द्विसममितीय आव्यूह

द्विसममितीय 5 × 5 मैट्रिक्स का समरूपता पैटर्न

गणित में, द्विसममितीय मैट्रिक्स वर्ग मैट्रिक्स है जो अपने दोनों मुख्य विकर्णों के बारे में सममित है। अधिक सटीक रूप से, n × n मैट्रिक्स A द्विसममितीय है यदि यह A = A दोनों को संतुष्ट करता है^T और AJ = JA जहां J n × n विनिमय मैट्रिक्स है।

उदाहरण के लिए, फॉर्म का कोई भी मैट्रिक्स

${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{14}&a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{12}\\a_{15}&a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\end{bmatrix}}$

द्विसममितीय है. जुड़े $5\times 5$ इस उदाहरण के लिए ्सचेंज मैट्रिक्स है

$J_{5}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{bmatrix}}$

गुण

• बिसिमेट्रिक मैट्रिक्स सममित सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स और सममित पर्सिमेट्रिक मैट्रिक्स दोनों हैं।
• दो द्विसममितीय आव्यूहों का गुणनफल सेंट्रोसिमेट्रिक आव्यूह होता है।
• वास्तविक संख्या-मूल्य वाले द्विसममितीय आव्यूह वास्तव में वे सममित आव्यूह होते हैं जिनके स्वदेशी मान विनिमय मैट्रिक्स द्वारा पूर्व या बाद के गुणन के बाद संभावित संकेत परिवर्तनों के अलावा समान रहते हैं।
• यदि A अलग-अलग eigenvalues ​​​​के साथ वास्तविक द्विसममितीय मैट्रिक्स है, तो A के साथ आने वाले आव्यूहों को द्विसममितीय होना चाहिए।
• द्विसममितीय आव्यूहों के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को पुनरावृत्ति सूत्रों द्वारा दर्शाया जा सकता है।