चार्ज वाहक घनत्व

This article is about the number of individual electrons or holes per volume. For the electric charge per volume, see charge density. For the number of possible states per energy range, see density of states.

आवेश वाहक घनत्व, जिसे वाहक सांद्रता के रूप में भी जाना जाता है, प्रति आयतन में आवेश वाहकों की संख्या को दर्शाता है। SI इकाइयों में, इसे m में मापा जाता है⁻³. किसी भी घनत्व की तरह, सिद्धांत रूप में यह स्थिति पर निर्भर हो सकता है। हालाँकि, आमतौर पर वाहक सांद्रता को एक एकल संख्या के रूप में दिया जाता है, और संपूर्ण सामग्री पर औसत वाहक घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

चार्ज वाहक घनत्व में विद्युत चालकता, तापीय चालकता जैसी संबंधित घटनाएं और सहसंयोजक बंधन जैसे रासायनिक बंधन से संबंधित समीकरण शामिल होते हैं।

गणना

वाहक घनत्व आमतौर पर सामग्री में आवेश वाहकों की ऊर्जा सीमा पर राज्यों के घनत्व को एकीकृत करके सैद्धांतिक रूप से प्राप्त किया जाता है (उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनों के लिए चालन बैंड पर एकीकृत करना, छिद्रों के लिए वैलेंस बैंड पर एकीकृत करना)।

यदि आवेश वाहकों की कुल संख्या ज्ञात है, तो वाहक घनत्व को केवल आयतन से विभाजित करके पाया जा सकता है। इसे गणितीय रूप से दिखाने के लिए, आवेश वाहक घनत्व एक कण घनत्व (कण गणना) है, इसलिए इसे एक आयतन पर एकीकृत करें $V$ आवेश वाहकों की संख्या देता है $N$ उस मात्रा में

$$N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.$$

कहाँ $n(\mathbf {r} )$ स्थिति-निर्भर आवेश वाहक घनत्व है।

यदि घनत्व स्थिति पर निर्भर नहीं करता है और इसके बजाय एक स्थिरांक के बराबर है $n_{0}$ यह समीकरण सरल हो जाता है

$$N=V\cdot n_{0}.$$

अर्धचालक

वाहक घनत्व अर्धचालकों के लिए महत्वपूर्ण है, जहां यह डोपिंग (अर्धचालक) की प्रक्रिया के लिए एक महत्वपूर्ण मात्रा है। बैंड सिद्धांत का उपयोग करते हुए, इलेक्ट्रॉन घनत्व,$n_{0}$ चालन बैंड में प्रति इकाई आयतन इलेक्ट्रॉनों की संख्या है। छेद के लिए, $p_{0}$ वैलेंस बैंड में प्रति इकाई आयतन छिद्रों की संख्या है। इलेक्ट्रॉनों के लिए इस संख्या की गणना करने के लिए, हम इस विचार से शुरू करते हैं कि चालन-बैंड इलेक्ट्रॉनों का कुल घनत्व, $n_{0}$, बैंड के नीचे से, बैंड में विभिन्न ऊर्जाओं में चालन इलेक्ट्रॉन घनत्व को जोड़ रहा है $E_{c}$ बैंड के शीर्ष पर $E_{\text{top}}$.

$$n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE$$

चूँकि इलेक्ट्रॉन फर्मियन हैं, किसी विशेष ऊर्जा पर चालन इलेक्ट्रॉनों का घनत्व, $N(E)$ राज्यों के घनत्व का उत्पाद है, $g(E)$ या फर्मी-डिराक वितरण के साथ कितनी संवाहक अवस्थाएँ संभव हैं, $f(E)$ जो हमें उन अवस्थाओं का वह भाग बताता है जिनमें वास्तव में इलेक्ट्रॉन होंगे

$$N(E)=g(E)f(E)$$

गणना को सरल बनाने के लिए, फ़र्मी-डिराक वितरण के अनुसार, इलेक्ट्रॉनों को फ़र्मियन के रूप में मानने के बजाय, हम उन्हें एक शास्त्रीय गैर-अंतःक्रियात्मक गैस के रूप में मानते हैं, जो मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण द्वारा दिया गया है। परिमाण होने पर इस सन्निकटन का प्रभाव नगण्य होता है $|E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T$, जो कमरे के तापमान के निकट अर्धचालकों के लिए सत्य है। यह अनुमान बहुत कम तापमान या बेहद छोटे बैंड-गैप पर अमान्य है।

$$f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}$$

राज्यों का त्रि-आयामी घनत्व है:

$$g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}$$

संयोजन और सरलीकरण के बाद, ये अभिव्यक्तियाँ इस प्रकार बनती हैं:

$$n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}$$

यहाँ $m^{*}$ उस विशेष अर्धचालक में इलेक्ट्रॉनों का प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) और मात्रा है $E_{c}-E_{f}$ चालन बैंड और फर्मी स्तर के बीच ऊर्जा का अंतर है, जो बैंड गैप का आधा है, $E_{g}$:

$$E_{g}=2(E_{c}-E_{f})$$

छिद्रों के लिए एक समान अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है। वाहक एकाग्रता की गणना रसायन शास्त्र से उलटा प्रतिक्रिया के संतुलन की तरह ऊर्जा अंतराल में आगे और पीछे चलने वाले इलेक्ट्रॉनों का इलाज करके की जा सकती है, जिससे मास एक्शन कानून (इलेक्ट्रॉनिक्स) होता है। सामूहिक कार्रवाई कानून एक मात्रा को परिभाषित करता है $n_{i}$ आंतरिक वाहक सांद्रता कहा जाता है, जो कि अघोषित सामग्री के लिए:

$$n_{i}=n_{0}=p_{0}$$

निम्न तालिका बढ़ते बैंड गैप के क्रम में, आंतरिक अर्धचालकों के लिए आंतरिक वाहक एकाग्रता के कुछ मूल्यों को सूचीबद्ध करती है।

Material	Carrier density (1/cm3) at 300K
Germanium	2.33×1013
Silicon	9.65×109
Gallium Arsenide	2.1×106
3C-SiC	10
6H-SiC	2.3×10−6
4H-SiC	8.2×10−9
Gallium nitride	1.9×10−10
Diamond	1.6×10−27

यदि इन सामग्रियों को डोप किया जाता है तो ये वाहक सांद्रता बदल जाएगी। उदाहरण के लिए, फॉस्फोरस की थोड़ी मात्रा के साथ शुद्ध सिलिकॉन को मिलाने से इलेक्ट्रॉनों के वाहक घनत्व में वृद्धि होगी, एन। फिर, चूँकि n > p, डोप्ड सिलिकॉन एक n-प्रकार का बाह्य अर्धचालक होगा। शुद्ध सिलिकॉन को बोरान की थोड़ी मात्रा के साथ मिलाने से छिद्रों का वाहक घनत्व बढ़ जाएगा, इसलिए फिर पी > एन, और यह एक पी-प्रकार का बाह्य अर्धचालक होगा।

धातु

वाहक घनत्व धातुओं पर भी लागू होता है, जहां इसका अनुमान सरल ड्रूड मॉडल से लगाया जा सकता है। इस मामले में, वाहक घनत्व (इस संदर्भ में, इसे मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व भी कहा जाता है) का अनुमान लगाया जा सकता है:

$$n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}$$

कहाँ $N_{\text{A}}$ एवोगैड्रो स्थिरांक है, Z रासायनिक संयोजन इलेक्ट्रॉन ों की संख्या है, $\rho _{m}$ सामग्री का घनत्व है, और $m_{a}$ परमाणु द्रव्यमान है. चूंकि धातुएं कई ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित कर सकती हैं, इसलिए किसी तत्व में मौलिक रूप में कितने वैलेंस इलेक्ट्रॉन होने चाहिए इसकी सटीक परिभाषा कुछ हद तक मनमानी है, लेकिन निम्न तालिका एशक्रॉफ्ट और मर्मिन में दिए गए मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व को सूचीबद्ध करती है, जिनकी गणना ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके की गई थी। संयोजकता के बारे में उचित धारणाओं के आधार पर, $Z$, और द्रव्यमान घनत्व के साथ, $\rho _{m}$ प्रयोगात्मक क्रिस्टलोग्राफी डेटा से गणना की गई।

Material	Number of valence electrons	Carrier density (1/cm3) at 300K
Copper	1	8.47×1022
Silver	1	5.86×1022
Gold	1	5.90×1022
Beryllium	2	2.47×1023
Magnesium	2	8.61×1022
Calcium	2	4.61×1022
Strontium	2	3.55×1022
Barium	2	3.15×1022
Niobium	1	5.56×1022
Iron	2	1.70×1023
Manganese	2	1.65×1023
Zinc	2	1.32×1023
Cadmium	2	9.27×1022
Aluminum	3	1.81×1023
Gallium	3	1.54×1023
Indium	3	1.15×1023
Thallium	3	1.05×1023
Tin	4	1.48×1023
Lead	4	1.32×1023
Bismuth	5	1.41×1023
Antimony	5	1.65×1023

उदाहरण के लिए, हॉल प्रभाव द्वारा अनुमानित धातुओं के बीच n के मान अक्सर परिमाण के समान क्रम पर होते हैं, लेकिन यह सरल मॉडल बहुत उच्च सटीकता के साथ वाहक घनत्व की भविष्यवाणी नहीं कर सकता है।

माप

आवेश वाहकों का घनत्व कई मामलों में हॉल प्रभाव का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिसका वोल्टेज वाहक घनत्व पर विपरीत रूप से निर्भर करता है।