समीकरणों की विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली

विद्युत अभियन्त्रण में, समीकरणों की अंतर-बीजीय प्रणाली (डीएई) समीकरणों की एक ऐसी प्रणाली है जिसमें या तो अंतर समीकरण और बीजगणितीय समीकरण होते हैं, या इस प्रकार की प्रणाली के बराबर होती है।

गणित में ये विभेदक बीजगणितीय प्रकारों के उदाहरण हैं और आदर्शों के अनुरूप हैं विभेदक बहुपद वलयों में (बीजगणितीय समायोजन के लिए विभेदक बीजगणित पर लेख देखें)।

इस प्रकार से हम इन अंतर समीकरणों को स्वतंत्र चर t में चर x के आश्रित सदिश के लिए

$F({\dot {x}}(t),\,x(t),\,t)=0$ के रूप में लिख सकते हैं।

इन प्रतीकों को एक वास्तविक चर के फलनों के रूप में विचार करते समय (जैसा कि इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग या नियंत्रण सिद्धांत में अनुप्रयोगों में होता है) हम $x:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ को आश्रित चर$x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))$ के एक सदिश के रूप में देखते हैं और प्रणाली में कई समीकरण होते हैं, जिन्हें हम फलन $F=(F_{1},\dots ,F_{n}):\mathbb {R} ^{2n+1}\to \mathbb {R} ^{n}$ के रूप में मानते हैं।

इस प्रकार से वे सामान्य अंतर समीकरण (ओडीई) से अलग हैं क्योंकि एक डीएई फलन x के सभी घटकों के व्युत्पन्न के लिए पूर्ण रूप से हल करने योग्य नहीं है क्योंकि ये सभी प्रकट नहीं हो सकते हैं (अर्थात कुछ समीकरण बीजगणितीय हैं); तकनीकी रूप से एक अंतर्निहित ओडीई प्रणाली [जिसे स्पष्ट किया जा सकता है] और एक डीएई प्रणाली के बीच अंतर यह है कि जैकोबियन आव्यूह ${\frac {\partial F(u,v,t)}{\partial u}}$ एक डीएई प्रणाली के लिए एक विलक्षण आव्यूह है। अतः ओडीई और डीएई के बीच यह अंतर इसलिए किया गया है क्योंकि डीएई की अलग-अलग विशेषताएं हैं और इन्हें हल करना सामान्यतः पर अधिक कठिन होता है।

व्यावहारिक रूप से, डीएई और ओडीई के बीच अंतर प्रायः यह होता है कि डीएई प्रणाली का हल इनपुट संकेत के व्युत्पन्न पर निर्भर करता है, न कि मात्र संकेत पर, जैसा कि ओडीई की स्थिति में होता है; यह समस्या सामान्यतः हिस्टैरिसीस वाले अरेखीय प्रणाली में सामने आती है, जैसे कि श्मिट ट्रिगर।

इस प्रकार से यह अंतर अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई देता है यदि प्रणाली को फिर से लिखा जाए ताकि x के अतिरिक्त हम आश्रित चरों के सदिशों के युग्म $(x,y)$ पर विचार करें और डीएई का रूप

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}$

हो, जहाँ $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$, $f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}$ और $g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}$।

इस रूप की डीएई प्रणाली को अर्ध-स्पष्ट कहा जाता है। अतः समीकरण के दूसरे भाग g का प्रत्येक हल समीकरण के पहले भाग f के माध्यम से x के लिए अद्वितीय दिशा को परिभाषित करता है, जबकि y के लिए दिशा यादृच्छिक है। परन्तु प्रत्येक बिंदु (x,y,t) g का हल नहीं है। x और समीकरणों के पहले भाग f में चरों को विशेषता अंतर मिलता है। y के घटकों और समीकरणों के दूसरे भाग g को प्रणाली के बीजगणितीय चर या समीकरण कहा जाता है। [डीएई के संदर्भ में बीजगणितीय शब्द का अर्थ मात्र व्युत्पन्न से मुक्त है और यह (अमूर्त) बीजगणित से संबंधित नहीं है।]

इस प्रकार से डीएई के हल में दो भाग होते हैं, पहला सुसंगत प्रारंभिक मानों की खोज और दूसरा प्रक्षेपवक्र की गणना। सुसंगत प्रारंभिक मानों को खोजने के लिए प्रायः डीएई के कुछ घटक फलनों के व्युत्पन्न पर विचार करना आवश्यक होता है। इस प्रक्रिया के लिए आवश्यक व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम को विभेदन सूचकांक कहा जाता है। अतः सूचकांक और सुसंगत प्रारंभिक मानों की गणना में प्राप्त समीकरण प्रक्षेपवक्र की गणना में भी उपयोगी हो सकते हैं। इस प्रकार से अर्ध-स्पष्ट डीएई प्रणाली को विभेदन सूचकांक को से कम करके और इसके विपरीत अंतर्निहित में परिवर्तित किया जा सकता है।

डीएई के अन्य रूप

यदि कुछ आश्रित चर उनके व्युत्पन्न के बिना होते हैं तो डीएई से ओडीई का अंतर स्पष्ट हो जाता है। इस प्रकार से आश्रित चर के सदिश को युग्म $(x,y)$ के रूप में लिखा जा सकता है और डीएई के अंतर समीकरणों की प्रणाली

$F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0$

के रूप में दिखाई देती है, जहाँ

• $x$, $\mathbb {R} ^{n}$ में सदिश, आश्रित चर हैं जिनके लिए व्युत्पन्न स्थित हैं (अंतर चर),
• $y$, $\mathbb {R} ^{m}$ में सदिश, आश्रित चर हैं जिनके लिए कोई व्युत्पन्न स्थित नहीं है (बीजगणितीय चर),
• $t$, अदिश राशि (सामान्यतः समय) स्वतंत्र चर है।
• $F$ $n+m$ फलन का सदिश है जिसमें इन $n+m+1$ चर और $n$ व्युत्पन्न के उप समुच्चय सम्मिलित हैं।

इस प्रकार से कुल मिलाकर, डीएई का समुच्चय फलन

$F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}$ है।

प्रारंभिक स्थितियाँ

$F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0$ रूप के समीकरणों की प्रणाली का हल होनी चाहिए।

उदाहरण

इस प्रकार से कार्तीय निर्देशांक (x,y) में केंद्र (0,0) के साथ लंबाई L के लोलक का व्यवहार यूलर-लैग्रेंज समीकरण

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}$

द्वारा वर्णित है, जहाँ $\lambda$ लैग्रेंज गुणक है। संवेग चर u और v को ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा नियंत्रित किया जाना चाहिए और उनकी दिशा वृत्त के अनुदिश होनी चाहिए। उन समीकरणों में कोई भी स्थिति स्पष्ट नहीं है। इस प्रकार से अंतिम समीकरण के विभेदन से

${\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}$

गति की दिशा को वृत्त की स्पर्शरेखा तक सीमित कर देता है। इस प्रकार से इस समीकरण का अगला व्युत्पन्न

${\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}$

को दर्शाता है, और उस अंतिम तत्समक का व्युत्पन्न $L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0$ को सरल बनाता है जिसका तात्पर्य ऊर्जा के संरक्षण से है क्योंकि एकीकरण के बाद स्थिरांक $E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy$ गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है।

अतः सभी आश्रित चरों के लिए अद्वितीय व्युत्पन्न मान प्राप्त करने के लिए अंतिम समीकरण को तीन बार विभेदित किया गया था। यह 3 का विभेदन सूचकांक देता है, जो कृत्रिम यांत्रिक प्रणालियों के लिए विशिष्ट है।

यदि प्रारंभिक मान $(x_{0},u_{0})$ और y के लिए चिह्न दिया गया है, तो अन्य चर $y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}$ के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं, और यदि $y\neq 0$ है तो $v=-ux/y$ और $\lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}$। इस प्रकार से अगले बिंदु पर आगे बढ़ने के लिए x और u के व्युत्पन्न प्राप्त करना पर्याप्त है, अर्थात, हल करने की प्रणाली अब

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda \end{aligned}}$है।

अतः यह सूचकांक 1 का अर्ध-स्पष्ट डीएई है। समान समीकरणों का एक और समुच्चय $(y_{0},v_{0})$ और x के चिह्न से प्रारम्भ करके प्राप्त किया जा सकता है।

डीएई स्वाभाविक रूप से गैर-रेखीय उपकरणों के साथ परिपथ के मॉडलिंग में भी होते हैं। इस प्रकार से डीएई को नियोजित करने वाले संशोधित नोडल विश्लेषण का उपयोग उदाहरण के लिए संख्यात्मक परिपथ अनुकारक के सर्वव्यापी स्पाइस वर्ग में किया जाता है। इसी प्रकार, फ्राउनहोफर सोसाइटी के एनालॉग इनसाइड्स मेथेमेटिका पैकेज का उपयोग नेटलिस्ट से डीएई प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है और फिर कुछ स्थितियों में समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है या प्रतीकात्मक रूप से हल भी किया जा सकता है। अतः यह ध्यान देने योग्य है कि डीएई (एक परिपथ के) के सूचकांक को सकारात्मक प्रतिक्रिया के साथ संधारित्र परिचालन प्रवार्धकों के माध्यम से सोपानी/युग्मन द्वारा यादृच्छिक रूप से उच्च बनाया जा सकता है।

सूचकांक 1 का अर्ध-स्पष्ट डीएई

अतः इस प्रकार से रूप

::${\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}$

के डीएई अर्ध-स्पष्ट कहा जाता है। सूचकांक-1 गुण के लिए आवश्यक है कि g, y के लिए अंतर्निहित फलन प्रमेय हो। अतः दूसरे शब्दों में, विभेदन सूचकांक 1 है यदि t के लिए बीजगणितीय समीकरणों के विभेदन से अंतर्निहित ओडीई प्रणाली परिणाम,

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}$

जो $({\dot {x}},\,{\dot {y}})$ के लिए हल करने योग्य है यदि $\det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0$।

इस प्रकार से प्रत्येक पर्याप्त रूप से सुचारू डीएई लगभग प्रत्येक स्थान इस अर्ध-स्पष्ट सूचकांक-1 रूप में कम करने योग्य है।

डीएई और अनुप्रयोगों का संख्यात्मक उपचार

अतः डीएई को हल करने में दो प्रमुख समस्याएं सूचकांक में कमी और निरंतर प्रारंभिक स्थितियां हैं। इस प्रकार से अधिकांश संख्यात्मक हलकर्ता को साधारण अंतर समीकरणों और रूप

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right)\end{aligned}}$ के बीजगणितीय समीकरणों की आवश्यकता होती है।

शुद्ध ओडीई हलकर्ता द्वारा हल के लिए यादृच्छिक रूप से डीएई प्रणाली को ओडीई में परिवर्तित करना गैर-तुच्छ फलन है। जिन तकनीकों को नियोजित किया जा सकता है उनमें पैन्टेलाइड्स एल्गोरिदम और प्रतिरूप व्युत्पन्न सूचकांक कटौती विधि सम्मिलित हैं। वैकल्पिक रूप से, असंगत प्रारंभिक स्थितियों के साथ उच्च-सूचकांक डीएई का प्रत्यक्ष हल भी संभव है। इस हल दृष्टिकोण में परिमित अवयवों पर लाम्बिक संयोजन या बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में प्रत्यक्ष प्रतिलेखन के माध्यम से व्युत्पन्न अवयवों का परिवर्तन सम्मिलित है। इस प्रकार से यह किसी भी सूचकांक के डीएई को विवृत समीकरण रूप

${\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right)\end{aligned}}$ में पुनर्व्यवस्था के बिना हल करने की अनुमति देता है।

अतः एक बार जब मॉडल को बीजगणितीय समीकरण रूप में परिवर्तित कर दिया जाता है, तो इसे बड़े पैमाने पर नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग हलकर्ता (एपीमॉनिटर देखें) द्वारा हल किया जा सकता है।

वश्यता

इस प्रकार से संख्यात्मक विधियों के संदर्भ में डीएई की वश्यता के कई उपाय विकसित हुए हैं, जैसे कि विभेदन सूचकांक, क्षोभ सूचकांक, वश्यता सूचकांक, ज्यामितीय सूचकांक और क्रोनकर सूचकांक आदि।

डीएई के लिए संरचनात्मक विश्लेषण

अतः हम डीएई का विश्लेषण करने के लिए $\Sigma$-विधि का उपयोग करते हैं। हम डीएई के लिए एक हस्ताक्षर आव्यूह $\Sigma =(\sigma _{i,j})$ का निर्माण करते हैं, जहां प्रत्येक पंक्ति प्रत्येक समीकरण $f_{i}$ से मेल खाती है और प्रत्येक स्तम्भ प्रत्येक चर $x_{j}$ से मेल खाता है। स्थिति $(i,j)$ में प्रविष्टि $\sigma _{i,j}$ है, जो व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम को दर्शाती है जिसमें $x_{j}$ $f_{i}$ में होता है, या $-\infty$ यदि $f_{i}$ $x_{j}$ में नहीं होता है।

उपरोक्त लोलक डीएई के लिए, चर $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )$ हैं। इस प्रकार से संबंधित हस्ताक्षर आव्यूह

$\Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}$ है।

यह भी देखें

• बीजगणितीय अवकल समीकरण, समान नाम के अतिरिक्त अलग अवधारणा
• विलंब अंतर समीकरण
• आंशिक अंतर बीजगणितीय समीकरण
• मोदेलिका भाषा

अग्रिम पठन

पुस्तकें

• Hairer, E.; Wanner, G. (1996). साधारण विभेदक समीकरण II को हल करना: कठोर और विभेदक-बीजगणितीय समस्याएं (2nd revised ed.). Berlin: Springer-Verlag.
• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998). साधारण विभेदक समीकरणों और विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों के लिए कंप्यूटर विधियाँ. Philadelphia: SIAM. ISBN 978-0-89871-412-8.
• Kunkel, Peter; Mehrmann, Volker Ludwig (2006). विभेदक-बीजगणितीय समीकरण: विश्लेषण और संख्यात्मक समाधान. Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-017-3.
• Kazuo Murota (2009). सिस्टम विश्लेषण के लिए मैट्रिसेस और मैट्रोइड्स. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03994-2. (डीएई सूचकांक की गणना के लिए संरचनात्मक दृष्टिकोण को शामिल करता है।)
• Matthias Gerdts (2012). ओडीई और डीएई का इष्टतम नियंत्रण. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-024999-6.
• Lamour, René; März, Roswitha; Tischendorf, Caren (2013). विभेदक-बीजगणितीय समीकरण: एक प्रोजेक्टर आधारित विश्लेषण. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-27554-8.

विभिन्न कागजात

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• Ilie, Silvana; Corless, Robert M.; Reid, Greg (2006). "सूचकांक -1 के विभेदक बीजगणितीय समीकरणों के संख्यात्मक समाधानों की गणना बहुपद समय में की जा सकती है". Numerical Algorithms. 41 (2): 161–171. CiteSeerX 10.1.1.71.7366. doi:10.1007/s11075-005-9007-1. S2CID 14684538.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2005). "टेलर श्रृंखला (I) द्वारा विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों को हल करना: टेलर गुणांक की गणना करना" (PDF). BIT. 45 (3): 561–591. doi:10.1007/s10543-005-0019-y. S2CID 16451180.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2005). "टेलर सीरीज (II) द्वारा विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों को हल करना: सिस्टम जैकोबियन की गणना करना" (PDF). BIT. 47: 121–135. CiteSeerX 10.1.1.455.6965. doi:10.1007/s10543-006-0106-8. S2CID 16666782.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2007). "टेलर सीरीज (III) द्वारा विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों को हल करना: DAETS कोड" (PDF). Journal of Numerical Analysis, Industrial and Applied Mathematics (JNAIAM). 1 (1): 1–30. ISSN 1790-8140.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D.; Tan, Guangning (2014). "डीएईएसए - विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों के संरचनात्मक विश्लेषण के लिए एक मैटलैब उपकरण: सॉफ्टवेयर" (PDF). ACM Transactions on Mathematical Software. 41 (2): 1–14. doi:10.1145/2700586. S2CID 16655498.
• Pryce, John D.; Nedialkov, Ned S.; Tan, Guangning (2014). "डीएईएसए - विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों के संरचनात्मक विश्लेषण के लिए एक मैटलैब उपकरण: एल्गोरिदम" (PDF). ACM Transactions on Mathematical Software. 41 (2): 1–20. doi:10.1145/2689664. S2CID 311443.
• Roubíček, T.; Valášek, M. (2002). "कारणात्मक अंतर बीजगणितीय प्रणालियों का इष्टतम नियंत्रण". J. Math. Anal. Appl. 269 (2): 616–641. doi:10.1016/s0022-247x(02)00040-9.

बाहरी संबंध

• http://www।scholarpedia।org/article/Differential-algebraic_equations