिद्धांत

एएसटी का एक विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ.ए. मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन सेट-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत को भी स्थापित करता है और इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• गणित की नींव
• ज़र्मेलो सेट सिद्धांत
• वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत